思政元素融入組合數(shù)學課程教學的實踐與案例分析*

段輝明 李永紅 楊映雪

（重慶郵電大學理學院 重慶 400065）

課程思政是以構(gòu)建全員、全程、全課程育人格局的形式，深入挖掘各類課程的思政元素和豐富內(nèi)涵，著力將思想政治教育貫穿于課堂教學的主渠道中，實現(xiàn)立德樹人。[1]在教學中將思政元素融入課堂教學的方法和路徑，深入挖掘課程內(nèi)容的思政元素和豐富內(nèi)涵，著力將思想政治教育貫穿于課程教學中。主要目的是傳授學生理論知識的同時，提升學生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生獨立思考、勇于質(zhì)疑、不畏困難的科研精神，從而幫助學生樹立并完善正確的人生觀、世界觀和價值觀。

組合數(shù)學課程是高等院校數(shù)學專業(yè)一門重要的必修課，課程主要內(nèi)容包括組合和排列計數(shù)的基本方法和相關(guān)理論，即組合數(shù)學基礎(chǔ)、母函數(shù)求解計數(shù)、遞推關(guān)系求解方法、容斥原理和抽屜原理等計算方法。[2]通過組合數(shù)學理論和方法的教學，其目的主要使學生掌握組合數(shù)學的基本原理、組合計數(shù)以及解決問題的基本技巧，同時也培養(yǎng)學生的組合思維能力。其中組合數(shù)學的枚舉與計數(shù)思想、算法分析是重要的思想和技巧，不僅影響數(shù)學的許多分支，而且廣泛地應用于計算機科學、密碼學和通信等不同領(lǐng)域。反過來，隨著計算機科學的迅速發(fā)展，又為組合數(shù)學的崛起注入了生機與活力。組合數(shù)學的特點是內(nèi)容上豐富多彩、方法上巧妙多變，它對培養(yǎng)學生的思維才智和解決實際問題的能力起到了良好的作用，因此該課程具備課程思政的實施條件。

《組合數(shù)學》課程教學中，充分利用本課程開展思政教育的條件和優(yōu)勢，從課程思政的本源出發(fā)，將愛國主義教育元素、社會責任教育、科學研究和創(chuàng)新創(chuàng)造精神、數(shù)學家勵志奮斗故事和美學教育等，自然融入到課堂教學中，促使知識傳授與價值觀教育相結(jié)合、“顯性教育”與“隱性教育”的結(jié)合，對培養(yǎng)學生樹立正確、積極的世界觀、人生觀和價值觀起到潛移默化、潤物無聲的育人效果。下面是《組合數(shù)學》思政元素案例分析。

一、培養(yǎng)學生愛國主義情懷

教育作為永恒的主題，情感的培育是愛國主義教育的根本，要把愛國主義教育貫穿國民教育和精神文明建設(shè)全過程?！督M合數(shù)學》是一門數(shù)學類專業(yè)課程，也是一門古老有趣的學科，相關(guān)的知識點有一些著名的典故，可以引入愛國主義教育思政元素，培養(yǎng)學生愛國主義情懷。比如講解初等數(shù)論部分的中國剩余定理[3]即孫子定理，韓信點兵是物不知數(shù)問題中的典故，實際上可以列出相關(guān)的一次同余式組進行求解。在講例題時可以強調(diào)典故的內(nèi)容，從我國宋代數(shù)學家秦九韶在《數(shù)學九章》（1247 年）講起，并指出同余式組的一般解法叫作“求一術(shù)”。此方法解決了著名的“物不知數(shù)”問題。講解同余式組求法的同時，可以通過著作《數(shù)書九章》講起，此著作標志著世界數(shù)學在中世紀的最高水平，因此可以激發(fā)學生愛國主義情懷，提升民族自尊感、自豪感。

二、培養(yǎng)學生踏實嚴謹?shù)目茖W研究態(tài)度

《組合數(shù)學》的特點是內(nèi)容上豐富多彩，方法變化多樣。內(nèi)容主要包括組合計數(shù)相關(guān)理論和算法研究、組合設(shè)計和組合優(yōu)化等問題。主要方法包括組合基礎(chǔ)方法、構(gòu)造母函數(shù)、構(gòu)造并求解遞推關(guān)系式以及容斥原理和抽屜原理等。在解決組合問題時常常需要考慮幾種方法的結(jié)合以及一些特殊的方法，在使用組合數(shù)學中的基本原理和方法解決問題時，需要靈活巧妙地應用到解決實際組合問題中?？茖W是嚴謹?shù)模诮鉀Q組合問題時，學習組合數(shù)學中典型問題的解題經(jīng)驗和方法是非常重要的。因此，在教學中教育學生利用科學的步驟和方式去解決問題，一些組合計數(shù)問題和組合優(yōu)化問題不但方法上巧妙多變，而且一些問題也需要較長時間才能解決，使得一些學生失去耐心，不能完整解決相關(guān)的問題。比如：組合恒等式的證明、組合優(yōu)化問題算法設(shè)計等都需要嚴謹?shù)目茖W研究態(tài)度，因此解決問題方便需要鼓勵和幫助學生培養(yǎng)堅定不移的鉆研精神，對培養(yǎng)學生的思維才智和解決實際問題的能力起到良好的作用。

三、培養(yǎng)學生辯證唯物主義精神

《組合數(shù)學》研究的中心問題是按照一定的規(guī)則來安排一些物件有關(guān)的數(shù)學問題，主要討論要求的安排是否存在，若存在還需要考慮用什么樣的方法去證明存在性和要求出這樣安排的個數(shù)或者具體安排，進一步還需考慮采用什么的方法去求解。同時如果給出最優(yōu)化的標準，則還需尋求出最優(yōu)的安排等等，這些問題都需要解決。因此，在解決組合計數(shù)問題時，對求解同一個組合數(shù)或者排列數(shù)，可以通過不同的方法求解，比如母函數(shù)求解組合數(shù)以及解遞歸數(shù)列方法求解，也可以通過容斥原理求解，方法多、變化多需要尋找最優(yōu)的算法，因此，可以使學生認識到客觀規(guī)律不是一成不變的，用辯證的思維方式和發(fā)展變化的眼光來認識世界。再比如：講解容斥原理和逐步淘汰原理、約當公式以及對稱原理時，通過兩個集合特殊的情況證明容斥原理的存在性，然后推廣到多個集合證明容斥原理。從容斥原理條件入手，找出不滿足條件的組合數(shù)，通過德摩根定律得到逐步淘汰原理，然后相應地得到約當公式和對稱原理的主要內(nèi)容。通過幾個原理的內(nèi)容講解，可以培養(yǎng)學生普遍聯(lián)系、否定與肯定、特殊化與一般化、量變到質(zhì)變的辯證唯物的思想。在培養(yǎng)學生辯證唯物主義世界觀方面，教學時也可以引入，比如：組合數(shù)和排列數(shù)都是整數(shù)，利用母函數(shù)求解組合數(shù)和排列數(shù)時，可以利用多項式的系數(shù)來表示；斐波那契數(shù)列是通過兔子問題提出的遞推關(guān)系式，從關(guān)系式中知道數(shù)列實際上是正整數(shù)，但通過求解遞歸關(guān)系式，發(fā)現(xiàn)通過一些無理數(shù)可以表示正整數(shù)數(shù)列的通項，由此可以鍛煉學生在錯綜復雜的事物面前敢于正視矛盾、勇于揭露矛盾、善于解決矛盾的思維品質(zhì)。

四、培養(yǎng)學生勇于攀登科學高峰的刻苦精神

《組合數(shù)學》主要研究一組離散對象滿足給定條件的安排方案的存在性、構(gòu)造和計數(shù)等問題。解決組合問題，僅憑已知的原理和方法是遠遠不夠的，還必須研究情況，分析思考，開拓思路，運用技巧，把人類的聰明才智與已有的組合學知識相結(jié)合，求得思路和方案，在解決實際問題時需要勇于攀登科學高峰的刻苦精神。比如，三種典型的遞歸序列教學時，即在斐波那契數(shù)列、卡特蘭數(shù)列和斯特靈數(shù)列教學中，經(jīng)常出現(xiàn)許多實際計數(shù)的組合計數(shù)問題可以利用三種典型的序列結(jié)果求解。比如，上樓梯問題、棋盤染色問題以及棋盤覆蓋問題，首先對相關(guān)內(nèi)容進行分析，然后都可以歸結(jié)到斐波那契數(shù)列，并求出組合數(shù)的表示式，其他兩種序列也有相關(guān)的應用。因此，組合計數(shù)和組合優(yōu)化等問題，主要涉及培養(yǎng)學生各種能力的綜合應用、實際問題的轉(zhuǎn)化、對相關(guān)知識的掌握程度、觀察分析和概括等科學思維方法的綜合應用，從而使學生掌握解答思路、技巧和方法。在講解斐波那契數(shù)列等三種序列組合計數(shù)的應用時，還有其他的應用可以拓展，比如斐波那契數(shù)列求解不定方程整數(shù)解的應用，在股市、密碼學中的應用，以及在求解組合數(shù)、組合恒等式中的應用。特別是利用斐波那契數(shù)列在組合優(yōu)化方面的應用，可以讓學生動手探索序列的優(yōu)化方法程序，激發(fā)學生學習組合數(shù)學的積極性，培養(yǎng)他們勇于攀登科學高峰的刻苦精神。

五、培養(yǎng)學生審美觀念，對美的不懈追求

發(fā)散思維與組合技巧是組合數(shù)學的特點之一，巧妙之處在于思維的多樣性、創(chuàng)造性。因此，組合數(shù)學具有很高的美學特性，它有很多優(yōu)美的結(jié)果、優(yōu)美的方法。比如：組合數(shù)學中著名的“棋盤覆蓋”問題，此問題的存在問題的證明是非常困難的，但是可以用組合分析的方法簡單優(yōu)美地解決。下面主要用8×8 棋盤覆蓋問題來說明n×n 棋盤覆蓋問題，主要步驟是把棋盤上的方格用黑白兩色交替著色，任一骨牌必須覆蓋一黑一白兩個方格，而剪角的棋盤中，被剪掉的兩個方格同色，8×8 棋盤上黑白方格各32 個，剪去同色兩格后，黑白方格數(shù)不相等，從而這樣的棋盤不存在完全覆蓋，從而說明n×n 棋盤覆蓋問題。如圖1 表示8×8 棋盤覆蓋的存在性，因此，棋盤覆蓋問題利用簡單優(yōu)美的方式就可以解決。

又如：斐波那契數(shù)列也叫“黃金分割”數(shù)列，古希臘雕塑——斷臂女神“維納斯”[4]是世界藝術(shù)珍品之一，整個體形的比例，以肚臍為界，全身與下身高度的比值恰為1∶0.618，是黃金分割比例，人體美是世界最神奇而美妙的藝術(shù)造型，這也體現(xiàn)斐波那契數(shù)列之美。同時斐波那契數(shù)列序列在準晶體結(jié)構(gòu)研究中的應用，一種典型的準晶結(jié)構(gòu)是三維空間的彭羅斯拼圖(Penrose)如圖2，讓學生體會數(shù)學在不同領(lǐng)域的應用，體現(xiàn)出數(shù)學的美。

圖2 彭羅斯拼圖[5]

此外，組合數(shù)學在描述問題時嚴謹精練的語言美、數(shù)學公式的對稱美、揭示數(shù)量關(guān)系的科學美，比如棋盤多項式可以用對稱的多項式表現(xiàn)棋盤的對應位置、利用對稱的多項式表示組合數(shù)和排列數(shù)、容斥原理對稱式等，無不顯示著組合數(shù)學這一審美客體所蘊含的無窮魅力。

六、培養(yǎng)學生社會責任感

《組合數(shù)學》課程主要介紹組合數(shù)學中涉及組合數(shù)、組合設(shè)計和編碼原理的基本原理。通過設(shè)計例題的內(nèi)容，培養(yǎng)學生社會責任感。在教學中可以引入一些相關(guān)的例題。比如：一個12 人的圓桌聚餐，其中包含一位母親和她的幼兒園小兒子，為了照顧這對母子，總共的坐法有多少種？從例題的講解中可以培養(yǎng)學生尊老愛幼的美德。另外，組合數(shù)學解決的基本問題是基本計數(shù)方法，不管組合數(shù)、排列數(shù)以及編碼有關(guān)的內(nèi)容，涉及的都是正整數(shù)，在教學中為了體現(xiàn)本課程正整數(shù)特色，將一些特別意義的正整數(shù)融入到教學中。比如：求多重集的全排列，要求任何3 個相同的元素均不排在一起。答案1314(一生一世)。又比如：某班分別選修組合數(shù)學、圖論、數(shù)論的分別是79、80、81 人，其中選擇組合數(shù)學和數(shù)論的有68 人，選擇組合數(shù)學和數(shù)論的有69 人，選擇圖論和數(shù)論的有70 人，三門課都選的有61 人，一門課也未選的有5人，該班學生共有多少人？答案99（九九重陽節(jié)）。同時對于一些特殊的正整數(shù)比如：61（六一），51（五一）等，在講解過程中，讓學生自己算出答案，同時體會這些數(shù)字的意義，培養(yǎng)學生熱愛社會、尊老愛幼、熱愛父母等，增強學生的社會責任感。

綜上所述，《組合數(shù)學》課程特點是內(nèi)容上豐富多彩，包括組合數(shù)學基礎(chǔ)、母函數(shù)及其應用、遞推關(guān)系、容斥原理、抽屜原理和初等數(shù)論基礎(chǔ)等，具備了實施課程思政的若干有利因素。在解決組合問題時，學習組合數(shù)學中典型問題的解題經(jīng)驗和方法是非常重要的，方法上巧妙多變，它對培養(yǎng)學生的思維和解決實際問題的能力起到了良好的作用。課堂教學應以組合數(shù)學內(nèi)容和方法理論教學為主，課程思政應以滲透性教育為原則，做到春風化雨，潤物細無聲。[6]在組合數(shù)學教學過程中注意把握課程思政的度和量，在教學內(nèi)容中適當?shù)匕才耪n程思政元素，將有關(guān)思想道德素養(yǎng)的教育功能實施在教學中，努力實現(xiàn)“教書育人”與“立德樹人”的完美統(tǒng)一。[7]