小學(xué)計(jì)算教學(xué)中算理與算法有效融合的策略*

廖志媚

（廣東省廣州市花都區(qū)秀全街紅棉小學(xué) 廣東廣州 510800）

計(jì)算教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容是算理算法的教學(xué)。算理和算法關(guān)系密切，不可分割，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力起著重要的作用。教師在教學(xué)過程中應(yīng)向?qū)W生介紹運(yùn)算的基本算理和算法，只有理法共融，才能真正提高學(xué)生的運(yùn)算能力。算理是算法成立的理論依據(jù)，用來解釋為什么可以這樣算。算法是指完成計(jì)算動(dòng)作技能所必須具備的程序性知識(shí)的總和，用來闡明“算的程序”。在計(jì)算教學(xué)中如何促進(jìn)算理算法的有效融合，筆者有如下的思考。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的現(xiàn)狀

在日常教學(xué)中，老師們有時(shí)會(huì)輕算理教學(xué)，重算法教學(xué)，認(rèn)為熟能生巧，經(jīng)過程序化的演算和訓(xùn)練，孩子們總會(huì)掌握解題的技巧。殊不知，脫離了算理理解的算法，只是對(duì)方法的一種死記硬背，無法真正做到靈活應(yīng)用。有的時(shí)候，老師們不注意算理和算法的聯(lián)系教學(xué)，將算理算法剝離開來，先講完算理，再單獨(dú)講算法，導(dǎo)致算理對(duì)算法的促進(jìn)作用大打折扣。

老師們輕算理教學(xué)的原因可能有如下兩方面：一是算理的教學(xué)很復(fù)雜，學(xué)生理解起來比較抽象，有時(shí)候老師們花了大量的時(shí)間來講解算理，學(xué)生還是一頭霧水，所以老師們就更不愿意在算理教學(xué)上浪費(fèi)時(shí)間，認(rèn)為教好算法，讓學(xué)生根據(jù)算法熟練進(jìn)行計(jì)算，就能保證學(xué)生在計(jì)算方面拿到更多的分?jǐn)?shù)，從而保證數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)。二是將算理和算法進(jìn)行溝通融合，老師們?nèi)狈τ行У牟呗?，不注意將算理算法一一?lián)系起來，無法搭起算理算法溝通的橋梁。三是不重視算理對(duì)提高學(xué)生運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力的長(zhǎng)遠(yuǎn)重要作用。

二、算理算法有效融合的必要性

特級(jí)教師曹培英教授指出：“算理是算法的理論依據(jù)，算法是算理的實(shí)踐?！睕]有算理支撐的算法，只是機(jī)械的記憶，缺乏思維支撐，不利于學(xué)生對(duì)計(jì)算方法的靈活應(yīng)用和遷移；而算理得不到算法的實(shí)踐與應(yīng)用，只是空有理論，無無法彰顯其價(jià)值。只有將兩者合而為一，才能將計(jì)算教學(xué)落到實(shí)處，切實(shí)提高學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，達(dá)到良好的計(jì)算教學(xué)目的。

因此，將算理算法有效融合意義重大，既能有效改變小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的現(xiàn)狀，又能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和運(yùn)算能力的提升。

三、小學(xué)計(jì)算教學(xué)中算理與算法有效融合的策略

（一）借助動(dòng)手操作活動(dòng)，外顯算理，溝通算法

課程標(biāo)準(zhǔn)中提到，動(dòng)手實(shí)踐是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式之一。學(xué)生通過動(dòng)手操作等活動(dòng)，親自參與到新知的探究過程中來，在操作中感知，在感知中思考，在思考中發(fā)現(xiàn)，這是多么生動(dòng)活潑又吸引人的學(xué)習(xí)過程。因此，親身實(shí)踐、動(dòng)手操作等學(xué)習(xí)活動(dòng)，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓其深深投入到新知的學(xué)習(xí)中來，也更加深刻感受知識(shí)的生成。在計(jì)算教學(xué)中，我們可以讓學(xué)生在操作中進(jìn)行直觀行動(dòng)思維，充分協(xié)調(diào)動(dòng)作與感知來理解算理，歸納算法，促進(jìn)算理算法的有效融合。

例如在人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《分?jǐn)?shù)與除法》一課中，要探究“把3 個(gè)月餅平均分給4 人，每人分得幾個(gè)”的結(jié)果。我給每個(gè)4 人小組準(zhǔn)備了3 張圓形紙片，讓其合作分一分，每人把分得的餅拼一拼，看看最終分得了多少個(gè)餅。有的小組先把一個(gè)餅平均分成4 份剪開，每名同學(xué)分得1/4 個(gè)餅，像這樣分了3 次，每人把分得的餅拼在一起，得到3/4 個(gè)餅。有的小組把3 個(gè)餅重疊在一起平均分成4 份剪開，每一份是三小塊，每人取一份，把三小塊拼在一起也是3/4 個(gè)餅。當(dāng)然，還有其他的分法。同學(xué)們?cè)诜忠环?、拼一拼的過程中，直觀感受到3 個(gè)餅的1/4 就是一個(gè)餅的3/4。前者以3 個(gè)餅為單位“1”，后者以1 個(gè)餅為單位“1”，最終得出3÷4=3/4 這一算式，初步感受分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。后面繼續(xù)讓學(xué)生在頭腦中分一分，探究把3 個(gè)月餅平均分給5 人、7 人、11 人的結(jié)果，為發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，并利用它們之間的關(guān)系計(jì)算整數(shù)除法的結(jié)果提供更多的感性經(jīng)驗(yàn)。從直觀操作到數(shù)學(xué)抽象，學(xué)生一步步構(gòu)建出分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系的產(chǎn)生式，在操作中感知算理，溝通算法，進(jìn)行有意義學(xué)習(xí)。

例如在人教版數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)《除法的初步認(rèn)識(shí)》一課中，先創(chuàng)設(shè)問題情境：把12 個(gè)竹筍平均分給4 只可愛的熊貓，每只熊貓可以分得幾個(gè)？接著組織學(xué)生小組合作動(dòng)手操作，拿出12 個(gè)圓片代替12 個(gè)竹筍，平均分給4 名同學(xué)，看看每名同學(xué)可以分得幾個(gè)。有的小組一個(gè)一個(gè)地分，分了三次，每人得到三個(gè)；有的小組先兩個(gè)兩個(gè)地分，再一個(gè)一個(gè)地分，每人也分得三個(gè)；有的小組三個(gè)三個(gè)地分，每人也正好分得三個(gè)。經(jīng)歷動(dòng)手操作平均分的過程，學(xué)生最終得出把12 個(gè)竹筍平均分給4 只可愛的熊貓，每個(gè)熊貓可以分得3 個(gè)的結(jié)果。接著讓學(xué)生創(chuàng)造算式，把剛剛平均分的過程表示出來。最后再由老師規(guī)范表征方式，用12÷4=3 這一除法算式來表示剛剛平均分的過程。二年級(jí)學(xué)生屬于直觀動(dòng)作思維階段，通過動(dòng)手操作活動(dòng)，能直觀感知平均分的過程，很好地幫助學(xué)生理解除法算式的算理，從而達(dá)到良好的教學(xué)效果。

（二）數(shù)形結(jié)合，一一對(duì)應(yīng)，化抽象為具體

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出：“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果?！苯柚鷰缀沃庇^是指在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，我們可以通過畫線段圖、直觀圖或擺實(shí)物圖等方式，以更加直觀和形象的方式幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而達(dá)到化抽象為具體的目的，降低數(shù)學(xué)知識(shí)的思維難度。在計(jì)算教學(xué)中，算理比較抽象，學(xué)生在理解的時(shí)候需要更多的感性經(jīng)驗(yàn)作為支撐。而數(shù)形結(jié)合能幫助學(xué)生協(xié)調(diào)形象思維和抽象思維的發(fā)展，將抽象的算理直觀地展示出來，并將算理和算法一一對(duì)應(yīng)起來，讓算理算法緊密結(jié)合，進(jìn)而幫助學(xué)生理解新知，達(dá)到良好的計(jì)算教學(xué)效果。

例如在人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)《筆算除法》一課例1 中，可以利用圖形將分的過程與豎式的書寫過程一一對(duì)應(yīng)起來，溝通算理和算法。例1 的題目是：三年級(jí)在植樹節(jié)要種42 棵樹，三年級(jí)有兩個(gè)班，平均每個(gè)班種多少棵？根據(jù)題意，學(xué)生很容易便列出除法算式42÷2。接著進(jìn)行筆算教學(xué)，老師可以利用直觀圖，一邊板出分的過程，一邊對(duì)應(yīng)書寫豎式的每一個(gè)步驟，具體板書如圖1：

圖1 《筆算除法》例1 板書

以上過程將數(shù)與形相結(jié)合，利用圖形展示算理，并將算理與算法的每個(gè)步驟一一對(duì)應(yīng)起來，而不是先講算理后講算法，導(dǎo)致算理算法剝離。這樣一來，抽象的算理變得更加形象和直觀，算理算法的溝通也步步對(duì)應(yīng)，聯(lián)系緊密，一目了然，降低了學(xué)生的理解難度。數(shù)形結(jié)合，搭起了數(shù)理溝通的橋梁。

（三）統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位，明晰算理算法本質(zhì)

計(jì)算教學(xué)中常常會(huì)涉及計(jì)數(shù)單位的教學(xué)。整數(shù)加減法、小數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)加減法的算理算法實(shí)質(zhì)是相同計(jì)數(shù)單位相加減。因此，在教學(xué)這些內(nèi)容時(shí)，注意遷移方法，讓學(xué)生類比學(xué)習(xí)，更加系統(tǒng)地明晰算理算法的實(shí)質(zhì)。

例如在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《異分母分?jǐn)?shù)加、減法》一課中，在根據(jù)例1 情境列出加法算式后，可以放手讓學(xué)生獨(dú)立思考探究其計(jì)算方法。在此之前，學(xué)生剛剛經(jīng)歷了同分母分?jǐn)?shù)加減法的學(xué)習(xí)，有了相關(guān)的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，很容易想到要先統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位，才能相加。要統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位，就要進(jìn)行通分，將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算。

將新知轉(zhuǎn)化為舊知，學(xué)生在探究新知的過程中進(jìn)一步感受了統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位的必要性，理解了算理算法的實(shí)質(zhì)。經(jīng)過這一學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生頭腦中存儲(chǔ)的計(jì)算知識(shí)也會(huì)更加系統(tǒng)化，為后面的計(jì)算學(xué)習(xí)也奠定了更好的知識(shí)基礎(chǔ)。

（四）聯(lián)系實(shí)際情境，賦予每一步計(jì)算以實(shí)際意義

計(jì)算教學(xué)若只涉及冷冰冰的數(shù)字，學(xué)生所理解的數(shù)理不夠豐滿，也不利于其歸納算法，體會(huì)計(jì)算的應(yīng)用價(jià)值。若能將計(jì)算教學(xué)與實(shí)際情境聯(lián)系起來，賦予每一步計(jì)算以實(shí)際意義，那么計(jì)算的數(shù)理將化抽象為形象，以更加生動(dòng)、易懂的形式呈現(xiàn)出來，為抽象出算理本質(zhì)，歸納算法搭好腳手架。

例如，在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法》一課時(shí)，可以靈活改編一下例1 的題目，讓學(xué)生在熟悉的情境中，利用小數(shù)的意義來理解商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊這一教學(xué)重點(diǎn)?？梢詫⒗}改編如下：王鵬媽媽用22.4 元買了4 個(gè)蛋糕，每個(gè)蛋糕多少元？在學(xué)生列出除法算式22.4÷4 后，重點(diǎn)探究其筆算方法。根據(jù)小數(shù)的意義，22.4 帶的單位是元，那么整數(shù)部分的數(shù)代表有幾元，十分位的數(shù)則代表有幾角。在教學(xué)豎式時(shí)，可以讓學(xué)生帶著實(shí)際單位來思考，為抽象出數(shù)理，促進(jìn)小數(shù)除法計(jì)算方法的形成做好鋪墊。具體思路如圖2：

圖2 《除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法》思路圖解

整個(gè)教學(xué)過程，利用情境支撐算理理解，利用小數(shù)的意義進(jìn)行算理指導(dǎo)，最終得出除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的計(jì)算方法。它和整數(shù)除法的計(jì)算方法相同，都是用幾個(gè)計(jì)數(shù)單位去除以除數(shù)，除到商的哪一位，就在哪一位上面寫商。循理入法，法理融合，一切都自然而然。

（五）動(dòng)口說算理，明理悟法

在算理算法教學(xué)過程中，老師們往往會(huì)忽視學(xué)生說算理的過程，只重視對(duì)算法的演算。若是能在新授和練習(xí)的過程中，讓學(xué)生多一些開口說算理，在說一說的過程中可以進(jìn)一步明晰和鞏固算理，掌握的算法也會(huì)更加牢固，從而達(dá)到算理算法相互促進(jìn)、相互提升的目的。

例如在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)《三位數(shù)加法筆算》一課時(shí)，在學(xué)生根據(jù)例題情境列出加法算式271+122 時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)探究三位數(shù)的筆算方法。相同數(shù)位要對(duì)齊，先算個(gè)位，1 個(gè)一加2 個(gè)一得3 個(gè)一，3 寫在個(gè)位上；再計(jì)算十位，7 個(gè)十加2 個(gè)十等于9 個(gè)十，9 寫在十位上；最后計(jì)算百位，2 個(gè)百加1 個(gè)百得3 個(gè)百，3 寫在百位上。在接下來的練習(xí)鞏固環(huán)節(jié)，也可以多讓學(xué)生開口說一說算理。說算理的過程也是說算法的過程，動(dòng)口說，動(dòng)手寫，動(dòng)腦思考，調(diào)動(dòng)多重感官參與計(jì)算，算理和算法在無形中得到了鞏固。

總的來說，算理是算法的根，根深則枝繁，枝繁則葉茂。在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的過程中，我們既要重視算理對(duì)算法的促進(jìn)作用，也要重視算法對(duì)算理的鞏固作用。教師要注意采取有效的策略，幫助學(xué)生理清算理算法之間的聯(lián)系，促進(jìn)算理算法的有效融合，避免算理與算法的脫節(jié)。理法同抓，才能切實(shí)促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展。