考慮用戶邊際成本偏好的逐日交通路徑選擇模型

張文義，張 璇，何彥博，馬繼輝

（北京交通大學(xué)綜合交通運(yùn)輸大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)交通運(yùn)輸行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100044）

現(xiàn)實(shí)交通網(wǎng)絡(luò)時常因受到不良天氣、交通事故、道路施工、需求波動等因素干擾，處于非平衡態(tài)或向平衡態(tài)演化的過程.為描述交通網(wǎng)絡(luò)的非平衡演化過程，繼而提出合理有效的管理措施，研究超越現(xiàn)有平衡理論的非平衡分析方法尤為必要.逐日網(wǎng)絡(luò)交通分配理論靈活性好，可將不同行為規(guī)則、集計(jì)水平和交通模式納入統(tǒng)一框架進(jìn)行分析，已成為描述網(wǎng)絡(luò)交通流逐日非平衡演化過程的優(yōu)選方法［1］.

逐日交通分配理論由Smith等［2-3］開創(chuàng)，基本任務(wù)是探究非平衡交通網(wǎng)絡(luò)中出行者的逐日交通選擇調(diào)整行為，及其促成的網(wǎng)絡(luò)交通流逐日演化規(guī)律，還引發(fā)了逐日交通演化建模［4-7］、逐日交通選擇行為實(shí)證［8-10］、逐日交通管理措施研究［11-13］和流量調(diào)整算法設(shè)計(jì)［14-16］等一系列研究方向.逐日交通演化模型可分為基于路徑的模型和基于路段的模型.路徑模型以路徑流量演化為研究對象，路段模型則以路段流量演化為研究對象［4，17-19］.路段模型的提出者認(rèn)為路徑模型存在兩個不足，一是路徑流量難以辨識，二是路徑重疊問題［4］.隨著智能交通技術(shù)的發(fā)展，獲取車輛行駛軌跡已變得簡便經(jīng)濟(jì)，因此路徑流量識別難的問題將不復(fù)存在.路徑疊加是廣泛存在于現(xiàn)實(shí)路網(wǎng)中的一種物理現(xiàn)象，不應(yīng)將其視為路徑模型的固有不足，可通過研究并揭示路徑疊加對于微觀個體逐日交通選擇行為的影響機(jī)理來解決這一問題.事實(shí)上，路徑模型比路段模型在出行行為研究上更具有基礎(chǔ)性優(yōu)勢，因?yàn)槲⒂^個體出行決策的直接載體是路徑而非路段，路段流量的演化是路徑流量演化的次生結(jié)果.路徑模型可對各種微觀個體行為偏好進(jìn)行直接建模，較之路段模型具有更加全面和根本的行為刻畫能力和解釋能力.綜上，逐日交通選擇行為研究將基于路徑的確定型逐日交通演化模型進(jìn)行.Yang等［20］對單引力流、網(wǎng)絡(luò)糾錯過程、投影動力系統(tǒng)、BNN 調(diào)整過程和比例調(diào)整過程（Proportionalswitch Adjustment Process，PAP）5 類基于路徑的確定型逐日交通演化模型進(jìn)行了總結(jié)分析，發(fā)現(xiàn)5 類模型均為理性行為調(diào)整過程，其中PAP 的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和行為解釋最為簡單直觀.一些學(xué)者基于PAP 進(jìn)行了深入研究，Cho等［21］在其基礎(chǔ)上建立了刺激-反應(yīng)模型；Mounce等［22］在PAP 框架下探討了不同費(fèi)用指數(shù)和備選路徑集下路徑選擇調(diào)整過程的穩(wěn)定性；Zhang等［23］提出了一個PAP 的非線性改進(jìn)模型，可避免流量的過度調(diào)整，并被進(jìn)一步拓展至絕對和相對有限理性情形［24］.Xiao等［25］將路網(wǎng)流量演化過程視為帶阻尼的彈簧系統(tǒng)，并據(jù)此建立了相應(yīng)的動力學(xué)模型.與前述研究不同，Kumar等［26］在建立的路徑調(diào)整模型中考慮了備選路徑費(fèi)用靈敏度的影響，該費(fèi)用靈敏度可被理解為經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際成本［19］.近年來，逐日交通路徑調(diào)整行為的建模主要側(cè)重于在已有研究框架內(nèi)進(jìn)一步考慮社交影響、風(fēng)險偏好、交通信息等因素的影響［27-30］.

現(xiàn)有研究中，包括PAP 在內(nèi)的逐日交通路徑調(diào)整模型大都假設(shè)出行者只關(guān)注路徑調(diào)整帶來的收益，該假設(shè)一定程度違背了經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際決策理論［31］.根據(jù)該理論，人們在進(jìn)行邊際決策時不僅關(guān)注邊際收益，還會考慮邊際成本.交通出行者的路徑調(diào)整行為實(shí)際上也可視為一種邊際決策，因此出行者不應(yīng)只關(guān)心調(diào)至備選路徑可獲得的邊際收益（即旅行時間節(jié)約），還應(yīng)考慮調(diào)至該路徑所導(dǎo)致的邊際成本（即旅行時間增加），然而現(xiàn)有研究一般只關(guān)注前者，卻忽略了后者.文獻(xiàn)［26］雖考慮了邊際成本的影響，但提出的邊際成本計(jì)算方法未考慮路徑疊加的影響.

綜上，本文提出一種可有效處置路徑疊加現(xiàn)象的路徑調(diào)整邊際成本計(jì)算方法，并據(jù)此構(gòu)建了考慮用戶邊際成本偏好（Marginal Cost Preference，MCP）的逐日交通路徑調(diào)整模型，用來更加全面地刻畫微觀個體出行者的路徑調(diào)整行為偏好，繼而更準(zhǔn)確地描述宏觀路網(wǎng)的逐日交通演化過程.

1 邊際成本偏好

現(xiàn)有的逐日交通演化模型中，理性行為調(diào)整規(guī)則［20］簡單直觀，已成為逐日交通調(diào)整行為建模的一項(xiàng)基本準(zhǔn)則.然而，理性行為調(diào)整規(guī)則并不能完整概括出行個體的逐日交通調(diào)整行為偏好.逐日路徑調(diào)整行為從出行者的角度可視為一種邊際決策，出行個體當(dāng)前路徑與目標(biāo)路徑的正向旅行時間差值即為邊際收益，由于個體單方面從當(dāng)前路徑調(diào)整至目標(biāo)路徑引發(fā)的目標(biāo)路徑旅行時間增量即為邊際成本.對于旅行時間相等的兩條備選路徑，出行者在次日的調(diào)整決策中將更傾向于選擇邊際成本更小的路徑，該類行為偏好即為邊際成本偏好，實(shí)驗(yàn)也已觀察到類似現(xiàn)象［9］.顯然，理性行為調(diào)整規(guī)則尚無法涵蓋邊際成本偏好.本文將邊際成本偏好定義為：給定當(dāng)日旅行時長相等的兩條備選路徑，出行者在次日的路徑調(diào)整決策時更可能選擇邊際成本更小的路徑.

根據(jù)定義，旅行時長相等表明調(diào)至兩條備選路徑的邊際收益相同，更小的邊際成本表明可能帶來更多的凈收益，因此更有可能成為出行者次日調(diào)整的目標(biāo)路徑.在逐日交通調(diào)整行為中，次日路徑調(diào)整的邊際收益可定義為出行者前一天所用路徑與次日的目標(biāo)路徑在前一天的旅行時間差值，由于差值為負(fù)不會觸發(fā)路徑調(diào)整，僅討論旅行時間差值為正（即正向旅行時間差值）的情形；次日的路徑調(diào)整邊際成本則可定義為在前一天的交通條件下，由于出行者單方面從前一天所在路徑調(diào)整至次日目標(biāo)路徑對目標(biāo)路徑所造成的潛在旅行時間增量.以圖1 為例說明邊際成本偏好及其對于路徑調(diào)整行為的影響.圖1 包含一個OD 對和3 條路徑，其中路徑1 上（20，4）表示路徑1 的初始旅行時間為20，邊際成本為4；路徑2 的初始旅行時間為30，“N”表示邊際成本未知；路徑3 的初始旅行時間為20，邊際成本為6.

圖1 示例路網(wǎng)1Fig.1 Illustrative road network No.1

根據(jù)理性行為調(diào)整規(guī)則，出行者在次日只可能從路徑2 向路徑1 和路徑3 調(diào)整，由于對應(yīng)的邊際收益均為10，因此出行者調(diào)整至路徑1 和路徑3 的概率相等.若進(jìn)一步考慮邊際成本的影響，結(jié)果將發(fā)生變化，路徑2 上的出行個體在次日調(diào)整至路徑1的可能性將大于路徑3，該結(jié)果顯然更符合預(yù)期，說明邊際成本偏好可反映出行者更深層次的行為偏好.

為簡化問題描述，圖1 示例僅闡述了一次路徑調(diào)整過程，且已知路徑調(diào)整涉及的邊際成本值.在研究實(shí)際問題時，需要依據(jù)新得到的交通狀況對下一次路徑調(diào)整涉及的邊際成本進(jìn)行循環(huán)更新，現(xiàn)有研究通過次日目標(biāo)路徑前一天的旅行時間對其流量求差分或偏導(dǎo)數(shù)來計(jì)算得到［26］.該計(jì)算方法簡單，但并不適用于存在路徑疊加的交通網(wǎng)絡(luò)，通過圖2 示例對此進(jìn)行說明.圖2 中的OD 對由路徑1（即路段Ⅰ）、路徑2（即路段Ⅱ→路段Ⅳ）和路徑3（即路段Ⅲ→路段Ⅳ）相連，路段Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ的初始旅行時間分別為20、20、10 和10.

根據(jù)理性行為調(diào)整規(guī)則，流量將會從路徑2 調(diào)至路徑1 和3，由此假設(shè)路徑1 和路徑3 的邊際成本均為5（根據(jù)現(xiàn)有方法［26］采取路段旅行時間對流量求導(dǎo)得到）.假設(shè)圖2 中各路段的旅行時間可分離（即路段旅行時間只與本路段的流量有關(guān)），由于路徑旅行時間和路段流量均滿足可加性，進(jìn)一步假設(shè)路段Ⅲ和路段Ⅳ分擔(dān)的邊際成本分別為2 和3.則路段Ⅰ、Ⅲ和Ⅳ的邊際成本分別為5、2 和3；路段Ⅱ的邊際成本未知.

圖2 示例路網(wǎng)2Fig.2 Illustrative road network No.2

基于上述設(shè)置可得出，路徑2 上的流量調(diào)整至路徑1 和路徑3 的概率將相等.該結(jié)論并不合理，因?yàn)槁窂? 與路徑3 共用路段Ⅳ，使得路徑2 調(diào)整流量至路徑3 并不會增加路段Ⅳ的旅行時間（因?yàn)槁范微舻牧髁吭谡{(diào)整前后沒有變化），路徑3 的旅行時間應(yīng)該只增加2，而非現(xiàn)有方法計(jì)算得出的5.因此，路徑2 上的出行者在次日的路徑調(diào)整中更可能選擇路徑3，而非等概率地選擇路徑1 和3.示例路網(wǎng)2 說明現(xiàn)有的路徑調(diào)整邊際成本計(jì)算法方法并不合理，沒有考慮路徑重疊可能帶來的影響.

由圖2 示例可知，路徑疊加會對路徑調(diào)整過程中邊際成本的計(jì)算產(chǎn)生實(shí)質(zhì)影響，忽略路徑疊加將導(dǎo)致邊際成本的估計(jì)出現(xiàn)較大偏差，進(jìn)而影響模型的準(zhǔn)確性.此外，路徑疊加有利于降低調(diào)整至與個體當(dāng)前所在路徑存在重疊路段的目標(biāo)路徑的邊際成本，使得這些路徑在調(diào)整過程中被選擇的概率更大，可緩解路段模型指出的路徑疊加問題［4］.

綜上可得：考慮邊際成本偏好與理性行為調(diào)整規(guī)則并不沖突，可豐富現(xiàn)有逐日交通出行選擇行為理論；邊際成本計(jì)算需考慮路網(wǎng)中普遍存在的路徑疊加現(xiàn)象，否則將損害所建模型的可解釋性和問題描述的準(zhǔn)確度.因此，需要構(gòu)建一個考慮路徑疊加的路徑調(diào)整邊際成本計(jì)算方法，并結(jié)合逐日路徑調(diào)整模型討論邊際成本偏好與理性行為調(diào)整規(guī)則的相容性.

2 逐日交通路徑調(diào)整行為建模

逐日交通路徑調(diào)整行為建模的目的是構(gòu)建適用于路徑疊加路網(wǎng)的路徑調(diào)整邊際成本計(jì)算方法，并將邊際成本偏好合理納入逐日路徑調(diào)整行為模型中.PAP 模型雖然無法描述用戶邊際成本偏好，但其流量演化方程可為馬爾科夫演化博弈提供良好的行為描述［32-33］.因此，基于PAP 的演化方程，通過構(gòu)建一個可反映用戶邊際成本偏好的調(diào)整概率模型用來彌補(bǔ)PAP 的不足.有關(guān)邊際成本和邊際成本偏好的建模方法不僅適應(yīng)于PAP，也可用于其他路徑調(diào)整模型.

2.1 逐日路徑調(diào)整模型

式（1）為流量演化方程，式（2）為微觀個體的路徑調(diào)整概率（或宏觀路徑流量調(diào)整比例）模型.式（1）表示調(diào)整前后路徑的流量變化值等于調(diào)入該路徑的流量與調(diào)出該路徑的流量相減.由式（2）可知，下一時刻的流量調(diào)整只可能由同一OD 對間當(dāng)前旅行時間更長的路徑向時長更短的路徑進(jìn)行，并且流量調(diào)出比例隨正向時長差增加而增大；同時，用戶的反應(yīng)強(qiáng)度與調(diào)至備選路徑可能產(chǎn)生的邊際成本反相關(guān)，且該邊際成本受到調(diào)入和調(diào)出路徑流量的共同影響.顯然，令=0，邊際成本偏好的影響將消失，模型將退化為原始的PAP.令路徑旅行時間在定義域Ω上是非負(fù)、有界且連續(xù)可導(dǎo)的，式（2）中考慮路徑疊加的邊際成本計(jì)算方法為

由于旅行時間可加，故有

2.2 理論分析

從理論角度分析考慮用戶邊際成本偏好的逐日路徑調(diào)整過程模型（Proportional-switch Adjustment Process with Net-Marginal Cost Preference，PAPNetMCP）的一些基本性質(zhì).為簡化表述，將時間索引t隱去.

首先討論P(yáng)AP-NetMCP 的穩(wěn)定態(tài)的特性.

1）命題1：PAP-NetMCP 的穩(wěn)定態(tài)與用戶均衡狀態(tài)等價.

命題1 表明，考慮用戶邊際成本偏好以及邊際成本的具體計(jì)算方式并不會改變流量調(diào)整的最終結(jié)果（即用戶均衡），但可以預(yù)計(jì)它們將對路徑選擇和交通流演化過程產(chǎn)生的影響.然后，探討PAPNetMCP 模型是否仍遵循理性行為調(diào)整規(guī)則.

2）命題2：PAP-NetMCP 是一個理性行為調(diào)整過程.

命題2 表明PAP-NetMCP 模型仍遵循理性行為調(diào)整規(guī)則，說明邊際成本偏好與理性行為調(diào)整規(guī)則是相容的，可為逐日出行路徑調(diào)整行為建模提供更完整的行為理論支持.

3 數(shù)值算例分析

通過數(shù)值靈敏度分析對理論分析未涉及的PAP-NetMCP 部分特性進(jìn)行探討.以交通分析中廣泛應(yīng)用的Braess 網(wǎng)絡(luò)［35］作為算例網(wǎng)絡(luò).為簡化描述，對網(wǎng)絡(luò)參數(shù)和變量的單位予以省略.

3.1 Braess 網(wǎng)絡(luò)

圖3 Braess 網(wǎng)絡(luò)Fig.3 Braess network

表1 路段旅行時間函數(shù)的參數(shù)取值Tab.1 Parameter values for travel time functions of each road

3.2 邊際成本偏好強(qiáng)度分析

邊際成本偏好強(qiáng)度分析是針對模型參數(shù)和進(jìn)行對比性靈敏度分析，因只有1 個OD 對，省略上標(biāo)w，令s0={0.002 5，0.005，0.01}且s1={0∶5∶15}.其中，s0分析序列的公比和s1分析序列的公差由前期試算得到，主要依據(jù)是對于當(dāng)前規(guī)模的靈敏度分析，該組合下的參數(shù)序列帶來的系統(tǒng)狀態(tài)變化已可滿足趨勢變化分析的需要.

通過數(shù)值算例重點(diǎn)分析邊際成本偏好強(qiáng)度s1對于網(wǎng)絡(luò)交通流逐日演化過程與結(jié)果的影響.考慮到s0取不同值時網(wǎng)絡(luò)交通流演化在不同s1條件下的變化趨勢基本相似，故只給出s0=0.005 時不同s1對應(yīng)的流量演化軌跡如圖4 所示.

圖4 s0=0.005 時不同s1下的交通流演化軌跡Fig.4 Traffic flow evolution trajectories under different s1 when s0=0.005

由圖4（a）可知，當(dāng)s1=0 時，不考慮用戶邊際成本偏好，此時模型退化為原始PAP，各流量演化軌跡的收斂方向呈現(xiàn)顯著的不均勻性，基本上沿著3 個方向收斂至用戶均衡點(diǎn)，致使部分演化軌跡的彎曲程度較大.相比之下，當(dāng)s1＞0 時，流量演化軌跡收斂方向的不均勻性顯著降低，由此使得流量演化軌跡的直線性明顯增強(qiáng).當(dāng)s0=0.002 5和s0=0.01時，不同s1條件下的流量演化軌跡也呈現(xiàn)出與圖4類似的變化趨勢.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：邊際成本偏好對于網(wǎng)絡(luò)交通流演化過程具有重要影響，不應(yīng)被忽視；基于考慮邊際成本偏好的逐日路徑調(diào)整模型來開發(fā)交通分配算法（比如用于生成迭代方向），有望加快算法的收斂速度.通過圖4 可知，當(dāng)s1由5 增加至15時，演化軌跡的直線性有所增強(qiáng)，但增幅呈下降趨勢.考慮到增加s1將使得反應(yīng)強(qiáng)度下降，由此可能導(dǎo)致流量調(diào)整速度整體變慢，繼而延緩網(wǎng)絡(luò)演化至穩(wěn)定態(tài).因此，對調(diào)整模型進(jìn)行算法開發(fā)時，s1取值不宜過大，且要能促成較好的軌跡直線性，實(shí)驗(yàn)中可將其設(shè)為10.

3.3 路徑邊際成本定義分析

路徑邊際成本定義分析主要探討基于傳統(tǒng)邊際成本定義的路徑調(diào)整模型（Proportional-switch Adjustment Process with Marginal Cost Preference，PAP-MCP）與PAP-NetMCP 對于網(wǎng)絡(luò)交通流演化的不同影響.圖5為s0=0.002 5和s0=0.005 時，不同s1取值下PAP-MCP 與PAP-NetMCP 這兩種模型的交通流演化軌跡.

由圖5 可知，基于不同邊際成本定義的流量演化軌跡仍存在比較明顯的差異.對于每個分圖左上角（比如路徑1 的流量小于3，路徑2 的流量不小于7）和右下角（比如路徑1 的流量不小于7，路徑2 的流量小于3）的初始點(diǎn)，PAP-NetMCP 的流量演化軌跡的直線性明顯強(qiáng)于PAP-MCP，說明相比于傳統(tǒng)定義，考慮路徑疊加的邊際成本定義更有利于改善相應(yīng)流量調(diào)整算法的性能.對比圖5（a）、圖5（c）、圖5（e）和圖5（b）、圖5（d）、圖5（f）可看出，s0取值一定時，隨著s1的增加，流量演化軌跡的直線性變化趨勢與圖4 的觀察結(jié)果基本一致；對比圖5（a）和圖5（b）、圖5（c）和圖5（d）、圖5（e）和圖5（f）可看出，s1取值一定時，隨著s0的增加，流量演化軌跡的平滑性略有下降（可參見路徑1 和路徑2 的初始流量為（0，10）和（1，9）時對應(yīng)的演化軌跡曲線），主要原因是s0的增加使得用戶反應(yīng)強(qiáng)度上升，可能導(dǎo)致單次流量調(diào)整的幅度加大，進(jìn)而出現(xiàn)圖中顯示的弱乒乓式調(diào)整現(xiàn)象.

圖5 不同s1下PAP-NetMCP 與PAP-MCP 的交通流演化軌跡Fig.5 Traffic flow evolution trajectories of PAP-NetMCP and PAP-MCP under different s1

4 結(jié)論

1）提出了一種適用于路徑疊加網(wǎng)絡(luò)的邊際成本計(jì)算方法，并據(jù)此建立了考慮用戶邊際成本偏好的逐日交通路徑調(diào)整模型PAP-NetMCP.

2）證明PAP-NetMCP 模型是一個理性行為調(diào)整過程，表明邊際成本偏好與理性行為調(diào)整規(guī)則是相容的，豐富了現(xiàn)有逐日交通選擇行為理論基礎(chǔ).

3）通過數(shù)值算例證明考慮用戶邊際成本偏好對于網(wǎng)絡(luò)交通流演化過程的影響顯著，后續(xù)研究不應(yīng)忽視.

4）考慮路徑重疊的邊際成本計(jì)算方法有利于改善流量調(diào)整算法的性能，可使路徑調(diào)整模型的流量演化軌跡長度更短，在此基礎(chǔ)上開發(fā)確定型用戶均衡的求解算法有望獲得更好效果.