考慮旅客等待時(shí)間的城際列車(chē)開(kāi)行方案優(yōu)化

楊云，張小強(qiáng)，1b，1c，喬曉青

（1.西南交通大學(xué)a.交通運(yùn)輸與物流學(xué)院，b.綜合交通大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，c.綜合交通運(yùn)輸智能化國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，成都 611756；2.四川文理學(xué)院 建筑工程學(xué)院，四川 達(dá)州 635002）

隨著我國(guó)城市化進(jìn)程的加速，城市群逐漸成為城市發(fā)展的主要方向，城際旅客出行需求迅速增長(zhǎng)，城際列車(chē)的作用越來(lái)越明顯.目前全國(guó)已經(jīng)開(kāi)通了多條城際客運(yùn)專(zhuān)線，根據(jù)鐵路發(fā)展規(guī)劃，我國(guó)鐵路已經(jīng)形成客運(yùn)專(zhuān)線等相配套的3 萬(wàn)多千米的快速客運(yùn)網(wǎng)絡(luò)，這一網(wǎng)絡(luò)覆蓋人口達(dá)7 億多，能夠滿(mǎn)足人們快速便捷出行的要求，城際列車(chē)因此向著更長(zhǎng)遠(yuǎn)、持久的目標(biāo)發(fā)展.從2020 年7 月開(kāi)始，長(zhǎng)三角城市群3 條城際線路率先試行“鐵路e 卡通”掃碼乘車(chē)，無(wú)需購(gòu)票，隨到隨走，目前該模式已經(jīng)擴(kuò)展到全國(guó)許多城際線路.然而，人們的出行因時(shí)空而分布不均衡，大站和高峰期客流量較大，排隊(duì)等待時(shí)間長(zhǎng)，小站和低峰期客流量則較少，運(yùn)能浪費(fèi).根據(jù)鐵路總公司歷年數(shù)據(jù)，我國(guó)高鐵雖然發(fā)展迅速，但是大部分高鐵線路處于虧損狀態(tài)，對(duì)于市場(chǎng)化改革后的鐵路企業(yè)，減少虧損是需要重點(diǎn)解決的問(wèn)題.因此，如何提高城際列車(chē)開(kāi)行方案的質(zhì)量，對(duì)于減少鐵路企業(yè)成本和乘客等待時(shí)間變得非常迫切.

旅客乘車(chē)等待時(shí)間方面，乘客乘坐公共交通時(shí)，若等待時(shí)間比乘車(chē)時(shí)間更冗長(zhǎng)，則選擇公共交通的意愿會(huì)受到強(qiáng)烈影響，因此減少等待時(shí)間非常重要［1］.Shi等［2］建立嚴(yán)格的綜合整數(shù)線性規(guī)劃模型，盡量減少所有車(chē)站的總等待時(shí)間.針對(duì)周期開(kāi)行城市快速列車(chē)，Barrena等［3］提出4 種優(yōu)化模型，旨在最小化乘客的平均等待時(shí)間.Nachtigali等［4］建立乘客換乘列車(chē)以最小等待時(shí)間的時(shí)間表計(jì)算模型.鄧曉蓉［5］給出了軌道交通網(wǎng)絡(luò)普通站和換乘站乘客候車(chē)時(shí)間的計(jì)算模型.李登輝等［6］基于Fisher 最優(yōu)分割法確定合理客流控制時(shí)段，優(yōu)化了成都地鐵高峰線路乘客總等待時(shí)間.靳國(guó)偉［7］給出高速鐵路平均等待時(shí)間的計(jì)算公式，為運(yùn)營(yíng)周期除以開(kāi)行數(shù)量的兩倍.王媛媛等［8］提出城市軌道交通旅客等待時(shí)間的計(jì)算方法.史峰等［9］針對(duì)車(chē)站需求稀疏時(shí)段，提出發(fā)車(chē)時(shí)間間隔上限要求來(lái)提升高鐵服務(wù)水平.上述研究主要集中在城市公交和軌道交通，多把等待時(shí)間作為一個(gè)固定值納入乘客總旅行時(shí)間，通常取開(kāi)行間隔的一半，這對(duì)于發(fā)車(chē)和停站時(shí)間間隔不等的城際列車(chē)則有較大的出入.

在以成本為導(dǎo)向的列車(chē)開(kāi)行方案優(yōu)化的研究中，Bussieck等［10］設(shè)計(jì)啟發(fā)式變量修復(fù)程序，以荷蘭鐵路公司的真實(shí)數(shù)據(jù)求解了成本最佳的列車(chē)開(kāi)行方案.Yue等［11］提出一種優(yōu)化高速鐵路系統(tǒng)列車(chē)時(shí)刻表的數(shù)學(xué)模型，該模型既能滿(mǎn)足客運(yùn)需求，又能降低鐵路運(yùn)營(yíng)商的成本.Torres等［12］在保證一定服務(wù)質(zhì)量水平的同時(shí)最小化運(yùn)營(yíng)成本.史峰等［13］表明成本主要包括列車(chē)公里費(fèi)用、車(chē)公里費(fèi)用、車(chē)小時(shí)費(fèi)用以及列車(chē)組織費(fèi)用等.付慧伶等［14］建立成本最低的高速列車(chē)開(kāi)行整數(shù)規(guī)劃模型，得到優(yōu)化后的開(kāi)行方案能使服務(wù)指標(biāo)較優(yōu).

對(duì)于等待時(shí)間和開(kāi)行方案的綜合優(yōu)化，Bornd?rfer等15］提出了一個(gè)減少總旅行時(shí)間和運(yùn)營(yíng)成本的模型.Chang等［16］建立鐵路總運(yùn)營(yíng)成本和旅客總出行時(shí)間最小的多目標(biāo)規(guī)劃模型，在給定的需求下生成目標(biāo)最優(yōu)的臺(tái)灣高鐵開(kāi)行方案.戎亞萍［17］則以乘客總出行費(fèi)用和企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本最小為目標(biāo).許得杰等［18］建立城市軌道交通大小交路列車(chē)時(shí)刻表優(yōu)化模型，在運(yùn)營(yíng)成本相等的情形下，乘客等待時(shí)間可減少16.5%.

在我國(guó)城際列車(chē)發(fā)展迅速的同時(shí)，列車(chē)服務(wù)質(zhì)量極不均衡，由12306 官網(wǎng)數(shù)據(jù)可知，以京津城際等客流密集線路開(kāi)行頻率可達(dá)5 min/次，成巴城際等客流較少線路開(kāi)行頻率則達(dá)300 min/次.Lyapunov函數(shù)作為一種控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的優(yōu)化算法，在控制理論方面應(yīng)用非常廣泛，主要用于尋求多時(shí)隙下的動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的全局最優(yōu)，Lyapunov 漂移則是其穩(wěn)定性控制的關(guān)鍵.Neely等［19］利用Lyapunov 漂移技術(shù)開(kāi)發(fā)了一種動(dòng)態(tài)控制策略，對(duì)通信時(shí)變網(wǎng)絡(luò)流量積壓進(jìn)行了優(yōu)化，在平均延遲下，實(shí)現(xiàn)了網(wǎng)絡(luò)最大流量.大多學(xué)者對(duì)旅客時(shí)間費(fèi)用的研究集中在旅行時(shí)間，城際列車(chē)運(yùn)行速度基本固定，減少旅途等待時(shí)間和停站時(shí)間是縮短旅客旅行時(shí)間的主要依據(jù).本文從旅客等待時(shí)間角度出發(fā)，對(duì)鐵路企業(yè)成本和旅客出行效益進(jìn)行優(yōu)化.引入Lyapunov 方法控制旅客排隊(duì)長(zhǎng)度，構(gòu)建描述多時(shí)隙下旅客排隊(duì)長(zhǎng)度與城際列車(chē)開(kāi)行方案的優(yōu)化模型，通過(guò)Little 公式［20］把旅客排隊(duì)長(zhǎng)度轉(zhuǎn)換為旅客等待時(shí)間，實(shí)現(xiàn)對(duì)城際旅客等待時(shí)間與開(kāi)行成本最小化進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化.

1 問(wèn)題描述和假設(shè)

1.1 問(wèn)題描述

假設(shè)一條城際線路上有n個(gè)車(chē)站，各車(chē)站OD對(duì)旅客量為Nij(i，j=1，2，…，n)，城際列車(chē)由始發(fā)站發(fā)車(chē)，經(jīng)過(guò)線路上的所有車(chē)站，到達(dá)終點(diǎn)站.在各站OD 對(duì)客流量和票價(jià)已知的情況下，決策者對(duì)城際列車(chē)的開(kāi)行停站方案進(jìn)行優(yōu)化，以降低鐵路企業(yè)的開(kāi)行成本和旅客排隊(duì)等待時(shí)間，提升城際列車(chē)服務(wù)質(zhì)量.

1.2 模型假設(shè)

對(duì)列車(chē)開(kāi)行方案建模之前，對(duì)問(wèn)題相關(guān)影響因素做出假設(shè)：

1）考慮一條客運(yùn)專(zhuān)線單向客流大小，旅客到達(dá)服從泊松分布；

2）以CRH3C 列車(chē)為例，假定列車(chē)定員為560 人/列，不考慮重聯(lián)，不允許超載；

3）以5 min 鐘時(shí)間段作為一個(gè)時(shí)隙，進(jìn)行列車(chē)的開(kāi)行和停站決策；

4）每個(gè)車(chē)站一趟車(chē)只有一個(gè)服務(wù)臺(tái)，旅客到達(dá)時(shí)間間隔和服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，排隊(duì)模型為M/M/1 標(biāo)準(zhǔn)模型，先到先服務(wù).

2 優(yōu)化模型

2.1 列車(chē)開(kāi)行成本模型

開(kāi)行成本主要考慮列車(chē)的發(fā)車(chē)、停站成本以及列車(chē)停站時(shí)車(chē)上旅客等待成本.為了方便旅客的出行，開(kāi)行方案的基本原則是以盡量少的車(chē)次最大程度地保證旅客直達(dá)，減少開(kāi)行成本和停站次數(shù).建立開(kāi)行成本模型為

式中：t為列車(chē)開(kāi)行時(shí)隙，t=1，2，…，T；κ(t)為0-1 變量，若κ(t)=1，在t時(shí)隙發(fā)車(chē)，反之不發(fā)車(chē)；τi(t)為0-1 變量，若τi(t)=1，表示在t時(shí)隙i站停車(chē)，反之不停站；m為車(chē)站序號(hào)；xij(t)為t時(shí)隙i站到j(luò)站實(shí)際乘車(chē)離開(kāi)的旅客數(shù)；K為列車(chē)開(kāi)行固定成本，元；Pi為列車(chē)在第i站停站成本，元；M為時(shí)間價(jià)值系數(shù)，元/min；C為列車(chē)定員人數(shù)；Si(t)為t時(shí)隙，列車(chē)在i站停站時(shí)長(zhǎng)，min；dij為第i站到j(luò)站路程長(zhǎng)，km；D為總路程長(zhǎng)，km.式（2）中分別表示列車(chē)有開(kāi)行才有停站；列車(chē)在終點(diǎn)站結(jié)束；若列車(chē)在i站不停站，則沒(méi)有旅客上下車(chē)；列車(chē)席位利用率；t時(shí)隙i站上車(chē)的乘客數(shù)與車(chē)上乘客數(shù)總和應(yīng)小于列車(chē)定員數(shù).

2.2 城際列車(chē)旅客排隊(duì)模型

在各個(gè)時(shí)隙，旅客依次來(lái)到車(chē)站排隊(duì)乘車(chē)，未上車(chē)的乘客便會(huì)在車(chē)站產(chǎn)生排隊(duì).根據(jù)旅客的平均到達(dá)率和服務(wù)率，求解乘客平均排隊(duì)等待時(shí)間.如果每個(gè)時(shí)隙都有未上車(chē)旅客，旅客隊(duì)列一直增加，則會(huì)對(duì)整個(gè)線路產(chǎn)生影響.因此，旅客的排隊(duì)問(wèn)題本質(zhì)上也是運(yùn)輸系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題.定義Qij(t)為整數(shù)時(shí)隙上離散時(shí)間i站到j(luò)站排隊(duì)人數(shù)，由旅客到達(dá)和離去情況，相鄰時(shí)隙隊(duì)列長(zhǎng)度變化動(dòng)態(tài)表達(dá)式為

式中：aij(t)為t時(shí)隙i站到j(luò)站新增旅客數(shù)；bij(t)為t時(shí)隙i站到j(luò)站可離開(kāi)旅客數(shù).如果該時(shí)隙有列車(chē)發(fā)出或停站，xij(t)=min[Qij(t)，bij(t)]；如果該時(shí)隙沒(méi)有列車(chē)發(fā)出或停站，則xij(t)=0，因此相鄰時(shí)隙排隊(duì)長(zhǎng)度進(jìn)一步可表示為

對(duì)于任意兩時(shí)隙t1和t2，0 ≤t1≤t2，兩時(shí)隙的排隊(duì)長(zhǎng)度為

對(duì)于任意時(shí)隙的平均排隊(duì)長(zhǎng)度為

對(duì)一個(gè)周期而言，某OD 對(duì)旅客乘車(chē)排隊(duì)平均長(zhǎng)度為

如果t時(shí)隙有列車(chē)開(kāi)行或停站，旅客于t時(shí)隙之前到達(dá)，排隊(duì)乘坐該車(chē)次.根據(jù)Little 定理［21］，系統(tǒng)排隊(duì)作為一個(gè)生滅過(guò)程，等待時(shí)間由服務(wù)率和到達(dá)率決定，而列車(chē)開(kāi)行服務(wù)率比較特殊，由開(kāi)行或停站時(shí)一次性乘車(chē)離開(kāi)排隊(duì)旅客數(shù)決定，旅客乘車(chē)排隊(duì)等待時(shí)間W可表示為

若某車(chē)站列車(chē)可以停站H次，則該站發(fā)車(chē)的某OD 對(duì)旅客乘車(chē)排隊(duì)平均等待時(shí)間為

引理1：隊(duì)列長(zhǎng)度穩(wěn)定定理.對(duì)于制定的列車(chē)開(kāi)行計(jì)劃，如果有列車(chē)發(fā)出或停站的時(shí)隙，排隊(duì)的旅客乘車(chē)離開(kāi)，xij(t)≠0.對(duì)于這些時(shí)隙，可計(jì)算出整個(gè)線路未上車(chē)的旅客平均隊(duì)長(zhǎng)為

因此，對(duì)于每個(gè)周期而言，制定的列車(chē)開(kāi)行方案應(yīng)保證旅客隊(duì)列長(zhǎng)度穩(wěn)定.

2.3 Lyapunov 漂移排隊(duì)長(zhǎng)度變化界限模型

定義3：時(shí)隙t時(shí)，旅客排隊(duì)長(zhǎng)度的Lyapunov 函數(shù)表示為L(zhǎng)(t)=

Lyapunov 函數(shù)L(t)反映了一個(gè)時(shí)隙t內(nèi)隊(duì)列的排隊(duì)人數(shù)多少，最小化L(t)可使一個(gè)時(shí)隙客流排隊(duì)人數(shù)趨于0.由于城際列車(chē)相鄰時(shí)隙的決策相互影響，運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中的客流排隊(duì)量不獨(dú)立存在，前一時(shí)隙的客流排隊(duì)數(shù)會(huì)影響下一時(shí)隙.定義一個(gè)時(shí)隙t內(nèi)的Lyapunov 漂移Δt為

Lyapunov 漂移反映了相鄰時(shí)隙t內(nèi)的旅客隊(duì)列的排隊(duì)變化界限，由于B值固定，當(dāng)最小化Δt時(shí)，即最小化Qij(t)·(aij(t)-xij(t))，則做出的開(kāi)行決策，使Qij(t)·(aij(t)-xij(t))最小，相鄰時(shí)隙排隊(duì)旅客最少.

2.4 Lyapunov 漂移加罰模型

漂移加罰是一種保證旅客排隊(duì)隊(duì)列穩(wěn)定性的同時(shí)，罰函數(shù)優(yōu)化平均時(shí)間成本的方法，對(duì)列車(chē)開(kāi)行成本和旅客排隊(duì)數(shù)通過(guò)罰函數(shù)建立Lyapunov 漂移加罰模型.定義一個(gè)時(shí)隙t內(nèi)的Lyapunov 漂移加罰ΔV(t)為

式中：V為非負(fù)權(quán)重系數(shù).

故在漂移加罰中只需優(yōu)化式（16）即可，開(kāi)行成本模型轉(zhuǎn)化開(kāi)行成本與旅客隊(duì)長(zhǎng)協(xié)同優(yōu)化模型為

式（17）的約束為式（2）.

證明：在一個(gè)周期T內(nèi)存在

對(duì)不等式（18）兩邊時(shí)隙求平均可得

根據(jù)式（20）可得

而B(niǎo)+Q(t)·[a(t)-x(t)]-Δt≥0，由于B*值非負(fù)，因此可得

式（17）反映了列車(chē)開(kāi)行成本和客流排隊(duì)特征，在算法求解的過(guò)程中，通過(guò)調(diào)整V值，可在保證網(wǎng)絡(luò)隊(duì)列穩(wěn)定的前提下，使旅客隊(duì)列長(zhǎng)度和開(kāi)行成本達(dá)到一個(gè)相對(duì)平衡，最終使整個(gè)目標(biāo)最優(yōu)，得到列車(chē)開(kāi)行的最優(yōu)方案.

3 算法設(shè)計(jì)

由于轉(zhuǎn)化后的目標(biāo)函數(shù)非凸，擬采用啟發(fā)式算法求解.和聲搜索（Harmony Search，HS）算法是一種新穎智能啟發(fā)式優(yōu)化算法，通過(guò)不斷調(diào)整和聲庫(kù)的解變量，使函數(shù)值隨著迭代次數(shù)的增加不斷收斂，從而得到最優(yōu)解.其類(lèi)似于遺傳算法等算法，但更簡(jiǎn)單，有針對(duì)性，收斂速度快、穩(wěn)健性好，最大缺點(diǎn)是可能會(huì)陷入局部最優(yōu).因此，擬采用改進(jìn)的和聲搜索（Improved Harmony Search，IHS）算法進(jìn)行求解，提高其全局尋優(yōu)能力［21］，IHS 算法主要是采用動(dòng)態(tài)的音調(diào)調(diào)節(jié)概率PAR，每次迭代PAR 的計(jì)算公式為

式中：gn 為算法當(dāng)前迭代次數(shù)；GERmax為最大迭代次數(shù).

IHS算法流程見(jiàn)圖1，具體實(shí)現(xiàn)步驟分為5個(gè)步驟.

圖1 IHS 算法流程圖Fig.1 Flowchart of IHS algorithm

步驟1：確定所有參數(shù)取值.

步驟2：初始化和聲記憶庫(kù)HMS.由解空間隨機(jī)生成一個(gè)大小為HMCR 的和聲庫(kù).

步驟3：生成一個(gè)新和聲.在［0，1］中產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r1，與HMCR 比較.若r1＜HMCR，在和聲庫(kù)中隨機(jī)拿出一組和聲，否則在解空間中隨機(jī)生成一組和聲.如果這組和聲是從和聲庫(kù)中得到，則以微調(diào)帶寬BW 來(lái)對(duì)和聲進(jìn)行調(diào)整，每次迭代BW 計(jì)算公式為

式中：BWmax、BWmin為最大和最小寬帶值.

進(jìn)而得到一個(gè)新和聲.

步驟4：更新和聲記憶庫(kù).根據(jù)新和聲求得適應(yīng)度值，如果比初始化的和聲庫(kù)中的值差，則替換掉和聲庫(kù)中那個(gè)最差的和聲.

步驟5：檢查算法是否中止.迭代是否達(dá)到最大次數(shù)，否則重復(fù)步驟3 和步驟4.

4 算例分析

成遂渝高鐵作為一條分擔(dān)成渝城市群旅客出行的城際線路，總長(zhǎng)274 km，由遂成鐵路與遂渝鐵路共同組成，線路主要車(chē)站及各路段里程如圖2 所示.該線路票價(jià)為96.5 元，運(yùn)行時(shí)間約為2 h，其票價(jià)比成渝高鐵城際列車(chē)低了近40%，吸引著許多中等收入及以下的旅客出行.根據(jù)2021 年成渝客專(zhuān)公司數(shù)據(jù)，成遂渝高鐵平均每天開(kāi)行20 對(duì)城際列車(chē)，單向載客量約為12 000 人.以成都到重慶為例，由于其開(kāi)行車(chē)次不多，開(kāi)行時(shí)間間隔較大，車(chē)次主要集中上午，存在下午乘車(chē)難和旅客排隊(duì)等待時(shí)間較長(zhǎng)的問(wèn)題.因此，本案例對(duì)該線路開(kāi)行方案進(jìn)行優(yōu)化.模型和算法主要參數(shù)取值見(jiàn)表1.

圖2 成遂渝城際列車(chē)線路圖Fig.2 Route map of Cheng-Sui-Yu intercity high-speed train

表1 參數(shù)取值表Tab.1 Parameter values

根據(jù)車(chē)站城市的GDP、人口總量和聯(lián)系緊密程度等因素，估算各OD對(duì)的客流量占總客流量的比例見(jiàn)表2.

表2 各OD 對(duì)客流量比例Tab.2 Percentage of passenger flow in each OD pairs %

假定列車(chē)開(kāi)行方向?yàn)槌啥紪|到重慶北，分別對(duì)應(yīng)車(chē)站編號(hào)為1～5，共計(jì)10 個(gè)OD 對(duì).考慮到人們出行時(shí)間和城市各種交通方式相互銜接情況，列車(chē)開(kāi)行時(shí)間段設(shè)為6：30 到21：30，共900 min，180 個(gè)時(shí)隙.旅客到達(dá)服從泊松分布，時(shí)間分布呈雙向峰型，分別為早高峰7：00-9：00，晚高峰為17：00-19：00.旅客達(dá)到由Monte Carlo 法生成模擬泊松流，每5 min獲得一個(gè)旅客到達(dá)數(shù)λ，λ為一個(gè)整數(shù)變量，在時(shí)間上處于漸變狀態(tài)，以成都東—重慶北為例，旅客到達(dá)分布如圖3 所示.

圖3 成都東—重慶北各時(shí)隙客流到達(dá)分布圖Fig.3 Distribution map of Chengdu east-Chongqi north passenger flow arrival

假定在列車(chē)開(kāi)行時(shí)間6：30 之前，各OD 對(duì)旅客排隊(duì)乘車(chē)人數(shù)都為0.在當(dāng)前票價(jià)下，列車(chē)的開(kāi)行方案主要取決于客流達(dá)到分布和旅客排隊(duì)人數(shù).根據(jù)模擬的旅客到達(dá)分布，各OD 對(duì)的旅客到達(dá)數(shù)λ作為各OD 對(duì)新增旅客數(shù)，依次輸入模型，采用Matlab 軟件進(jìn)行求解.在計(jì)算過(guò)程中，初始選取權(quán)重系數(shù)V=1 求解，經(jīng)多次計(jì)算取較為穩(wěn)定的最優(yōu)解數(shù)值，以其中一次計(jì)算結(jié)果為例，同時(shí)選取粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）對(duì)比IHS 算法，兩種算法的效率見(jiàn)圖4，由圖4 可知IHS 算法收斂速度優(yōu)于PSO 算法，目標(biāo)函數(shù)結(jié)果相差不大，結(jié)果可靠.

圖4 PSO 算法和IHS 算法效率分析Fig.4 Efficiency analysis of PSO algorithm and IHS algorithm

優(yōu)化后的開(kāi)行方案結(jié)果為每天開(kāi)行28 趟車(chē)次，較優(yōu)化前增加8 列，中間停站數(shù)也有了一定增加，主要是在非高峰時(shí)隙增加了一定車(chē)次，旅客出行更加便捷，開(kāi)行方案見(jiàn)圖5.同時(shí)，高峰時(shí)隙開(kāi)行車(chē)次相對(duì)非高峰時(shí)隙更為密集，有效地耦合了客流出行需求，能減少旅客排隊(duì)等待時(shí)間.優(yōu)化后開(kāi)行方案中有直達(dá)列車(chē)4 列，所有車(chē)站全停列車(chē)3 列，其他車(chē)次則是停靠3 個(gè)或4 個(gè)車(chē)站，車(chē)站2、3、4 停站次數(shù)分別為12、16、14 次.

圖5 列車(chē)開(kāi)行與停站方案圖Fig.5 Schematic diagram of train running and stopping plan

優(yōu)化前高峰時(shí)隙旅客排隊(duì)隊(duì)列長(zhǎng)度較小，大多數(shù)高峰時(shí)隙旅客排隊(duì)人數(shù)控制100 人以?xún)?nèi)；多數(shù)非高峰時(shí)隙旅客隊(duì)列較長(zhǎng)，旅客到達(dá)車(chē)站不能及時(shí)被運(yùn)走，隊(duì)列長(zhǎng)度一直增加，部分時(shí)隙排隊(duì)人數(shù)超過(guò)600 人；由于晚間缺少開(kāi)行列車(chē)，選擇該線路1 300多名旅客的出行不能得到滿(mǎn)足，運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)定.優(yōu)化后整個(gè)周期列車(chē)開(kāi)行時(shí)間間隔比較均衡，平均每個(gè)時(shí)隙旅客排隊(duì)人數(shù)在200 人以?xún)?nèi)，保證了旅客平均到達(dá)率小于平均服務(wù)率，系統(tǒng)隊(duì)列長(zhǎng)度不會(huì)無(wú)限增加，運(yùn)輸線路保持穩(wěn)定.開(kāi)行方案優(yōu)化前后各時(shí)隙旅客排隊(duì)人數(shù)變化情況見(jiàn)圖6，優(yōu)化后各OD 對(duì)旅客平均排隊(duì)人數(shù)見(jiàn)表3.結(jié)果表明旅客平均排隊(duì)人數(shù)與兩城市的客流量大小呈正相關(guān)關(guān)系，客流量越大，平均排隊(duì)人數(shù)越多.

表3 各OD 旅客平均排隊(duì)人數(shù)Tab.3 The average number of passengers in queue for each OD

圖6 優(yōu)化前后旅客排隊(duì)人數(shù)圖Fig.6 The number of passengers in queue before and after optimization.

根據(jù)式（9）計(jì)算得到某OD 對(duì)旅客平均等待時(shí)間，然后進(jìn)行累加，得到所有OD 對(duì)旅客平均等待時(shí)間減少約12.1 min，減少比例為28.3%.

對(duì)于權(quán)重系數(shù)V值對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的影響，V分別取值為1、5、10、20、50、100、200、500，計(jì)算列車(chē)開(kāi)行成本和旅客排隊(duì)長(zhǎng)度值，結(jié)果如圖7 所示.當(dāng)V逐漸増大時(shí)，鐵路企業(yè)的開(kāi)行成本權(quán)重增加，開(kāi)行成本逐漸收斂到最優(yōu)值，排隊(duì)人數(shù)也逐漸逼近到最大值.V取17 時(shí)，開(kāi)行成本和排隊(duì)人數(shù)兩者比較均衡；當(dāng)V＞200后，開(kāi)行成本和旅客排隊(duì)人數(shù)趨于穩(wěn)定.權(quán)重系數(shù)V表明在客流到達(dá)分布一定的條件下，開(kāi)行成本存在下界，旅客排隊(duì)等車(chē)人數(shù)存在上界，開(kāi)行成本和旅客等待時(shí)間逐漸趨于穩(wěn)定，與引理2 相符，式（17）可實(shí)現(xiàn)開(kāi)行成本與平均排隊(duì)長(zhǎng)度兩者的協(xié)同優(yōu)化.

圖7 開(kāi)行成本、排隊(duì)人數(shù)與權(quán)重系數(shù)V 關(guān)系Fig.7 Relationship between operation cost,number of people in queue and weighting factor V

5 結(jié)論

針對(duì)無(wú)須購(gòu)票的公交化城際列車(chē)開(kāi)行方案優(yōu)化問(wèn)題，引入Lyapunov 函數(shù)控制旅客乘車(chē)排隊(duì)長(zhǎng)度，實(shí)現(xiàn)旅客排隊(duì)等待時(shí)間和鐵路企業(yè)開(kāi)行成本的協(xié)同優(yōu)化.主要研究結(jié)論如下：

1）相比現(xiàn)行開(kāi)行方案優(yōu)化模型，Lyapunov 排隊(duì)長(zhǎng)度變化界限模型可以在保證鐵路企業(yè)成本的情形下，有效控制旅客的乘車(chē)排隊(duì)長(zhǎng)度，減少旅客的排隊(duì)等待時(shí)間，滿(mǎn)足旅客快速出行，保證運(yùn)輸線路穩(wěn)定.

2）鐵路企業(yè)可以根據(jù)實(shí)際情況，不斷調(diào)整權(quán)重系數(shù)平衡雙方的利益，V值越大則表示越注重鐵路企業(yè)開(kāi)行成本，最終實(shí)現(xiàn)雙方利益的最優(yōu).

3）鐵路企業(yè)已經(jīng)獲得自主定價(jià)權(quán)利，可以制定不同票價(jià)來(lái)吸引旅客出行，而票價(jià)又會(huì)調(diào)節(jié)客流量大小，未來(lái)可以研究“鐵路e 卡通”型城際列車(chē)定價(jià)與開(kāi)行方案的協(xié)同優(yōu)化，以方便乘客出行和提升鐵路企業(yè)收益.