基于加權(quán)子空間投影的改進(jìn)空間平滑DOA 估計算法

馬 騰，杜 江

（1.成都信息工程大學(xué)通信工程學(xué)院，四川成都 610225；2.氣象信息與信號處理四川省高校重點實驗室，四川 成都 610225）

波達(dá)方向估計（DOA 估計）在雷達(dá)及通信等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用且是陣列信號處理的重要研究分支及組成部分[1-2]。由于傳播環(huán)境的復(fù)雜性以及多徑效應(yīng)衰落等，入射到陣列上的信號普遍存在強(qiáng)相關(guān)或相干的情況。傳統(tǒng)的高分辨算法MUSIC、ESPRIT 等都是基于非相干信號提出的，而相干信號可使陣列輸出協(xié)方差秩虧損為欠秩矩陣，則傳統(tǒng)算法不能直接用來對DOA 進(jìn)行估計。

針對這種情況，經(jīng)典的空間平滑技術(shù)作為一種解相干預(yù)處理技術(shù)[3]，近年來被不斷改進(jìn)且被用于不同領(lǐng)域。文獻(xiàn)[4-5]提出了不同的對陣列輸出協(xié)方差進(jìn)行二次平滑加權(quán)的算法，都是為了彌補(bǔ)傳統(tǒng)的空間平滑技術(shù)沒有對陣列輸出協(xié)方差的自相關(guān)和互相關(guān)信息充分利用而進(jìn)行改進(jìn)。文獻(xiàn)[6]把傳統(tǒng)空間平滑技術(shù)引入到特征空間MUSIC，進(jìn)行DOA 估計的同時還可以對信號功率進(jìn)行估計。文獻(xiàn)[7]對文獻(xiàn)[6]的空間平滑技術(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，對空間平滑子陣列輸出的自相關(guān)矩陣進(jìn)行了互相關(guān)處理。文獻(xiàn)[8]將一種改進(jìn)的空間平滑及其修正與PM 算法結(jié)合，形成快速解相干算法。文獻(xiàn)[9-13]則將空間平滑技術(shù)及其修正引入到不同的新體制雷達(dá)，進(jìn)行相干目標(biāo)的DOA 估計?？梢娍臻g平滑解相干技術(shù)仍值得深入研究和改進(jìn)。而對于子空間類算法DOA 估計的改進(jìn)，近年來文獻(xiàn)[14-18]提出了對子空間進(jìn)行投影加權(quán)的改進(jìn)算法，形成噪聲子空間與信號子空間的空間疊加譜來進(jìn)行DOA 估計，其改善了當(dāng)快拍數(shù)過少及低信噪比時的DOA 估計性能。

針對上述很少提及間隔較近的臨近相干信號源DOA 估計，該文提出利用一種增強(qiáng)的改進(jìn)空間平滑技術(shù)進(jìn)行解相干預(yù)處理，再通過改進(jìn)的對子空間投影加權(quán)的算法進(jìn)行DOA 估計，使其在低信噪比及小快拍情況下對間隔很近的相干信號源有著更好的分辨力及測量精度，文中對比了其他算法證明了該算法的性能。

1 陣列信號數(shù)學(xué)模型

假設(shè)有K個遠(yuǎn)場窄帶信號入射到由M個全向天線陣元組成的均勻線陣（ULA），各陣元之間間距d為傳播波長λ的一半，則陣列在t時刻對應(yīng)第m個陣元的輸出可表示為：

其中，sk(t)為第k個入射信號，nm(t)為第m個陣元受到的高斯白噪聲干擾，θk為第k個信號的DOA。定義θk方向向量為：

則陣列流型矩陣A定義為A=[a(θ1),…,a(θk)]，所有M個陣元的輸出為x(t)=[x1(t),…,xM(t)]T。當(dāng)快拍數(shù)為L時，陣列輸出可寫成如下形式：

其中，X(t)為M×L維輸出數(shù)據(jù)，S(t)=[s(t1),…,s(tL)]為K×L維入射到陣列的信號，N(t)=[n(t1),…,n(tL)]為M×L維加性高斯白噪聲。則可定義陣列輸出的協(xié)方差矩陣為：

其中，RS=E[S(t)SH(t)] 為信號源S(t)的信號協(xié)方差矩陣，IM為M×M維單位矩陣。通常在實際應(yīng)用中，式（4）的協(xié)方差矩陣R通過估計得到。因?qū)嶋H傳播環(huán)境空間的復(fù)雜性通常會有相干信號的出現(xiàn)，相干信號之間通常相差一個復(fù)常數(shù)增益。假設(shè)有i個相干信號源，則有：

其中，ai表示第i個相干信號源相對于生成相干信號的原始信源s0(t)的復(fù)增益。則結(jié)合上述信號源表達(dá)式可得相干信號的信號源為s(t)=[a1s0(t),…,ais0(t),…,sK(t)]T。

當(dāng)來自不同方位的信號及相干信號入射陣列時，相干信號會導(dǎo)致陣列輸出的信號協(xié)方差矩陣欠秩，使其秩不等于信號源數(shù)。需要進(jìn)行解相干預(yù)處理才可結(jié)合基于子空間的高分辨算法（如MUSIC、ESPRIT）進(jìn)行DOA 估計。

該文中右上標(biāo)“*”表示復(fù)共軛，“T”表示轉(zhuǎn)置，“H”表示共軛轉(zhuǎn)置。

2 改進(jìn)的空間平滑加權(quán)子空間投影算法（ESS-WPMUSIC）

2.1 傳統(tǒng)的空間平滑技術(shù)

傳統(tǒng)的空間平滑技術(shù)是將等距線陣進(jìn)行平滑并將其分為多個彼此交錯重疊的子陣列，把各子陣列輸出的協(xié)方差矩陣相加并平均后取得空間平滑協(xié)方差矩陣，恢復(fù)該矩陣的秩從而可以有效解相干。若每個子陣的陣元數(shù)為m，將陣列平滑分成p個子陣列，則滿足M=p+m-1，如圖1 所示。

圖1 空間平滑示意圖

傳統(tǒng)的空間平滑技術(shù)有前向、后向及雙向平滑，雙向平滑是前向和后向平滑的結(jié)合。前、后向空間平滑至多可解相干信源數(shù)為，而雙向空間平滑為，適當(dāng)減小了陣列孔徑的損失。若定義左邊第一個平滑子陣列為參考陣列，兩個選擇矩陣為Zl、Ql[8]，其中，Zl=[Om×(l-1)|Im×m|Om×(p-l)]，而Ql則是把中間的m×m維單位陣Im×m換成了反對角線為1 的置換矩陣。則第l個前向平滑子陣列的輸出為，結(jié)合式（4）得到前向平滑的協(xié)方差矩陣為：

由于前向平滑子陣列輸出與后向平滑子陣列輸出互相滿足共軛倒序不變性，則可得出后向平滑的協(xié)方差矩陣及前、后向平滑協(xié)方差矩陣之間的關(guān)系為：

結(jié)合式（6）-（8）可推得雙向平滑的協(xié)方差矩陣為：

前向平滑的協(xié)方差矩陣相當(dāng)于由陣列協(xié)方差矩陣R的主對角線左上角沿主對角線依次平滑選取p個相互交錯重疊的自相關(guān)子矩陣進(jìn)行相加再平均取得。如圖2 所示，圖中的m×m維分塊子矩陣Rij（及下文的Rij）由矩陣R的第i行至m+i-1 行和第j列至m+j-1 列構(gòu)成。協(xié)方差矩陣R沿主對角線的第l個分塊子矩陣Rll為前向平滑第l個子陣列輸出的協(xié)方差矩陣。由于共軛倒序不變性，對Rll進(jìn)行式（8）處理即可得到后向平滑子陣列輸出的協(xié)方差矩陣。

圖2 協(xié)方差矩陣R 的分塊示意圖

2.2 改進(jìn)的增強(qiáng)空間平滑技術(shù)（ESS）

經(jīng)過上節(jié)分析，傳統(tǒng)的空間平滑技術(shù)只是利用了協(xié)方差矩陣R主對角線的自相關(guān)子矩陣信息，并沒有充分利用陣列輸出來加強(qiáng)空間平滑矩陣中的信號成分以提高分辨能力，當(dāng)相干源的波達(dá)角間隔很小時，其分辨性能會顯著下降。針對這種情況，一種改進(jìn)的空間平滑技術(shù)（ISS）[7]是將前向及后向平滑子陣列輸出的自相關(guān)矩陣依次分別進(jìn)行互相關(guān)處理并求和平均，得到改進(jìn)的空間平滑協(xié)方差矩陣。分析易知，其是利用2p2個平滑子陣列輸出的自相關(guān)矩陣作為權(quán)值進(jìn)行互相關(guān)加權(quán)，通過二次平滑使陣列輸出協(xié)方差矩陣R的主對角線上自相關(guān)信息對等效空間平滑矩陣的信號成分影響增強(qiáng)，較充分地利用了陣列輸出來提高分辨能力。ISS 的雙向平滑協(xié)方差矩陣的表達(dá)式如下：

可以看出，ISS 也只是對陣列協(xié)方差R的自相關(guān)子矩陣進(jìn)行加權(quán)利用，并沒有利用互相關(guān)子矩陣。而文獻(xiàn)[5]提到了對協(xié)方差矩陣R關(guān)于主對角線對稱位置的互相關(guān)子矩陣Rij進(jìn)行互相關(guān)處理，構(gòu)造空間平滑矩陣的另一種改進(jìn)空間平滑技術(shù)(ISSO)。類比于ISS，ISSO 的雙向空間平滑協(xié)方差矩陣如下：

ISS 及ISSO 都是進(jìn)行二次空間平滑處理來提高測向分辨性能，但都只利用了自相關(guān)子矩陣或互相關(guān)子矩陣，并沒有利用全部子矩陣的信息。該文結(jié)合兩者優(yōu)點，利用所有自相關(guān)及互相關(guān)子矩陣得到一種改進(jìn)的增強(qiáng)空間平滑技術(shù)（ESS），使得原陣列協(xié)方差矩陣R的主對角線上的元素及關(guān)于主對角線對稱元素對等效空間平滑矩陣的影響得到加強(qiáng)，ESS空間平滑矩陣表達(dá)式如下：

該增強(qiáng)空間平滑技術(shù)充分利用了所有自、互相關(guān)矩陣。利用了4p2個加權(quán)相關(guān)矩陣得到空間平滑矩陣，加強(qiáng)信號成分，且對同一自相關(guān)子矩陣進(jìn)行三次加權(quán)累積，同時也考慮了互協(xié)方差矩陣的加權(quán)效果，可更好地提高分辨性能。

2.3 加權(quán)子空間投影WPMUSIC算法

在得到式（12）的空間平滑協(xié)方差矩陣后，對其進(jìn)行特征分解，其中，US是信號子空間，其由與信號源數(shù)目相同的K個較大特征值所對應(yīng)的特征向量構(gòu)成，而UN為其余的m-K個特征向量組成的噪聲子空間。信號子空間與陣列流型A張成的空間屬同一空間且與噪聲子空間在理想情況下是彼此正交的。若考慮實際噪聲干擾，則||a(θ)UN||2會接近于零。由傳統(tǒng)的MUSIC算法得知，DOA 估計可通過構(gòu)建式（13）MUSIC 空間譜進(jìn)行譜峰搜索得到：

由式（13）可知，空間各方位的方向向量到噪聲子空間正交基的投影值的大小決定了譜峰的尖銳程度。當(dāng)信噪比較低或快拍數(shù)目過小時，對陣列協(xié)方差R的估計會有較大的偏差，使特征分解后的噪聲子空間產(chǎn)生畸變，可能會使信源方向向量在噪聲子空間的投影大于信源之間某些非信源方位的方向向量在噪聲子空間的投影，則無法對相距較近的兩信源進(jìn)行有效精確分辨，通常在空間譜上表現(xiàn)為一個模糊融合譜峰。而該文所提的加權(quán)投影WPMUSIC算法在此情況下有效改善了分辨性能，不同于文獻(xiàn)[15-17]對子空間的加權(quán)方式，該文利用方向矢量在大致信源范圍內(nèi)求得一個域積分Rθ=∫θa(θ)dθ，以此作為權(quán)值分別對信號子空間和噪聲子空間進(jìn)行加權(quán)，構(gòu)造加權(quán)矩陣為可以看出其權(quán)重的大小與子空間與Rθ的相關(guān)程度有關(guān)，相關(guān)程度越大則對應(yīng)的權(quán)重越大。然后得到修正后的信號子空間及噪聲子空間的投影矢量矩陣為。處于信源方位的方向向量由于與信號源信號子空間有很強(qiáng)的相關(guān)性，則經(jīng)過修正后的信號子空間投影矩陣的投影增大。而對于噪聲子空間加權(quán)，則保留了信源真實方位的方向向量與臨近的非源方位方向向量的相關(guān)性，有利于壓低相距較近的兩信號源之間非源方位的譜線高度，同時又增強(qiáng)了信號源方位對應(yīng)的方向向量與噪聲子空間的正交性。結(jié)合經(jīng)過空間投影加權(quán)的信號子空間與噪聲子空間，構(gòu)成一種疊加譜，進(jìn)行DOA 估計，如式（14）所示：

經(jīng)過這樣的加權(quán)投影進(jìn)行DOA 估計可以減少非源方位的方向向量與信號子空間的相關(guān)性以及對噪聲子空間的正交性，利用對信號子空間投影加權(quán)提升算法的抗噪性以及對噪聲子空間投影加權(quán)提升精度的特點[14-15]，提高了估計時的靈敏度，從而提高了相距較近信號時的分辨力。

2.4 該文算法實現(xiàn)步驟

通過上文所述，歸納該文ESS-WPMUSIC 算法實現(xiàn)的主要步驟如下：

1）對原陣列接收數(shù)據(jù)進(jìn)行增強(qiáng)的改進(jìn)空間平滑處理，得到式（12）的矩陣RESS。

2）特征分解RESS后得到信號子空間US與噪聲子空間UN。

在工業(yè)和信息化部、中國工業(yè)經(jīng)濟(jì)聯(lián)合會最近聯(lián)合通告的第三批制造業(yè)單項冠軍企業(yè)和單項冠軍產(chǎn)品名單上，上海市化工行業(yè)協(xié)會理事單位，浙江大華技術(shù)股份有限公司排名單項冠軍示范企業(yè)第18位；副會長單位，上海百金化工集團(tuán)生產(chǎn)的名牌產(chǎn)品“二硫化碳”排名單項冠軍產(chǎn)品第10位。

3）對DOA 進(jìn)行粗估得到方位角大致范圍，然后可得Rθ=∫θa(θ)dθ。

5）通過式（14）得到DOA 的精細(xì)化估計。

3 仿真實驗及分析

對所提算法ESS-WPMUSIC 與SS-OPM[8]、ISSMUSIC[7]、SS-ESMUSIC[6]、ESS-MUSIC[5]以及傳統(tǒng)的雙向平滑SS-MUSIC 進(jìn)行對比分析。

3.1 DOA估計的空間譜對比

仿真中采用陣元數(shù)M=14 的均勻線陣，空間平滑子陣列陣元數(shù)m=7，接收快拍數(shù)為L=500。ESSWPMUSIC積分區(qū)間以及SNR分別選取[-20°,20°]0 dB，[0°,10°] 5 dB。分別對來自-15°、-5°、5°、15°的大間隔相干信號以及1°、3°的小間隔相干信號進(jìn)行仿真，如圖3-4 所示?？梢钥闯觯崴惴o論在信源間隔較大或較小時，相較于其他算法，其空間譜譜峰更加明顯且無模糊融合，能較好地解相干且估計出DOA。尤其是當(dāng)信源間隔較近時，所提算法的譜峰明顯且尖銳，雖估計DOA稍有不超過1°的偏差，但仍展現(xiàn)了良好的解相干性能及分辨力，而其余算法的譜峰已模糊融合為一個而不是兩個單獨的譜峰，無法有效分辨信號的DOA。

圖3 大間隔信源時DOA估計性能空間譜對比

圖4 小間隔信源時DOA估計性能空間譜對比

3.2 算法性能比較

式中，K為信號源總數(shù)，Q為蒙特卡洛仿真實驗總次數(shù)，為第q次蒙特卡洛實驗θk的DOA 估計值，θk為第k個信號源的DOA 真實值。

假設(shè)陣列陣元數(shù)以及空間平滑子陣列陣元數(shù)依然與上一節(jié)一致，快拍數(shù)為500，SNR 從-10 dB 以2 dB 為步長增加至20 dB，對每一SNR 進(jìn)行500 次蒙特卡洛實驗，分別在大、小間隔信號下進(jìn)行仿真并統(tǒng)計所得RMSE 曲線圖，如圖5-6 所示?？梢钥闯觯薙S-OPM 算法在大間隔信源且較高信噪比進(jìn)行DOA 估計時其RMSE 急劇下降外，其余算法隨著SNR 的增高，無論在大、小間隔信號情況下，其RMSE都會降低。而該文算法在低SNR 時的RMSE 最低，在大間隔信源DOA 估計中，SNR 在6 dB 以后的RMSE 與ESS-MUSIC 基本一致，在小間隔信源DOA估計中則為12 dB 以后，說明該文算法在低SNR 時，具有更好的估計精度及穩(wěn)健性。

圖5 大間隔信源下SNR-RMSE對比

下面研究快拍數(shù)對RMSE 的影響，SNR 選取10 dB，空間平滑子陣列陣元數(shù)及陣列陣元數(shù)不變，快拍數(shù)從100 至1 000 遞增。分別對大、小間隔信號進(jìn)行仿真并統(tǒng)計所得RMSE 曲線圖，如圖7-8 所示。在此假設(shè)條件下，SS-OPM 算法已失去了估計性能，在大間隔信源下，該文算法隨著快拍數(shù)的增加，與ESS-MUSIC 有著最低的RMSE，而在小間隔信源下，該文算法在快拍數(shù)為500 以下時明顯優(yōu)于其他算法，說明該文算法尤其是在小間隔信源及快拍數(shù)目少時有著更好的分辨力及魯棒性。

圖6 小間隔信源下SNR-RMSE對比

圖7 大間隔信源下快拍數(shù)-RMSE對比

3.3 角度差值對算法性能影響對比

圖8 小間隔信源下快拍數(shù)-RMSE對比

假設(shè)陣列陣元數(shù)以及空間平滑子陣列陣元數(shù)和上節(jié)一致，快拍數(shù)為500，兩全相干信號源的一個來向為1°，另一個從2°開始以1°為間隔遞增至6°，該文算法積分區(qū)間選取[0°,10°]，在SNR 選取15 dB 及5 dB 時，分別進(jìn)行500 次蒙特卡洛仿真，得到RMSE 隨著信源角度差值遞增的曲線圖，如圖9-10 所示。從圖中可以看出，所有算法隨著信源角度差值的增大其RMSE 普遍降低，但該文算法無論在較高或較低信噪比中相較于其他算法，在信源間距較小時，分辨力更強(qiáng)。

圖9 SNR=15 dB時信源角度差值-RMSE對比

圖10 SNR=5 dB時信源角度差值-RMSE對比

4 結(jié)束語

該文提出了一種增強(qiáng)的空間平滑與改進(jìn)子空間投影加權(quán)結(jié)合進(jìn)行DOA估計的算法。首先，對相干信號進(jìn)行增強(qiáng)空間平滑解相干處理，充分利用陣列輸出的協(xié)方差數(shù)據(jù)增強(qiáng)了解相干性能及分辨力，然后通過改進(jìn)的投影加權(quán)WPMUSIC 算法進(jìn)行DOA 估計，通過對子空間進(jìn)行加權(quán)增強(qiáng)了信號源間隔較近時的分辨力。仿真結(jié)果表明，所提算法在快拍數(shù)目少及低信噪比情況下對相干信號有著更好的分辨力，尤其是對相干且間隔較近的臨近信號有著很好的DOA估計性能。