提高大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性：大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的突破口

杜紅珍

寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 寶雞 721013

大學(xué)數(shù)學(xué)是大學(xué)理工科學(xué)生不可或缺的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，是他們?cè)诖髮W(xué)階段建構(gòu)其專業(yè)知識(shí)體系的基石。但是從歷年相關(guān)專業(yè)學(xué)情調(diào)查情況看，高校學(xué)生大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀很不樂觀。近年來(lái)，關(guān)于大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，各級(jí)各類學(xué)校進(jìn)行了一系列的改革，比如加強(qiáng)數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化的教學(xué)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)美的熏陶，但其效果卻往往不盡如人意。大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)到底應(yīng)該怎樣改革才能改變現(xiàn)狀呢？實(shí)際上對(duì)于這個(gè)問題，我們可以轉(zhuǎn)換一個(gè)角度發(fā)問：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)到底有什么價(jià)值？只有回歸到大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)，我們才能找到解決問題的突破口。

一、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有何價(jià)值

有人說數(shù)學(xué)是“科學(xué)的皇后”，是指數(shù)學(xué)以其抽象的形式，追求高度精確、可靠的知識(shí)，成為人類思維方法的典范，并日益滲透到其他知識(shí)領(lǐng)域。一個(gè)人，不管他將來(lái)從事什么職業(yè)，思維能力可以說是無(wú)形的財(cái)富，而數(shù)學(xué)正是以其縝密的思維影響著人們。從事數(shù)學(xué)相關(guān)工作的人需要數(shù)學(xué)思維，從事物理、天文、生物、經(jīng)濟(jì)甚至歷史、文學(xué)、政治等學(xué)科的研究和工作也需要數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)思維可以濃縮為兩個(gè)字即“證”和“算”?！白C”就是邏輯推理和演繹證明，“算”就是算法構(gòu)造和計(jì)算。歐幾里得幾何原本以幾條為數(shù)不多的公設(shè)或公理作為全書推理的出發(fā)點(diǎn)，構(gòu)成了人類歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系。

除了理工科里有數(shù)學(xué)知識(shí)，歷史學(xué)、政治學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)中也有數(shù)學(xué)的影子。學(xué)過美國(guó)歷史的人可能都記得《獨(dú)立宣言》開頭的那句話：“我們認(rèn)為下述真理是不言而喻的：人人生而平等……”既然“人人生而平等”，英國(guó)國(guó)王違背了這條真理，人民自然就有權(quán)反抗他。把大家認(rèn)為“簡(jiǎn)單而不可爭(zhēng)辯的原則”和“不言而喻的真理”作為出發(fā)點(diǎn)，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)說就是從公理出發(fā)。所以數(shù)學(xué)體現(xiàn)出的是嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)、可靠、客觀公正。關(guān)于數(shù)學(xué)的這種品質(zhì)，愛因斯坦曾說過這樣一段話：為什么數(shù)學(xué)比其他一切學(xué)科都受到特殊尊重，一個(gè)理由就是它的命題和結(jié)論是絕對(duì)可靠的和無(wú)可爭(zhēng)辯的。牛津大學(xué)法律系課程中之所以有數(shù)學(xué)，他們看重的就是數(shù)學(xué)的這種客觀公正的品質(zhì)。培根名言“數(shù)學(xué)使人周密”也揭示了數(shù)學(xué)的這個(gè)作用。

數(shù)學(xué)除了具有嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)、可靠以及客觀公正的特征，還有個(gè)最大的特征就是它作為工具的實(shí)用性。與數(shù)學(xué)相關(guān)的名言除了“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后”還有“數(shù)學(xué)是科學(xué)的仆人”，就是說一切科學(xué)都需要借助數(shù)學(xué)這個(gè)手段才能最終完成它在人類發(fā)展史上的重大使命?？梢哉f，人類的發(fā)展史就是數(shù)學(xué)運(yùn)用的發(fā)展史。恩格斯著名的《反杜林論》對(duì)于數(shù)學(xué)的產(chǎn)生是這樣論述的：“數(shù)學(xué)是從人的需要中產(chǎn)生的；是從丈量土地和測(cè)量容積，從計(jì)算時(shí)間和制造器皿中產(chǎn)生的?！彼晕覀冋f，一切科學(xué)產(chǎn)生于實(shí)踐，尤其是數(shù)學(xué)。伽利略認(rèn)為宇宙就是一本用數(shù)學(xué)寫成的大書，如果不掌握數(shù)學(xué)，怎么能揭示宇宙埋藏的秘密？物理學(xué)，從經(jīng)典物理學(xué)到現(xiàn)代物理學(xué)，每一步的發(fā)展都離不開數(shù)學(xué)的作用。當(dāng)伽羅瓦用“群”的概念來(lái)解釋什么樣的方程才能用根式來(lái)求解這個(gè)問題時(shí)，物理學(xué)家驚喜地發(fā)現(xiàn)，“群”正是他們需要用來(lái)描述一般對(duì)稱性的精確語(yǔ)言。所以，有很多物理規(guī)律是在物理學(xué)家研究物理現(xiàn)象時(shí)借助數(shù)學(xué)而發(fā)現(xiàn)的，但也有很多像對(duì)稱性的描述一樣，是在數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的基礎(chǔ)上形成的，這就是為什么有很多物理學(xué)家本身也是數(shù)學(xué)家的一個(gè)原因。實(shí)際上，在大自然和我們的生活中，可以說數(shù)學(xué)是無(wú)處不在、無(wú)時(shí)不在的：計(jì)算機(jī)、超音速飛機(jī)、CT、股市、信息安全以及精美的繪畫藝術(shù)等等，都離不開數(shù)學(xué)。一句話，作為最古老的知識(shí)領(lǐng)域之一，在人類文明的發(fā)展進(jìn)程中，數(shù)學(xué)發(fā)揮著巨大的作用。

數(shù)學(xué)的精密和嚴(yán)格常常讓人產(chǎn)生聯(lián)想。1976年，美國(guó)普林斯頓大學(xué)的庫(kù)恩教授竟然是這樣求次復(fù)系數(shù)方程z+az+…az+a=0的：他準(zhǔn)備了一個(gè)培養(yǎng)皿和一個(gè)立體的大籬笆，這籬笆越往上越密。然后他把要解的方程的信息“告訴”培養(yǎng)皿，皿內(nèi)吐出幾個(gè)新芽，芽變成藤，飛快地攀上籬笆，一層一層往上爬。最后，每根藤恰好指向方程的一個(gè)根，于是方程的n 個(gè)根便被找出來(lái)了。與會(huì)者看得目瞪口呆，但這實(shí)實(shí)在在利用的還是數(shù)學(xué)上的方法，這就是拓?fù)鋵W(xué)著名的“不動(dòng)點(diǎn)理論”。數(shù)學(xué)所體現(xiàn)出的這種美千百年來(lái)讓人著迷。著名的斐波那契數(shù)列產(chǎn)生于兔子的繁殖問題，但是也許連斐波那契都沒有料到的是，隨后人們?cè)谧匀唤缰邪l(fā)現(xiàn)由該問題導(dǎo)致的數(shù)列是如此普遍地存在著，譬如向日葵上方向相反的兩簇等角螺線的數(shù)目竟然是斐波那契數(shù)列的兩個(gè)相鄰項(xiàng)。還有菊花、牽牛花、馬蹄蓮、萬(wàn)代蘭、大戟等等都體現(xiàn)出這一特征。就連蜜蜂中的各代雄蜂、雌蜂以及雌雄蜂總數(shù)也構(gòu)成了斐波那契數(shù)列。當(dāng)然，數(shù)學(xué)所體現(xiàn)出的符號(hào)、公式、概念的簡(jiǎn)潔性、和諧性、整體性和對(duì)稱性更是美不勝收，讓人陶醉其中。所以古希臘數(shù)學(xué)家普洛克拉斯曾說：“哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美。”哲學(xué)家羅素也發(fā)出這樣的感嘆：“數(shù)學(xué)，如果你正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美?！?/p>

綜上所述，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，讓人體會(huì)到的是其廣泛的應(yīng)用價(jià)值、嚴(yán)密的邏輯推理和無(wú)處不在的美學(xué)價(jià)值。

二、大學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不感興趣的原因分析

數(shù)學(xué)一直貫穿小學(xué)、中學(xué)和大學(xué)教育階段，理工類、經(jīng)管類學(xué)科的研究生教育也離不開數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)的重要性不言而喻，有不少教師甚至認(rèn)為得數(shù)學(xué)者得天下。既然數(shù)學(xué)具有如此重要的作用，為什么有很多大學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣呢？筆者試著從學(xué)生接受數(shù)學(xué)教育的兩個(gè)階段來(lái)分析。首先，在基礎(chǔ)教育階段，數(shù)學(xué)是小升初、中考和高考的必考科目，學(xué)校和教師都十分重視，往往把數(shù)學(xué)課安排在上午的黃金時(shí)段。家長(zhǎng)也非常重視孩子的數(shù)學(xué)成績(jī)，除了要求孩子認(rèn)真完成學(xué)校布置的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)，還要給孩子購(gòu)買數(shù)學(xué)教輔書和試題，在周末或寒暑假給孩子報(bào)線下或線上輔導(dǎo)班來(lái)提高孩子的數(shù)學(xué)成績(jī)。“雙減”政策出臺(tái)后，部分家長(zhǎng)還會(huì)在課余時(shí)間送孩子到培訓(xùn)機(jī)構(gòu)補(bǔ)數(shù)學(xué)。然而，不少教師和家長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)，學(xué)校、家長(zhǎng)的努力卻常常事倍功半，學(xué)生偏科，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣不濃厚，認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥乏味或者難懂難學(xué)，到最后甚至出現(xiàn)抵觸數(shù)學(xué)老師的現(xiàn)象。為什么會(huì)有這樣的結(jié)果呢？筆者認(rèn)為主要問題在于部分?jǐn)?shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)模式?jīng)]有與時(shí)俱進(jìn)，沒有認(rèn)真考慮21 世紀(jì)“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代背景下學(xué)生們的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和心理特點(diǎn)。在過于追求升學(xué)率心理的支配下，部分?jǐn)?shù)學(xué)教師簡(jiǎn)化了引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行觀察、發(fā)現(xiàn)、思考、領(lǐng)悟和應(yīng)用的過程，忽視了培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的求知欲、探索精神和應(yīng)用樂趣，不深究數(shù)學(xué)理論及應(yīng)用的講解，只求記住知識(shí)點(diǎn)、會(huì)做題以及在考試中獲得高分即可。比如高中數(shù)學(xué)有一節(jié)課的內(nèi)容是等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和，教師如果在講解時(shí)引入高斯等差數(shù)列求和的典故，啟發(fā)學(xué)生，讓其推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式，激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)高斯對(duì)數(shù)學(xué)的研究探索精神，就能收到比較好的教學(xué)效果。然而，在教學(xué)實(shí)踐中，有些教師是在黑板上寫下等差數(shù)列求和公式，再列舉幾道例題讓學(xué)生思考怎么用公式，講完例題后布置幾個(gè)練習(xí)題就結(jié)束了。學(xué)生們往往是先把老師講的內(nèi)容抄下來(lái)再記住，隨后通過做作業(yè)鞏固這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。長(zhǎng)此以往，學(xué)生在數(shù)學(xué)課上有時(shí)只接觸到抽象的定義、冰冷的公式和煩瑣的計(jì)算，感覺數(shù)學(xué)除了用來(lái)考試就沒有什么用途了，至于數(shù)學(xué)的美和數(shù)學(xué)的樂趣早已感受不到。其次，在大學(xué)高等教育階段，高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等大學(xué)數(shù)學(xué)課程都是理工類、經(jīng)管類專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課，這些課程對(duì)大學(xué)生計(jì)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力和應(yīng)用創(chuàng)新能力的培養(yǎng)至關(guān)重要。然而，不少學(xué)生在基礎(chǔ)教育階段沒有培養(yǎng)起對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的濃厚興趣，加之大學(xué)數(shù)學(xué)比中小學(xué)數(shù)學(xué)難度大，涉及大量抽象、復(fù)雜的概念和定理，如果還是不求甚解，靠死記硬背可能連定義是什么都搞不懂，更不要說理解和應(yīng)用定理。比如，高等數(shù)學(xué)課程中的數(shù)列極限，大學(xué)生一般都會(huì)計(jì)算該極限值，但是如果讓其描述和解釋該極限的定義，很多學(xué)生就答不上了，更不要說對(duì)其加以應(yīng)用。還有，部分學(xué)生跨進(jìn)大學(xué)的門檻后，沒有了升學(xué)的壓力，往往會(huì)片面地認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)純粹是為了獲得學(xué)分，考前突擊復(fù)習(xí)一下即可，而且認(rèn)為數(shù)學(xué)對(duì)于當(dāng)下專業(yè)學(xué)習(xí)或以后的職場(chǎng)用處不大，所以對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)缺乏足夠的動(dòng)力和興趣，導(dǎo)致其學(xué)習(xí)效果欠佳。

三、提高大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性是促進(jìn)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量提升的關(guān)鍵

針對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的這種現(xiàn)狀，一線的教師們嘗試過各種各樣的方法，比如分層次教學(xué)法。這種教學(xué)方法是教師在考慮到學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)、智力因素和非智力因素存在明顯差異的情況下，有針對(duì)性地實(shí)施分層教學(xué)，從而達(dá)到不同層次的教學(xué)目標(biāo)。這種方法看起來(lái)做到了因材施教，有很強(qiáng)的針對(duì)性，但是它提供給學(xué)生的依舊是一套抽象的概念、符號(hào)和形式，學(xué)生得到的依舊只是形式化的公理化教學(xué)。教學(xué)追求的或者是效率，或者是學(xué)分、通過率，但沒有數(shù)學(xué)的體驗(yàn)、理解和價(jià)值感，這種教學(xué)方法也不是能解決當(dāng)前大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)所存在問題的最優(yōu)解。

還有一種觀點(diǎn)，主張學(xué)生要像數(shù)學(xué)家那樣，對(duì)這種知識(shí)形成過程，以及數(shù)學(xué)家做數(shù)學(xué)的理解、感悟和遭遇的直接體驗(yàn)和感受需要學(xué)生經(jīng)歷；數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)或“準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)”，要有投入者的親身實(shí)踐或體驗(yàn)。實(shí)際上，雖然我們知道數(shù)學(xué)是在假設(shè)、嘗試、證明、接受反駁、調(diào)整等一系列復(fù)雜的有實(shí)踐意義的過程中建立起來(lái)的，它經(jīng)歷了從不全面到全面、從不嚴(yán)格到嚴(yán)格、從不合理到合理的過程，也不是鐵板一塊，它需要嘗試、修訂和完善，但對(duì)于人類幾千年來(lái)積累起來(lái)的文化知識(shí)，我們只需系統(tǒng)地批判、學(xué)習(xí)和接受，并不需要我們重走數(shù)學(xué)家經(jīng)過的道路。

素質(zhì)教育熱興起以后，在結(jié)合數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化開展數(shù)學(xué)教育教學(xué)的基礎(chǔ)上，還有人倡導(dǎo)數(shù)學(xué)返璞歸真教學(xué)、數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué)、合情推理教學(xué)、邏輯推理教學(xué)、一般解題方法教學(xué)以及數(shù)學(xué)美育、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)法教育、數(shù)學(xué)家品格教育、數(shù)學(xué)史志教育，認(rèn)為它們是全面且有效提高學(xué)生素質(zhì)的教育方式。作為對(duì)數(shù)學(xué)文化知識(shí)的普及，這一提法無(wú)可厚非，也不無(wú)可取之處，但是在大學(xué)教學(xué)時(shí)間壓縮的情況下如何取舍值得探索。

數(shù)學(xué)是在實(shí)踐中產(chǎn)生并在實(shí)踐中發(fā)展和逐步完善的。因?yàn)榻Y(jié)繩記事，所以產(chǎn)生了數(shù)；因?yàn)閷?duì)兔子生殖問題感興趣，所以有了靈光一現(xiàn)的斐波那契數(shù)列；因?yàn)橐ㄉ駨R，所以有了各種各樣的測(cè)量工具；因?yàn)橐鉀Q光學(xué)問題、曲線運(yùn)動(dòng)的速度問題、曲線的夾角問題，結(jié)果產(chǎn)生了微積分；因?yàn)橐鉀Q“賭金分配問題”，所以有了當(dāng)代科學(xué)的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一,而且還是當(dāng)代社會(huì)和人類日常生活最必需的知識(shí)之一——概率論；因?yàn)橐憩F(xiàn)三維空間的真實(shí)場(chǎng)景，所以透視幾何應(yīng)運(yùn)而生；等等?？梢哉f，數(shù)學(xué)的每一個(gè)分支、每一次發(fā)展都起源于人類的生產(chǎn)生活實(shí)踐，而數(shù)學(xué)對(duì)人類的生產(chǎn)生活實(shí)踐又產(chǎn)生了巨大的影響。馬克思說：“一門科學(xué)只有當(dāng)它達(dá)到了能夠成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算真正發(fā)展了。”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不是為了做題拿高分，不是為了考試過關(guān)，而是要解決現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中存在的問題。當(dāng)代大學(xué)生要擺脫數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的困境，最好的辦法就是推動(dòng)大學(xué)生利用數(shù)學(xué)工具解決人類社會(huì)面臨的各種各樣的問題。這種辦法叫作問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法。這里所說的問題，不是因?yàn)閷W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)而產(chǎn)生的知識(shí)問題，而是生產(chǎn)生活中遇到的現(xiàn)實(shí)問題。那么我們還要不要教學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)？答案是肯定的。但是和以往只注重?cái)?shù)學(xué)理論和解題技巧講解而缺少應(yīng)用型問題解決引導(dǎo)，從而使學(xué)生只會(huì)解題不會(huì)應(yīng)用的做法不同，在現(xiàn)代教育技術(shù)發(fā)展日新月異的今天，我們完全可以依托互聯(lián)網(wǎng)，利用慕課資源開展翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)、線上線下混合式教學(xué)等等，充分發(fā)揮師生的主觀能動(dòng)性，使雙方圍繞著問題展開教學(xué)。教師可以給出建議、輔導(dǎo)或答疑解惑，開展小班教學(xué)或個(gè)別指導(dǎo)。某個(gè)問題有可能用到的只是統(tǒng)計(jì)分析方法、線性規(guī)劃方法、SWOT分析方法、AHP決策分析方法，也可能是模糊數(shù)學(xué)方法、分形理論、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法等，使學(xué)生掌握更多的數(shù)學(xué)方法并且能夠解決實(shí)際問題，從而使學(xué)生不用教師督促也會(huì)自覺地投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。當(dāng)然，這樣做的前提是學(xué)生已經(jīng)掌握了必要的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

四、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)學(xué)科。隨著信息技術(shù)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，與數(shù)學(xué)有關(guān)的一大批交叉學(xué)科應(yīng)運(yùn)而生，社會(huì)對(duì)大學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的要求也越來(lái)越高，重視培養(yǎng)具有良好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)素質(zhì)的大學(xué)畢業(yè)生越來(lái)越重要。但受我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)模式的影響，大學(xué)生只會(huì)解題不會(huì)解決實(shí)際問題的現(xiàn)象仍然在一定程度上存在，特別是功利性的數(shù)學(xué)教學(xué)和題海訓(xùn)練，扼殺了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極主動(dòng)性、創(chuàng)造性。其改進(jìn)的方向，就是在夯實(shí)數(shù)學(xué)思想教育基礎(chǔ)的前提下，借助現(xiàn)代教育技術(shù)，不斷創(chuàng)新大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)模式，構(gòu)建線上線下混合式課程教學(xué)模式，并根據(jù)社會(huì)需求，讓學(xué)生帶著解決問題的目的有選擇性地學(xué)習(xí)，讓教師有針對(duì)性地講授，不斷提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用水平。