基于Levenberg-Marquardt算法的碳化硅MOSFET建模研究

趙奕昕,劉守城,顏 偉,祝志博,居 銘

(1.南京師范大學(xué)南瑞電氣與自動化學(xué)院,江蘇 南京 210023)(2.南京師范大學(xué)江蘇省電氣裝備與電磁兼容工程實驗室,江蘇 南京 210023)

隨著智能電網(wǎng)、汽車電子、航空航天、軌道交通和工業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域電氣化程度的不斷加深,以 IGBT 和 MOSFET 為代表的功率開關(guān)器件被廣泛應(yīng)用于電機驅(qū)動、功率變換和能源傳輸?shù)葓龊?作為核心器件,功率開關(guān)器件的特性決定著整個系統(tǒng)性能的好壞[1-3]. 當前大多數(shù)功率 IGBT 或 MOSFET 是硅基開關(guān)器件,然而,目前硅材料本身的性能已接近極限,因此傳統(tǒng)硅基功率開關(guān)器件已經(jīng)很難滿足當前相關(guān)行業(yè)對器件在高頻、高壓、高溫等極限環(huán)境下的要求. SiC MOSFET(Silicon Carbide metal-oxide-semiconductor field-effect transistor)以其優(yōu)越的特性、較寬的禁帶寬度、較高的耐壓值、較好的散熱效率以及較快的電子飽和漂移速度等特點受到業(yè)界和國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注. 但目前碳化硅開關(guān)器件成本較高,迭代速度快,在系統(tǒng)初期設(shè)計階段為了評估功耗、效率以及電磁兼容性能等關(guān)鍵指標,需要建立快速精確的靜態(tài)與動態(tài)仿真模型[2-3].

近年來,國內(nèi)外學(xué)者在功率MOSFET建模方面展開了多方面研究. Duan等[2]提出了一種基于EKV數(shù)學(xué)模型的功率MOSFET的電熱行為模型的快速建模方法,考慮了封裝寄生參數(shù),對其靜態(tài)和瞬態(tài)行為進行了仿真,并分析了開關(guān)過程和開關(guān)損耗. 李川[3]詳細分析了理想與非理想情況下的SiC MOSFET動態(tài)特性,并對非線性電容進行靜態(tài)特性建模,利用微分狀態(tài)方程描述了開關(guān)過程的每個階段,分析了器件動態(tài)開關(guān)行為. 許明明等[4]在EKV模型基礎(chǔ)上增加了一個溫控電壓源,改善了高溫下模型的準確度. 文獻[5-6]指出原EKV模型溫度的自由度較低,器件在不同溫度下的靜態(tài)特性難以同時擬合,使用改進的通用靜態(tài)模型后擬合效果與誤差得到改善. 文獻[7-9]通過對比基于曲線描點和參數(shù)模板、基于庫文件、基于物理公式和基于數(shù)學(xué)公式的4種不同建模方法,指出通過數(shù)學(xué)公式得到的模型精準度最高,且更容易考慮溫度參數(shù).

由此,本文針對CREE公司的碳化硅MOSFET功率器件(型號:C2M0080120D)進行開關(guān)行為建模與分析,建立其靜態(tài)模型和動態(tài)行為模型. 對于靜態(tài)模型,利用麥夸爾特法進行參數(shù)曲線擬合,對器件轉(zhuǎn)移特性、輸出特性和寄生非線性電容進行建模. 對于動態(tài)模型,分別建立器件導(dǎo)通和關(guān)斷過程每一個階段的柵源極電壓、漏源極電壓、肖特基二極管電壓、柵極電流和漏極電流的電路微分方程組,再以每一個階段結(jié)束時的狀態(tài)變量作為下一個階段的初始條件,求解上述電路微分方程組的數(shù)值解. 最后,與LTspice軟件的仿真波形進行對比,驗證模型的準確性.

1 靜態(tài)模型建模分析

MOSFET靜態(tài)模型包括在不同結(jié)溫下的器件轉(zhuǎn)移特性曲線(Id-UGS)和輸出特性曲線(Id-UDS),以及 3個寄生非線性電容(CRSS,COSS,CISS)隨漏源級電壓(UDS)的變化曲線,本文采用Levenberg-Marquardt算法進行非線性曲線擬合,實現(xiàn)靜態(tài)模型的建立.

1.1 Levenberg-Marquardt算法

最優(yōu)化算法——牛頓法的基本思想是在目標函數(shù)的某點使用泰勒展開,舍去除梯度矩陣f和黑塞矩陣H之外的高階項,通過多次迭代搜索目標函數(shù)最小值.

(1)

由于牛頓法存在計算量大、非正定黑塞矩陣、奇異矩陣不能求逆、不能保證目標函數(shù)值下降、不能保證收斂等缺點,需進行修正優(yōu)化.Levenberg-Marquardt算法屬于對牛頓法的優(yōu)化修正,其迭代公式為

xk=xk-1-αk(H+μI)-1f(xk-1).

(2)

對于非正定黑塞矩陣,新定義一個矩陣K=H+μI,其中μ為阻尼系數(shù),I為單位矩陣,由此可保證矩陣K可逆.Levenberg-Marquardt算法同時具有梯度法和牛頓法的優(yōu)點,當μ很小時,相當于樸素牛頓法,當μ很大時,相當于梯度下降法,是一種介于牛頓法與梯度下降法之間的最優(yōu)化方法.

將Levenberg-Marquardt算法修正的牛頓法應(yīng)用于非線性擬合時,其最優(yōu)化目標函數(shù)為

(3)

式中,f為需要進行擬合的目標函數(shù),β為f需要擬合的參數(shù)矩陣,x和y為實際觀測值矩陣,f(x;β)為模型預(yù)測值矩陣.定義殘差矩陣r=f(x;β)-y,表示模型預(yù)測值和實際觀測值的差值.

計算梯度和黑塞矩陣并代入,Levenberg-Marquardt算法迭代公式最終可表示為

βk+1=βk-(JTJ+μI)-1JTr.

(4)

式中,J為雅可比矩陣.

本文采用Levenberg-Marquardt算法進行曲線非線性擬合的流程圖如圖1所示.

圖1 Levenberg-Marquardt算法流程圖

1.2 基于原EKV模型的建模

EKV模型使用兩個對數(shù)函數(shù)的線性組合在兩個操作區(qū)域之間插值,生成一個單片模型. 文獻[1]提出的靜態(tài)模型原理圖如圖2所示,采用一個EKV表達式,

圖2 模型原理圖

(5)

式中各參數(shù)定義見表1.在不同溫度下對SiC MOSFET的轉(zhuǎn)移特性和輸出特性進行擬合建模.

表1 EKV公式中參數(shù)

根據(jù)C2M0080120D的器件手冊,該器件采用TO-247-3 封裝,器件的電路模型如圖2所示,G、D和S分別為柵極、漏極和源極;Tj和TC為結(jié)溫和殼溫;電感LG、Ld和LS為TO-247-3封裝的柵極、漏極和源極的寄生電感;CGD和CGS為柵漏極和柵源極寄生電容;RG為柵極電阻;二極管結(jié)電容CDS為漏柵極寄生電容;G1和G2為壓控電流源.

在每個溫度下器件的轉(zhuǎn)移特性曲線有1條,輸出特性曲線共有6條;在上述7條曲線中,對每條曲線使用GetData軟件均勻取25個點,組成漏極電流Id、漏柵極電壓UDS和柵源極電壓UGS矩陣.再以上述矩陣為數(shù)據(jù)源,式(5)為擬合函數(shù),使用Levenberg-Marquardt算法進行擬合.擬合時需要將上述 7個數(shù)據(jù)矩陣一起導(dǎo)入算法,提取共同的gm、φt、Ks、λ、k、n和a參數(shù)值,并將其代入式(5),從而實現(xiàn)MOSFET靜態(tài)模型的建立.擬合結(jié)果與數(shù)據(jù)手冊對比如圖3.

圖3 擬合結(jié)果對比

擬合結(jié)果圖3的擬合參數(shù)結(jié)果和誤差結(jié)果分析見表2,從擬合結(jié)果與數(shù)據(jù)手冊對比圖3以及誤差分析表2可以看出,該靜態(tài)模型能夠?qū)?條輸出特性、轉(zhuǎn)移特性曲線進行擬合,但無論是從對比圖還是誤差數(shù)據(jù)來看,擬合曲線不能完全貼合數(shù)據(jù)手冊給出的曲線,結(jié)果表明該模型擬合誤差較大,需要更精確的模型來描述MOSFET的靜態(tài)特性.

表2 擬合參數(shù)結(jié)果與擬合優(yōu)度

1.3 改進的EKV模型

原EKV模型需要在已知UGS和UDS前提下求解Id,因此需要先給定一個初值,并在小步長下進行多次迭代才能求得Id近似解.在求解過程中,電流Id會存在虛數(shù)解,漏極電流Id解空間在UGS和UDS較小區(qū)域中會出現(xiàn)空缺,影響擬合精度[9-10].因此,需要對原模型進行改進:使電流表達式Id變成UGS和UDS的顯式函數(shù)Id=f(UGS,UDS),已知UGS和UDS即可直接求得電流,無需進行迭代,其表達式為

(6)

式中,k1～k7為模型參數(shù),與器件參數(shù)與結(jié)溫Tj有關(guān),其中k1對應(yīng)跨導(dǎo)斜率,k2對應(yīng)UGS系數(shù),k3對應(yīng)閾值電壓,k4為指數(shù)項,k5對應(yīng)飽和系數(shù),k6對應(yīng)UDS系數(shù),k7對應(yīng)UGS系數(shù).

1.4 模型驗證

為驗證改進的模型對比原模型在收斂性和擬合精度上更有優(yōu)勢,將上文中提取25 ℃下的7條靜態(tài)特性曲線組成的漏極電流矩陣Id、漏柵極電壓矩陣UDS和柵源極電壓矩陣UGS再次使用Levenberg-Marquardt算法進行擬合,擬合公式采用式(6),擬合效果如圖4. 擬合參數(shù)結(jié)果與誤差結(jié)果分析如表3.

圖4 擬合結(jié)果對比

表3 擬合參數(shù)結(jié)果與擬合優(yōu)度

從圖4和表3可以看出,改進的模型擬合效果較好,擬合結(jié)果的確定系數(shù)達0.999 2,擬合曲線能夠較好地貼合從DataSheet中提取的數(shù)據(jù)點,相對于圖3有明顯的優(yōu)化.

圖5為式(5)和式(6)模型的擬合解空間對比圖. 在式(5)模型中,電流Id會存在虛數(shù)解,漏極電流Id解空間在UGS和UDS較小區(qū)域中會出現(xiàn)空缺,如圖5(a)的右上角. 相較于圖5(a),圖5(b)中從手冊中提取的數(shù)據(jù)點(黑色圓點)與解空間平面有較好的貼合,原先的空缺區(qū)域消失.

圖5 三維擬合空間對比

從圖4、圖5和表3可以看出,基于式(6)的靜態(tài)模型建模方法更為精確再現(xiàn)了碳化硅MOSFET器件手冊中轉(zhuǎn)移特性曲線和輸出特性曲線.

實際情況中,碳化硅MOSFET存在寄生非線性寄生電容(CRSS,COSS,CISS). 根據(jù)器件手冊,這些寄生電容值會隨著電容兩端的電壓變化而變化. 在高頻環(huán)境下,若不考慮這些電容值的非線性變化,在分析 MOSFET 開關(guān)行為時會產(chǎn)生較大誤差,因此,非線性電容的建模對于后續(xù)章節(jié)的動態(tài)行為模型的精確建立意義重大.

非線性電容的建模也可采用曲線擬合的方法,不同的參考文獻提出的電容擬合公式不盡相同. 根據(jù)器件手冊上的3條電容曲線,其形態(tài)類似于反比例函數(shù),故本文提出的擬合公式

(7)

式中,V為源漏極電壓,p0、p1、p2、p3為模型系數(shù).

使用GetData軟件對數(shù)據(jù)手冊中的3條非線性電容曲線每條取12個點,同樣使用Levenberg-Marquardt算法進行擬合,擬合結(jié)果如圖6,可以看出擬合結(jié)果較好.

圖6 非線性電容擬合結(jié)果

另外,還需要計算寄生電感參數(shù). 文獻[10]采用TO-247-3封裝的SiC MOSFET寄生電感可由有限元分析軟件ANSYS的Q3D工具進行提取,柵極G,源極S和漏極D的3個寄生電感提取值如表4.

表4 基于Q3D的寄生電感

2 動態(tài)行為模型建模分析

SiC基器件相對于Si基器件工作頻率更高,在提升系統(tǒng)響應(yīng)速度的同時也帶來了較高的di/dt和dv/dt,使得系統(tǒng)更加敏感,對雜散寄生參數(shù)的影響不可忽略不計. 這不僅會使器件開關(guān)過程中電流和電壓尖峰幅值增加,還會引發(fā)振鈴現(xiàn)象、器件誤觸發(fā)和自激振蕩等隱患. 因此,碳化硅器件動態(tài)行為模型不僅需要考慮電路結(jié)構(gòu),還需要結(jié)合靜態(tài)模型考慮寄生參數(shù)[10-14].

2.1 雙脈沖測試電路

圖7為進行開關(guān)行為建模分析的雙脈沖測試電路原理圖,結(jié)合靜態(tài)模型,考慮了器件寄生參數(shù)的影響,加入了3個寄生非線性電容、3個寄生電感Ld、Ls、Lg以及1個寄生電阻Rd. 其中,Ld表示漏極寄生電感,Ls表示源極寄生電感,Lg表示柵極寄生電感,Rd表示測試回路中的寄生電阻,Csk表示肖特基二極管的結(jié)電容.

圖7 雙脈沖測試電路

2.2 開關(guān)過程分析與建模

在靜態(tài)模型的基礎(chǔ)上,分別建立MOSFET開通和關(guān)斷過程每一個階段的5個狀態(tài)變量——柵源極電壓UGS、漏源極電壓UDS、肖特基二極管電壓Usk、柵極電流Ig和漏極電流Id的電路微分方程組,達到每一階段的結(jié)束標志時再以每一個階段結(jié)束時的狀態(tài)變量作為下一個階段的初始條件,采用4階Runge-Kutta算法對常微分方程組求解數(shù)值解,即可得到5個狀態(tài)變量的時域響應(yīng)曲線[15-16],從而實現(xiàn)MOSFET動態(tài)行為模型的建立. 開關(guān)過程可分為8個階段[3],每個階段描述及結(jié)束標志如表5所示.

表5 開關(guān)過程分階段描述

本文以Stage3-2階段為例,Stage3-1結(jié)束時,漏級電流Id已上升到負載電流Idd=5 A,柵極電流Ig接近0 A,漏源極電壓略小于Vdd,為724.73 V,根據(jù)圖7和基爾霍夫電壓電流方程可得

(8)

(9)

UGS=Ugd+UDS,

(10)

(11)

Stage3-2開始后,負載電流Idd全部從續(xù)流二極管中轉(zhuǎn)移到MOSFET,續(xù)流二極管處于關(guān)斷狀態(tài),二極管的寄生電容Csk開始充電,同時,漏源極電壓UDS開始下降,直到器件完全開通,可得

(12)

(13)

聯(lián)立式(8)-(13)即可得以x=[UGS,UDS,Usk,Ig,Id]為狀態(tài)變量,形式為dx=Ax+B的狀態(tài)方程.

進行動態(tài)行為建模時,還需考慮非線性電容(CRSS,COSS,CISS)隨兩端電壓變化而電容值的不同,在求解每個階段的微分方程組時,3個非線性寄生電容取值采用第一章中靜態(tài)模型建立的3個非線性電容擬合公式,即聯(lián)立微分方程組dx=Ax+B和電容擬合公式再進行求解.對狀態(tài)方程聯(lián)立電容擬合公式使用Runge-Kutta算法進行求解,當達到結(jié)束標志時,讀取此時刻的時間t,以及每個狀態(tài)變量的值作為下一階段的初始值.

2.3 模型精度驗證

為了驗證所建立的動態(tài)行為模型的準確性,將圖7電路在LTspice仿真軟件中進行搭建,LTspice軟件仿真得到的UDS、Id波形與動態(tài)行為模型UDS、Id波形結(jié)果對比圖如圖8(a)和8(b)所示.

圖8 LTspice仿真與模型結(jié)果對比

從圖8可以看出,對于電壓UDS波形,器件關(guān)斷時LTspice仿真波形上升到800 V后還會繼續(xù)超調(diào)到850 V左右,而后振蕩著下降到800 V,動態(tài)行為模型的電壓波形能正確反應(yīng)電壓的超調(diào)、振蕩和幅值變化. 對于電流Id波形,動態(tài)行為模型的電流波形能正確反應(yīng)器件開通時的電流高頻振蕩與超調(diào)以及器件關(guān)斷時的電流大幅振蕩并最終降為零的過程. 因此,所建立的動態(tài)行為模型結(jié)果波形與LTspice仿真波形貼合良好,能正確反應(yīng)器件開關(guān)過程的電壓電流上升下降趨勢,較好地貼合開關(guān)過程中電壓電流的幅值和頻率,也能正確反應(yīng)開關(guān)過程的波形震蕩及振鈴現(xiàn)象,模型精確度較高,但仍有一定的優(yōu)化空間.

對于其他實際應(yīng)用電路,例如DC-DC電路,在分析其動態(tài)開關(guān)行為時,可基于圖7雙脈沖測試電路的分析步驟,根據(jù)實際電路拓撲結(jié)構(gòu)與基爾霍夫電壓電流方程,并考慮寄生參數(shù),分別建立MOSFET開通和關(guān)斷過程每一個階段的各個狀態(tài)變量組成的微分方程組,求解即可得到開關(guān)波形.

3 結(jié)論

本文建立的碳化硅MOSFET靜態(tài)和動態(tài)行為模型,可以快速準確地對碳化硅MOSFET功率器件進行開關(guān)行為預(yù)測與分析. 對于靜態(tài)模型,采用改進的EKV數(shù)學(xué)模型,基于Levenberg-Marquardt算法進行參數(shù)擬合,準確描述了器件的轉(zhuǎn)移特性和輸出特性,并驗證了一種新的寄生非線性電容模型,建模速度快,模型誤差小. 對于動態(tài)模型,在考慮封裝寄生電感和寄生非線性電容等非理想條件下,分別建立器件導(dǎo)通和關(guān)斷過程每一個階段的柵源極電壓、漏源極電壓、肖特基二極管電壓、柵極電流和漏極電流的電路微分方程組,再以每一個階段結(jié)束時的狀態(tài)變量作為下一個階段的初始條件,采用4階Runge-Kutta算法求解上述微分方程組的數(shù)值解. 最后,與LTspice軟件仿真波形進行對比分析,結(jié)果表明上述建模方法能較好地描述器件的動態(tài)行為特性,對于估算碳化硅功率MOSFET器件在不同場合的開關(guān)損耗與開關(guān)波形具有重要指導(dǎo)意義,也可為碳化硅MOSFET行為級模型應(yīng)用電路的搭建奠定基礎(chǔ).