耗散性非自治電路的確定與不定解

黃炳華 陳新苗 韋善革

耗散性非自治電路的確定與不定解

黃炳華 陳新苗 韋善革

（廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院，南寧 530004）

諧波平衡原理只能求非線性動態(tài)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的振蕩解，無法求出起始暫態(tài)過程，由于沒有引入初始條件，它無法求出自振蕩分量的初始相角。關(guān)于諧波分析法，如果最初諧波項(xiàng)的假設(shè)能夠符合被求電路的物理實(shí)際，會得到有實(shí)數(shù)解的正確結(jié)果。反之實(shí)數(shù)解的缺失，說明初始假設(shè)不合理。為此必須重新設(shè)定諧波的形式。二階非自治電路含有自激和受迫兩個諧波分量，是一個耦合振蕩。本文論述五次方項(xiàng)的非自治電路，用等效基波電導(dǎo)替代非線性阻尼，可將簡化的網(wǎng)絡(luò)劃分成為兩個分部，各分部有各自單獨(dú)的振蕩頻率，可以單獨(dú)列出微分方程而后聯(lián)合求解。分部網(wǎng)絡(luò)的功率各自獨(dú)立維持平衡，是求解非自治電路的有效方法，有廣泛的普遍性和適用性。

諧波分析；非自治電路；非線性振蕩；耦合；初相位

0 引言

對于非自治電路，如果也采用諧波分析法求解，現(xiàn)有許多國內(nèi)外文獻(xiàn)的論述，對于最初諧波項(xiàng)的預(yù)設(shè)，并沒有包含一個頻率獨(dú)立的自振諧波項(xiàng)。盡管存在多種多樣的近似解析法[8-10]，都不具有適用一般情況的普遍性，大都是針對某些常見的具體方程提出一些近似的解析法，例如采用攝動法（perturbation method）或小參數(shù)的緩變方法等。傳統(tǒng)諧波分析法存在一定局限性，Mickens R. E.已經(jīng)做出有關(guān)評論[11]。近年來的文獻(xiàn)提出將諧波分析法建立在功率平衡理論的基礎(chǔ)上，對于包含多諧波成分的電路網(wǎng)絡(luò)，每一諧波成分要各自獨(dú)自遵守復(fù)功率平衡，即頻域的功率平衡定理；并提出應(yīng)該恰當(dāng)?shù)仡A(yù)設(shè)諧波項(xiàng)的最佳形式，從而使諧波平衡原理能夠獲得進(jìn)一步的合理推廣應(yīng)用[12-15]。非自治振蕩電路包含自激和受迫兩個主要諧波成分的混頻，主諧波解并不是兩個成分的疊加，而是兩者的非線性耦合[16-19]。

一般地，給出微分方程必須包含給出起始條件，題設(shè)不包含起始條件的微分方程是不完整的，對于耗散型含阻尼項(xiàng)的非自治電路，根據(jù)微分方程的內(nèi)在本質(zhì)特征，在沒有起始條件的情況下，留下方程解的不定部分暫且不解，只求方程可解的確定部分，簡化地求出進(jìn)入穩(wěn)態(tài)振蕩的基本主要部分稱為主諧波平衡原理，簡化解的初相位是不定的，這種解法適用于一般非自治電路。

本文還探討非自治電路中，自振蕩成分是否一定存在。電路中并不存在有自振頻率的電源，自振諧波是由于電路中包含非線性變頻或負(fù)阻引起的振蕩成分，它存在的條件是遵守頻域功率平衡定理的兩個方面：①兩個振蕩成分存在相互影響的非線性耦合關(guān)系，可以依靠非線性變頻或負(fù)阻獲得功率來源；②各諧波成分各自維持自身復(fù)功率平衡，各個諧波成分的功率盈虧不能互相填補(bǔ)。電力系統(tǒng)中出現(xiàn)有害寄生諧波的原因與電路中存在各種非線性變頻或整流換流設(shè)備密切相關(guān)。諧波的出現(xiàn)嚴(yán)重危害電力系統(tǒng)的穩(wěn)定安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行。為了保證電能供應(yīng)質(zhì)量、改善系統(tǒng)運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)性能、消滅諧波污染引起的能量損失、抑制寄生諧波的出現(xiàn)，破壞諧波的功率平衡是一種有效的方法[20-22]。反之，為了改善電氣設(shè)備的運(yùn)行性能，也可以利用三次諧波的注入，使電機(jī)穩(wěn)態(tài)性能的優(yōu)化效果達(dá)到最佳[23]；或利用多諧波并存能夠共同產(chǎn)生更大的機(jī)械功率來改善電機(jī)的起動性能[24]。以上從正反兩方面說明，諧波的存在與維持該諧波成分的功率平衡密切相關(guān)。

1 自治電路的不定解

1.1 含三次方特性的自治電路

圖1 范德堡電路

圖2 基波電路

1.2 方程的本質(zhì)特征

1.3 含五次方特性的自治電路

（13）

2 含三次方特性的非自治電路

2.1 用傳統(tǒng)的諧波平衡法求解

互耦合的主諧波分量，將電路劃分成兩個分部網(wǎng)絡(luò)如圖6和圖7所示，兩分部網(wǎng)絡(luò)各支路電壓電流可

圖6 自振分部網(wǎng)絡(luò)

圖7 受迫分部網(wǎng)絡(luò)

表1 當(dāng)時，式（21）的主諧波解

注：SOE為self-oscillation existence，SOD為self-oscillation disappearance。

2.2 分部網(wǎng)絡(luò)用零阻尼力求方程的穩(wěn)態(tài)振蕩解

電路圖5微分方程式（21）包含兩個主諧波分量，各諧波分量要各自遵守各種電路定律。在考慮兩主諧波分量間非線性耦合的定量關(guān)系后，可將網(wǎng)絡(luò)按兩個頻率劃分成兩個分部網(wǎng)絡(luò)如圖6和圖7所

以下說明三次方特性的非自治電路，如何由式（28）和式（29）求兩個微分方程所構(gòu)成的主諧 波解。

得出

2.3 分部網(wǎng)絡(luò)用相量方程求主諧波解

兩分部網(wǎng)絡(luò)可各自用相量方程求解，但兩個分部的背景參照頻率不同，因而兩個主諧波的相量值

3 含五次方特性的非自治電路

3.1 用傳統(tǒng)諧波平衡原理求解非自治電路

諧波平衡原理如果按式（23）預(yù)設(shè)自振分量的形式，非常不利于求解，會使MATH程序無法求解。如果按式（24）預(yù)設(shè)定，并且式中的不作為求解變量，只作為一個未給出數(shù)值的待定量留在程序中，并不影響求出自振幅值hm，也不影響分析自振分量是否存在。MATH程序NB7-table2.nb按式（24）預(yù)設(shè)定，得到更加合理的結(jié)果，它用hm=0顯示自振消失。程序求出的主諧波解見表2。

表2 當(dāng)時，式（50）的主諧波解

由表2數(shù)據(jù)可得出：①表2第一行可發(fā)現(xiàn)其中列入10a、10b和10c三種數(shù)據(jù)，說明五次方特性的

3.2 分部網(wǎng)絡(luò)用零阻尼求穩(wěn)態(tài)振蕩解

4 主諧波平衡方程的一般表達(dá)式

5 復(fù)功率平衡驗(yàn)證與自振消失的臨界值

5.1 自振分部網(wǎng)絡(luò)的復(fù)功率平衡驗(yàn)證

5.2 受迫分部網(wǎng)絡(luò)的復(fù)功率平衡驗(yàn)證

程序NB7-table-uFm15、uFm18-powerbalance對此做了成功可靠的驗(yàn)證。

5.3 自振蕩消失的最低受迫分量稱為臨界電壓

圖8 ，曲線

（70）

次諧波的功率平衡。

6 結(jié)論

可解的，仍然可以用線性微分方程理論求出兩個主諧波的耦合解。本文采用傳統(tǒng)諧波分析法、零阻尼法、相量方程求解法三種方法最后得出數(shù)據(jù)完全一致的結(jié)論。

附錄 MATH程序壓縮夾

（1）NB1-indef.nb；包括NB1-no-ang.nb NB1-have- ang.nb NB1-uhr+uhx.nb

（2）NB2-exam2-First.nb;

（3）NB3-0-exam3-First.nb; NB3-table1.nb;

（4）NB4-critical.nb;

（5）NB5-damping.nb;

（6）NB6-phesor.nb;

（7）NB7-0-exam4-First.nb; NB7-table2.nb;

（8）NB8-equivalent.nb;

（9）NB9-damping2.nb;

（10）NB10-Critical2.nb;

（11）NB11-peq13.nb

[1] 黃炳華, 鈕利榮, 藺蘭峰, 等. 功率平衡基礎(chǔ)上的基波分析法[J]. 電子學(xué)報, 2007, 35(10): 1994-1998.

[2] 黃炳華, 黃新民, 韋善革. 用基波平衡原理分析非線性振蕩與混沌[J]. 通信學(xué)報, 2008, 29(1): 65-70.

[3] 黃炳華, 黃新民, 李世作. 功率平衡與基波分析法[J]. 電路與系統(tǒng)學(xué)報, 2003, 8(1): 72-76.

[4] 黃炳華, 黃新民, 張馳. 電子網(wǎng)絡(luò)振蕩與穩(wěn)定的基波分析法[J]. 電子科技大學(xué)學(xué)報, 2006, 35(1): 47-50.

[5] 黃炳華, 宋春寧, 黃洪全. 非線性電子網(wǎng)絡(luò)的基波分析法[J]. 固體電子學(xué)研究與進(jìn)展, 2003, 23(1): 35-41.

[6] 黃炳華, 黃新民, 張海明, 等. 各類自激振蕩的基波分析法[J]. 固體電子學(xué)研究與進(jìn)展, 2005, 25(1): 102-107.

[7] 黃炳華, 黃新民, 王慶華. 用基波平衡原理分析非線性電子網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性[J]. 固體電子學(xué)研究與進(jìn)展, 2006, 26(1): 43-48.

[8] 肖達(dá)川. 線性與非線性電路[M]. 修訂版. 北京: 科學(xué)出版社, 1992.

[9] 褚亦清, 李翠英. 非線性振動分析[M]. 北京: 北京理工大學(xué)出版社, 1996.

[10] 高金峰. 非線性電路與混沌[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2005.

[11] MICKENS R E. Comments on the method of harmonic balance[J]. Journal of Sound Vibration, 1984, 94(3): 456-460.

[12] HUANG Binghua, YANG Guangsong, WEI Yafen, et al. Harmonic analysis method based on power balance[J]. Applied Mechanics and Materials, 2013, 325-326: 1508-1514.

[13] HUANG Binghua, LI Guangming, LIN Huijie. Power balance theorem of frequency domain and its appli- cation[J]. Journal of Modern Physics, 2014, 5(12): 1097-1108.

[14] 王慶華, 黃炳華. 混頻振蕩與功率平衡的研究[J]. 現(xiàn)代電子技術(shù), 2018, 41(21): 173-178.

[15] HUANG Binghua, HUANG Xinmin, LI Hui. Main components of harmonic solutions of nonlinear oscillations[J]. Procedia Engineering, 2011, 16: 325- 332.

[16] 黃炳華, 周珊, 林曉東. 非自治振蕩電路的功率平衡[J]. 固體電子學(xué)研究與進(jìn)展, 2018, 38(5): 333-342.

[17] 黃炳華, 黃昌琴, 蔡義明. 非自治振蕩電路的主諧波分析法[J]. 電子學(xué)報, 2019, 47(9): 2003-2011.

[18] 黃炳華, 周珊. 非線性解的多種成份及其特征[J]. 固體電子學(xué)研究與進(jìn)展, 2019, 39(6): 436-443.

[19] 黃炳華, 周珊, 黃昌琴. 用相圖描寫混頻電路[J]. 固體電子學(xué)研究與進(jìn)展, 2019, 39(5): 364-370.

[20] 嚴(yán)靜, 邵振國. 電能質(zhì)量諧波監(jiān)測與評估綜述[J]. 電氣技術(shù), 2020, 21(7): 1-7.

[21] 陳和洋, 吳文宣, 鄭文迪, 等. 電力系統(tǒng)諧波檢測方法綜述[J]. 電氣技術(shù), 2019, 20(9): 1-6.

[22] 孫佳偉. 一種諧波自消除整流器的特性研究[J]. 電氣技術(shù), 2020, 21(3): 52-58.

[23] 孟繁慶, 易新強(qiáng), 劉海濤, 等. 三次諧波注入下多相感應(yīng)電機(jī)穩(wěn)態(tài)性能分析[J]. 電工技術(shù)學(xué)報, 2020, 35(16): 3396-3405.

[24] 闞超豪, 鮑習(xí)昌, 金科, 等. 繞線轉(zhuǎn)子無刷雙饋電機(jī)多諧波聯(lián)合起動過程中磁動勢及性能分析[J]. 電工技術(shù)學(xué)報, 2020, 35(3): 481-493.

The definite and indefinite-solutions in the dissipative non-autonomous circuits

HUANG Binghua CHEN Xinmiao WEI Shan’ge

(School of Electrical Engineering, Guangxi University, Nanning 530004)

The harmonic balance principle can only seek the stable oscillation solution of non-linear dynamic system, but it cannot solve the initial transient process. Since the initial condition is not introduced, the initial phase angle of the self-excited oscillation component cannot be obtained. Concerning harmonic analysis method, if the initial assumption of the harmonic components fits the physical characteristics of the circuit, the correct real number solution will be obtained. By contrast, the absence of real number solution implies an improper initial assumption. In this case, to reset the form of harmonic components is necessary. Containing both self-excited and forced oscillation components, the second order non-autonomous circuit is a coupled oscillation. The non-autonomous circuits of fifth power are discussed in this paper. The non-linear damping factor can be replaced by equivalent first wave conduction. The simplification network can be divided into two subsections, each of which possess independent oscillation frequency. The differential equation can independently be described and then be solved together. The power balance of each subsection network must be maintained. It is an effective way to solve non-autonomous circuits. It possesses widely universality and applicability.

harmonic analysis; non-autonomous circuits; nonlinear oscillation; coupling; initial phase angle

2021-12-29

2022-07-06

黃炳華（1940—），男，福建省廈門市人，教授，主要研究方向?yàn)榉蔷€性電路含多諧波成分的功率計(jì)算，用功率平衡理論研究非線性振蕩，用主諧波平衡原理研究非自治電路的主諧波解。

國家自然科學(xué)基金（60662001）非線性微分方程基礎(chǔ)上的功率平衡