基于加權(quán)L1 范數(shù)最小化算法的地震數(shù)據(jù)重建方法研究

梁 爽，武召祺，彭 清

(東華理工大學，江西 南昌 330013)

引言

自工業(yè)革命開始，化石能源日益成為社會經(jīng)濟發(fā)展的動力源泉，并為人類的生存和發(fā)展提供了堅實的物質(zhì)基礎(chǔ)，同時經(jīng)濟發(fā)展也會進一步促進能源的勘探、開采和利用，可見社會經(jīng)濟發(fā)展和化石能源之間有著密切關(guān)聯(lián)。目前，我國經(jīng)濟正處于快速發(fā)展階段，對煤、石油、天然氣等資源需求量不斷增大，資源勘探也就成了經(jīng)濟發(fā)展的重中之重[1]。地震勘探可以利用人工激發(fā)的地震波獲取地下礦藏信息，是一種高效的油氣勘探方法，在資源勘探當中被廣泛應(yīng)用，為我國煤炭、石油等行業(yè)發(fā)展做出了巨大貢獻。

基于大部分信號具有稀疏性的特點，2004 年Donoho 提出壓縮感知理論將地震數(shù)據(jù)重建問題轉(zhuǎn)化為簡單的去噪問題，實現(xiàn)利用較少采集數(shù)據(jù)獲得近似完整的地震勘探效果[2]。該理論具有采樣速度快、存儲空間小、經(jīng)濟成本低的優(yōu)點[3]。重建算法是壓縮感知理論的核心問題，通常將壓縮感知理論重建算法分為3大類：第一類為貪婪算法，包括匹配追蹤算法、正交匹配追蹤算法等；第二類為組合算法，包括傅立葉采樣、鏈式追蹤及HHS 追蹤等；第三類為凸優(yōu)化算法，包括域值迭代法、投影梯度算法等[4-5]。L1 范數(shù)譜投影梯度算法具有操作簡單、適用處理海量數(shù)據(jù)的特點。但該方法在數(shù)據(jù)重建過程中相鄰切片是獨立重建的，忽略了地震數(shù)據(jù)有效波具有連續(xù)性的特點，為此本研究提出一種基于加權(quán)L1 范數(shù)最小化算法的地震數(shù)據(jù)重建方法，該方法以壓縮感知理論為基礎(chǔ)，以曲波變換為稀疏基，用不同時間切片有效波曲波系數(shù)的相關(guān)性作為先驗信息，從而提出加權(quán)L1 范數(shù)約束條件，選取相鄰切片的有效數(shù)據(jù)進行重建，使重建后的地震數(shù)據(jù)同相軸更為連續(xù)，在實現(xiàn)高精度地震數(shù)據(jù)重建同時也進一步提升抗噪能力。將本研究方法應(yīng)用于處理實際野外采集數(shù)據(jù)，實驗結(jié)果驗證了本研究提出方法的實用性與有效性。

1 數(shù)據(jù)重建原理

1.1 壓縮感知理論

壓縮感知原理充分利用信號具有稀疏性的特點，解決了尼奎斯特理論采樣頻率必須大于信號最高頻率2 倍的要求，僅用少量數(shù)據(jù)就可以恢復出近似完整原始數(shù)據(jù)f?RN。

式中，ψ 為隨機采樣矩陣，y?R M(M?N)為缺失數(shù)據(jù)，因此在 ψ和y 已知的前提條件下，可以通過地震數(shù)據(jù)重建恢復出近似完整的地震數(shù)據(jù)f。由于地震數(shù)據(jù)在時間域內(nèi)不具有稀疏性，本研究以曲波變換φ為稀疏基，使f 在變換域 φ內(nèi)進行稀疏表示，則

式中，α 為稀疏系數(shù)，H 為共軛轉(zhuǎn)置矩陣，則公式（1）可寫為

當 ψ滿足限制等距特性時，可以通過L1 范數(shù)最小化算法不斷促進求解最優(yōu)稀疏系數(shù)，即

1.2 加權(quán)L1 范數(shù)最小化算法

地震數(shù)據(jù)的物理屬性具有連續(xù)性，因此可以對地震數(shù)據(jù)進行加窗處理，把地震數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成時間切片，利用相鄰切片之間的高度相關(guān)性促進稀疏系數(shù)α 的恢復，但標準L1 范數(shù)最小化方法并沒有考慮到這種情況，因此本研究用加權(quán)L1 范數(shù)最小化算法代替標準L1 范數(shù)最小化，將公式（4）改為：

經(jīng)過實測分析，當γ=0.3 時加權(quán)L1 范數(shù)最小化算法重建后信噪比值最大，重建效果最佳，因此在后續(xù)實驗當中參數(shù)γ 均取值為0.3。

2 實測數(shù)據(jù)處理

圖1 野外地震數(shù)據(jù)模型及重建結(jié)果

為進一步驗證文本方法兼具實用性與有效性，還采用標準L1 范數(shù)最小化算法對50%隨機缺失數(shù)據(jù)進行重建，兩種算法在不同迭代次數(shù)下的信噪比關(guān)系圖見圖2，由圖2 可知，起初隨著迭代次數(shù)增加，兩種算法重建后信噪比均有效增長，但當?shù)螖?shù)超出某一數(shù)值后，信噪比數(shù)值將趨于穩(wěn)定，此時加權(quán)L1 范數(shù)最小化算法的重建結(jié)果要明顯優(yōu)于標準L1 范數(shù)最小化算法。綜上所述可以得出，在處理野外實際數(shù)據(jù)中，本研究方法可以實現(xiàn)高精度的地震數(shù)據(jù)重建。

圖2 不同迭代次數(shù)與信噪比關(guān)系曲線圖

3 結(jié)論

（1） 為了提高地震數(shù)據(jù)重建精度，本研究在標準L1 范數(shù)最小化算法的基礎(chǔ)上，依據(jù)地震數(shù)據(jù)有效波具有連續(xù)性的特點，提出加權(quán)L1 范數(shù)最小化重建算法。對比這兩種算法可以得出，本研究方法重建后信噪比數(shù)值更大，重建效果更佳。

（2） 實驗結(jié)果表明，對于處理野外采集的缺失地震數(shù)據(jù)，本研究方法具有重建誤差小，魯棒性好和抗噪能力強的優(yōu)點。因此資金成本，重建精度這兩方面方面考慮，本研究所提出的方法具有可行性和實用性。