扭曲多高斯光束在梯度折射率光纖中的傳輸特性

張雅凱，郭苗軍，李晉紅，徐 翔，錢仙妹，朱文越，王 靜*

(1.太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024；2.中國科學(xué)院 合肥物質(zhì)科學(xué)研究院 安徽光學(xué)精密機(jī)械研究所 大氣光學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230031)

引 言

在實(shí)際激光產(chǎn)生中，由于設(shè)備的原因會(huì)出現(xiàn)光束像散和扭曲，且一般是不可控的。為了描述這類光束，1993年，SIMON和MUKUNDA構(gòu)造了一種部分相干軸對稱高斯-謝爾模光束[1]，在其結(jié)構(gòu)中引入了扭曲相位，被稱為扭曲高斯-謝爾模(twisted Gaussian-Schell model,TGSM)光束。扭曲相位具有固定的手性或旋向性[2]，且攜帶有軌道角動(dòng)量(orbital angular momentum,OAM)[3]，使得光斑在傳輸過程中繞軸旋轉(zhuǎn)，這一新穎的特性引起了科研人員對TGSM光束的研究興趣。1994年,FRIBERG在利用兩組柱透鏡組成的光學(xué)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生了TGSM光束[4]，并證明了這種典型的扭曲光束可分解為互不相關(guān)的橢圓高斯光束的疊加[5]。此后，科研人員長期致力于研究扭曲光束在鬼成像[6]、粒子捕獲[7]、自由空間光通信[8]、照明光源[9]等方面的應(yīng)用價(jià)值。

相干和相位是光波的基本特性，它們之間是相互影響的。過去很長一段時(shí)間對扭曲相位的研究局限在了TGSM光束這一種模型，這是由于扭曲相位是用一個(gè)與光場橫截面兩點(diǎn)位置相關(guān)的相位因子描述，新型扭曲光束的產(chǎn)生依賴于對光場橫截面兩點(diǎn)位置相干結(jié)構(gòu)的精確調(diào)控。得益于GORI在2007年提出的構(gòu)造特殊關(guān)聯(lián)部分相干光束的方法[10]，空間關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)光束的調(diào)控及產(chǎn)生的研究因此迎來爆發(fā)式增長，許多具有特殊關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的光束模型被提出，例如多高斯-謝爾模(muti-Gaussian-Schell model,MGSM)光束[11]，余弦高斯關(guān)聯(lián)謝(cosine-Gaussian-Schell model,CGCSM)光束[12]，拉蓋爾-高斯關(guān)聯(lián)謝爾模光束(Laguerre-Gaussian correlation Schell model,LGCSM)光束等[13]，其中，MGSM光束以其在遠(yuǎn)場的平頂特性引起了廣泛的關(guān)注，研究者對其在大氣湍流[14]、隨機(jī)介質(zhì)[15]、海洋湍流[16]中的傳輸特性進(jìn)行了研究，其對抑制光束在大氣湍流中的閃爍[17-18]和粒子捕獲[19]等方面也有重要作用。近年來，得益于BORGHI等人提出的軸對稱謝爾模光束是否可攜帶扭曲相位的判斷條件[20]，以及GORI等人提出的一種構(gòu)建無對稱約束扭曲光束的方法[21]，新型扭曲光束不斷地被提出并進(jìn)行了研究[22-30]，如徑向偏振扭曲光束[22-24]、扭曲陣列光束[25-27]、扭曲渦旋高斯-謝爾模光束[28]、扭曲拉蓋爾-高斯-謝爾模光束[29]，以及扭曲橢圓多高斯-謝爾模光束[30]。

隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)、物聯(lián)網(wǎng)和云計(jì)算等技術(shù)的高速發(fā)展，人們對于通信容量和速率的要求越來越高。扭曲光束攜帶有軌道角動(dòng)量，為高速光纖通信提供了新的信息調(diào)制維度，將極大地提升系統(tǒng)的信道容量和頻譜利用率。基于模式分解理論，部分相干光可看作多模式相干光的非相干疊加，多模光纖可用于傳輸多種模式的光束，常見的多模光纖為階躍折射率和梯度折射率(gradient index ,GRIN)光纖。梯度折射率光纖具有自聚焦特性，脈沖色散低于階躍折射率光纖，在光學(xué)制造[31]、自成像[32]、光束整形[33]等領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用前景。近些年來，研究者分別對電磁高斯-謝爾模光束[34-35]、電磁多高斯-謝爾模光束[36]、部分相干渦旋光束[37]、拉蓋爾-高斯光束[38]在梯度折射率光纖中的傳輸特性進(jìn)行了研究。然而，作為一種新型光束，扭曲多高斯光束在梯度折射率光纖中的傳輸特性鮮被研究。本文中基于Mercer展開理論[39]和交叉譜密度函數(shù)的非負(fù)性原則，證明了多高斯-謝爾模關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)可攜帶扭曲相位，得到了一種橢圓扭曲多高斯-謝爾模光束，推導(dǎo)了其通過ABCD光學(xué)系統(tǒng)后交叉譜密度函數(shù)的解析式，并詳細(xì)研究了其在梯度折射率光纖中傳輸時(shí)光強(qiáng)和相干度的演化特性。

1 理論模型

部分相干光束的2階統(tǒng)計(jì)特性可用交叉譜密度函數(shù)來表示，多高斯-謝爾模光束在源平面上的交叉譜密度函數(shù)(cross-spectral density,CSD)可以表示為[11]:

(1)

式中,S(r)表征強(qiáng)度輪廓分布函數(shù)，r1≡(x1,y1)，r2≡(x2,y2)是源平面上的任意兩點(diǎn)的空間位置坐標(biāo)，η(r1,r2)表征光束相干結(jié)構(gòu)，多高斯-謝爾模關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)可表示為:

(2)

BORGHI等人證明了光束是否能攜帶扭曲相位只與相干結(jié)構(gòu)有關(guān)，而與光束的振幅無關(guān)[20]。因此，為了便于分析，可將(1)式攜帶扭曲相位，并忽略掉強(qiáng)度可表示為：

(3)

式中,μ表示扭曲因子。根據(jù)部分相干光束模式疊加理論，將(3)式用Mercer展開表示為[39]:

(4)

其特征函數(shù)Φj,l為正交，Φj,l*表示特征函數(shù)的復(fù)共軛，特征值Λj+l為非負(fù)，當(dāng)部分相干光束攜帶扭曲相位后，其特征函數(shù)形式可為拉蓋爾-高斯型[39]:

(5)

(6)

式中,r=r2-r1，Ls表示角向指數(shù)為0、徑向指數(shù)為s的拉蓋爾多項(xiàng)式，將(2)式代入(6)式計(jì)算得到:

(7)

最終積分得到特征值序列表達(dá)式為:

(8)

對(8)式分析后可知，當(dāng)μ≤1/mδ2時(shí)，該特征值為非負(fù)實(shí)數(shù)，此時(shí)橢圓多高斯-謝爾模光束可以攜帶扭曲相位。為便于之后的分析，將強(qiáng)度輪廓函數(shù)寫為橢圓高斯函數(shù)，就得到了一類新型橢圓扭曲多高斯-謝爾模(twisted multi-Gaussian-Schell model,TMGSM)光束，其交叉譜密度函數(shù)可以表示為:

(9)

式中,r1x，r1y，r2x，r2y分別為r1，r2在x，y方向上的分量;σx，σy表示x，y方向上的束腰寬度。在傍軸近似下利用Collins公式，橢圓TMGSM光束在像散ABCD光學(xué)系統(tǒng)中的傳輸公式可表示為:

(10)

式中,ρ1=(ρ1x,ρ1y)和ρ2=(ρ2x,ρ2y)是輸出平面上任意兩個(gè)位置向量;A,B,C,D為光學(xué)系統(tǒng)傳遞矩陣的元素;λ為光束波長，k=2π/λ是波數(shù)。將(9)式代入(10)式，經(jīng)過積分，就得到了輸出平面的交叉譜密度函數(shù)解析式:

(11)

其中，使用了一系列參數(shù)替換：

(12)

接下來，本文中將研究橢圓TMGSM光束在梯度折射率光纖中的傳輸特性。梯度折射率光纖的折射率分布可由下式表示:

(13)

其中,

(14)

式中，R0為纖芯半徑，ρ為空間任意點(diǎn)距纖芯中心的距離，β為梯度折射率系數(shù)，n0為光纖中心折射率，n1為光纖包層折射率，梯度折射率光纖的ABCD傳輸矩陣可表示為:

(15)

在這里用一種特定的梯度折射率光纖，纖芯為摻雜鍺的二氧化硅(摻雜質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.079的氧化鍺)，包層為二氧化硅制成，折射率由塞米爾方程計(jì)算:

(16)

式中，ωp=2πc/λp，Bp，λp均為特定材料下的塞米爾系數(shù)，c為光速，ω為λ=632.8nm時(shí)對應(yīng)的角頻率。對純二氧化硅，塞米爾系數(shù)B1=0.6961663,B2=0.4079426,B3=0.8974794，λ1=0.0684043μm,λ2=0.1162414μm,λ3=9.896161μm。對摻雜質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.079鍺的二氧化硅，其塞米爾系數(shù)B1=0.7136824,B2=0.4254807,B3=0.8964226，λ1=0.0617167μm,λ2=0.1270814μm，λ3=9.896161μm。取光纖纖芯半徑為25μm，通過(13)式、(14)式和(16)式可以得到n0=1.46977,n1=1.45702,β=5.25726mm-1，從而確定ABCD傳輸矩陣的具體參數(shù)。部分相干光束的光強(qiáng)和相干度可由交叉光譜密度函數(shù)表示為：

S(ρ)=W(ρ,ρ)

(17)

(18)

2 數(shù)值模擬與分析

本節(jié)中，將對橢圓TMGSM光束在梯度折射率光纖中傳輸?shù)墓鈴?qiáng)和相干度(degree of coherence,DOC)進(jìn)行模擬和分析，除特殊說明外，初始參數(shù)設(shè)定為：λ=632.8nm，k=2π/λ，n0=1.46977，n1=1.45702，σx=100/k，σy=25/k，δ=50/k,β=5.25726mm-1，μ=4×10-5k2，M=5，L=π/β=597.5722μm。圖1a和圖1b是橢圓TMGSM光束在梯度折射率光纖中傳輸時(shí)的x-z歸一化光強(qiáng)剖面圖和y-z歸一化光強(qiáng)剖面圖。結(jié)果表明，初始的橢圓光斑在傳輸過程中發(fā)生周期為L的變化，在z=0處σx>σy，而在z=0.5tL(t=1,3,5…)的焦。

Fig.1 Normalized intensity distribution of elliptically twisted multi-Gaussian-Schell model beams propagating in a gradient index fibera—z-x profile b—z-y profile

平面處σx<σy，這種現(xiàn)象是由梯度折射率光纖的自聚焦特性決定的。在圖1b中可以清楚地看到反常規(guī)的聚焦現(xiàn)象，即y方向的光斑寬度在聚焦過程中逐漸增大，這是由于光斑旋轉(zhuǎn)造成的。此外，當(dāng)光束傳輸?shù)浇蛊矫鏁r(shí)，光強(qiáng)分布呈平頂分布，這種現(xiàn)象是由于多高斯關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)造成的[11]。

圖2是不同多高斯模數(shù)的橢圓TMGSM光束在梯度折射率光纖中傳輸不同距離的歸一化光強(qiáng)密度圖。除M外，其它取值與初始參數(shù)一致。當(dāng)M=1時(shí)，橢圓TMGSM光束轉(zhuǎn)化為TGSM光束。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，光束光斑隨傳輸距離的增加發(fā)生順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，傳輸?shù)浇蛊矫鎧=0.5L處剛好轉(zhuǎn)過π/2。同時(shí)，光斑的橢圓度也在傳輸過程中不斷降低。觀察圖2f、圖2l和圖2r，發(fā)現(xiàn)隨M的增加不會(huì)影響光斑的旋轉(zhuǎn)速度，但光斑在焦平面處的平頂分布區(qū)域增大，同時(shí)光束發(fā)散也隨之增大，在焦平面處得到了較大的聚焦平頂光斑。

Fig.2 Normalized light intensity diagrams of elliptically twisted multi-Gaussian-Schell model beams propagating at different distances in gradient index fibers with different Ma～f—M=1 g～l—M=5 m～r—M=10

圖3是不同扭曲因子影響下，橢圓TMGSM光束在梯度折射率光纖中傳輸不同距離時(shí)的歸一化光強(qiáng)密度圖。除扭曲因子μ以外，其它參數(shù)均取初始參數(shù)，且扭曲因子取值滿足μ≤1/(mδ2)的條件限制。結(jié)果表明:當(dāng)μ=0時(shí)，光束退化為MGSM光束，光斑在傳輸過程中只存在聚焦過程，不會(huì)發(fā)生旋轉(zhuǎn);當(dāng)μ>0時(shí)，光斑發(fā)生旋轉(zhuǎn)，但旋轉(zhuǎn)速度并不均勻，在剛開始傳輸時(shí)，隨著扭曲因子增大，光斑的旋轉(zhuǎn)速度加快，而傳輸?shù)浇咏蛊矫鏁r(shí)，扭曲因子小的反而旋轉(zhuǎn)速度更快，在焦點(diǎn)z=0.5L處，無論扭曲因子取何值，光斑總是剛好旋轉(zhuǎn)了π/2。此外，觀察圖3e、圖3k和圖3q發(fā)現(xiàn)，在接近焦平面處，光斑的橢圓度也隨著扭曲因子的增大而增大。

Fig.3 Normalized light intensity diagrams of elliptically twisted multi-Gaussian-Schell model beams propagating at different distances in gradient index fibers under different twist factors μa～f—μ=0 g～l—μ=4×10-5k2 m～r—μ=8×10-5k2

接下來研究了橢圓TMGSM光束在梯度折射率光纖中傳輸時(shí)相干度的演化特性。圖4a和圖4b是橢圓TMGSM光束在梯度折射率光纖中傳輸時(shí)的x-z相干度剖面圖和y-z相干度剖面圖,其它參數(shù)與圖1一致。圖4顯示，在梯度折射率光纖中傳輸時(shí)，相干度也會(huì)發(fā)生周期為L的變化。初始的相干度分布相同的情況下，由于光束強(qiáng)度的各向異性對相干性的影響，在傳輸過程中將導(dǎo)致相干度逐步呈現(xiàn)各向異性，由圓形高斯分布演化為橢圓高斯分布。

Fig.4 Degree of coherence distribution of elliptically elliptically twisted multi-Gaussian-Schell model beams propagating in a gradient index fibera—z-x profile b—z-y profile

圖5是不同模數(shù)M下的橢圓TMGSM光束在梯度折射率光纖中傳輸不同距離的相干度密度圖,其它參數(shù)與圖2一致。從圖中可發(fā)現(xiàn)，隨著傳輸距離的增加，光束相干度分布由圓形高斯分布演化為橢圓高斯分布，橢圓度逐漸增大，且相干度分布逐漸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，傳輸?shù)浇蛊矫鎧=0.5L處剛好轉(zhuǎn)過π/2。觀察圖5a～圖5c得出，隨著M的增加，相干度分布輪廓變小，周圍開始出現(xiàn)暗環(huán)。與光強(qiáng)變化規(guī)律類似，增大M不會(huì)影響相干度分布的旋轉(zhuǎn)速度。圖6是橢圓TMGSM光束在梯度折射率光纖中傳輸不同距離時(shí)在不同扭曲因子μ影響下的相干度密度圖，參數(shù)同圖3。觀察圖6a、圖6g和圖6m可得出扭曲因子的大小對初始相干度分布沒有影響。圖6表明，當(dāng)μ=0時(shí)，隨著傳輸距離的增加，相干度分布不發(fā)生旋轉(zhuǎn);當(dāng)μ>0時(shí)，相干度分布發(fā)生旋轉(zhuǎn)，但旋轉(zhuǎn)速度并不均勻，與光強(qiáng)相反，在剛開始傳輸時(shí)，隨著扭曲因子增大，相干度分布的旋轉(zhuǎn)速度變慢，而傳輸?shù)浇咏蛊矫鏁r(shí)，旋轉(zhuǎn)速度加快，在焦平面z=0.5L處，無論扭曲因子取何值，相干度分布也是剛好旋轉(zhuǎn)了π/2。

Fig.5 Degree of coherence density diagrams of elliptically twisted multi-Gaussian-Schell model beams propagating at different distances in gradient index fiber under different Ma—M=1 b—M=5 c—M=10

Fig.6 Degree of coherence density diagrams of elliptically twisted multi-Gaussian-Schell model beams propagating at different distances in gradient index fiber under different twist factors μa～f—μ=0 g～l—μ=4×10-5k2 m～r—μ=8×10-5k2

3 結(jié) 論

本文中基于Mercer模式展開理論和交叉譜密度函數(shù)的非負(fù)性原則，嚴(yán)格證明了當(dāng)扭曲因子滿足μ≤1/(mδ2)時(shí)，多高斯-謝爾模關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)可攜帶扭曲相位，得到了一種橢圓TMGSM光束，推導(dǎo)了其通過ABCD光學(xué)系統(tǒng)時(shí)交叉譜密度函數(shù)的解析式，并研究了其在梯度折射率光纖中傳輸時(shí)模數(shù)、扭曲因子對光強(qiáng)和相干度變化特性的影響。結(jié)果表明:橢圓TMGSM光束在梯度折射率光纖中傳輸時(shí)光強(qiáng)和相干度均呈現(xiàn)周期性變化；光強(qiáng)分布呈現(xiàn)為由橢圓高斯分布到平頂分布再恢復(fù)為橢圓高斯分布的周期性變化，模數(shù)M越大，光強(qiáng)分布的平頂區(qū)域越大，相干度分布輪廓越??；由于扭曲相位的存在，光強(qiáng)和相干度分布均在傳輸過程中發(fā)生旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，旋轉(zhuǎn)速度是非線性的并與扭曲因子的大小有關(guān)，且旋轉(zhuǎn)角度在焦平面處限定為π/2。本文中的研究結(jié)果在光纖通信、聚焦成像、光學(xué)捕獲等方面具有潛在的應(yīng)用前景。