三角直覺(jué)模糊集的集結(jié)模型及其在多屬性決策問(wèn)題中的應(yīng)用

蔣琳佳，邱駿達(dá)，范洪輝，由從哲

（江蘇理工學(xué)院計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，江蘇 常州 213001）

由Zadeh[1]在1965年提出的直覺(jué)模糊數(shù)（FN），能夠?qū)⒉淮_定的語(yǔ)言變量轉(zhuǎn)化為模糊數(shù)。Atanassov[2-3]提出的直覺(jué)模糊集（FS）是對(duì)模糊集理論的拓展，進(jìn)一步提高了模糊集對(duì)實(shí)際信息描述的準(zhǔn)確度?；谌悄：龜?shù)較適用于體現(xiàn)“某個(gè)值左右”的這一特性，劉鋒[4]以?xún)山M三角模糊數(shù)分別表示直覺(jué)模糊集的隸屬度與非隸屬度，并提出三角直覺(jué)模糊集（TIFS）的概念，從而解決了區(qū)間值模糊集以區(qū)間數(shù)表示隸屬度和非隸屬度時(shí)缺乏重心的問(wèn)題。Fahmi等人[5]定義了語(yǔ)言區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)及其得分函數(shù)和準(zhǔn)確度函數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，往往先要依靠專(zhuān)家給出的模糊數(shù)集來(lái)對(duì)不同決策模型進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，在集結(jié)信息、構(gòu)造正負(fù)理想解后得到理想方案排序。在此流程中，可能會(huì)存在諸如個(gè)別極端偏好信息影響全局、經(jīng)過(guò)復(fù)雜算法后信息失真等問(wèn)題。因此，如何在全面統(tǒng)籌兼顧各模糊信息的同時(shí)，又能得到高效正確的排序方案，仍是一個(gè)值得探究的問(wèn)題。譚旭等人[6]提出的基于熵理論的模型，以及Wang等人[7]提出的基于前景理論的隨機(jī)不確定多屬性群決策方法，都包含了大量的復(fù)雜計(jì)算。邱駿達(dá)[8]提出了一種將模糊數(shù)映射到坐標(biāo)系，進(jìn)而將復(fù)雜的模糊信息簡(jiǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的模型?；谠撃Ｐ?，本文探究了三角直覺(jué)模糊集在解決多屬性決策問(wèn)題上的可行性。

1 基本概念

1.1 直覺(jué)模糊集和區(qū)間直覺(jué)模糊集

定義1[8]：若X為一個(gè)非空集合，則定義是X上的一個(gè)直覺(jué)模糊集。其中，μA(x)與vA(x)分別表示集合X中元素屬于A的隸屬度與非隸屬度。稱(chēng)有序?qū)?直 覺(jué) 模 糊 數(shù)（IFN）。其 中：μA(x)∈[0,1],vA(x)∈[0,1],μA(x)+vA(x)≤1。

定義2[8]：若X為一個(gè)非空集合，則定義

是X上的一個(gè)區(qū)間直覺(jué)模糊集。其中：

分別表示集合X中元素屬于A的隸屬度區(qū)間和非

隸屬度區(qū)間，并且其取值范圍滿足如下條件：

1.2 三角直覺(jué)模糊集

定義3[8]：若0<αL≤αM≤αU，則稱(chēng)之為三角模糊數(shù)，其特征函數(shù)（隸屬函數(shù)）μα?(x)可表示為：

劉鋒[4]基于三角模糊數(shù)的表示結(jié)構(gòu)，更進(jìn)一步將其模糊化，由此產(chǎn)生了模糊數(shù)直覺(jué)模糊集，能夠表示模糊程度更大的信息，其隸屬度和非隸屬度均由一次函數(shù)表示。Wan等人[9]定義了新的規(guī)范化梯形直覺(jué)模糊數(shù)運(yùn)算法則。

圖1為三角模糊數(shù)的隸屬度函數(shù)在坐標(biāo)系中的表現(xiàn)形式。非隸屬度函數(shù)的表示與之相似。

圖1 三角模糊數(shù)隸屬度示意圖

定義4：若X是一個(gè)非空集合，則定義

分別表示集合X中元素屬于A的隸屬度與非隸屬度。A則為X上的一個(gè)三角直覺(jué)模糊集。

1.3 模糊集的集結(jié)算法

將三角直覺(jué)模糊集投影為三維空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)和區(qū)域，基于距離公式對(duì)坐標(biāo)點(diǎn)和區(qū)域頂點(diǎn)進(jìn)行集結(jié)，找到最優(yōu)集結(jié)點(diǎn)和各區(qū)域最優(yōu)集結(jié)頂點(diǎn)作為對(duì)模糊信息的集結(jié)過(guò)程。

定義5[7]：設(shè)決策者權(quán)重為ξ=(ξ1,ξ2,…,ξi)T，在空間即表示為距離權(quán)重，空間區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)集有n個(gè)含有距離權(quán)重的點(diǎn)，距離權(quán)重ξi∈[0,1]且存在點(diǎn)P*(a*,b*,c*)與P內(nèi)所有點(diǎn)之間的加權(quán)歐式距離之和DP*最小，即：則稱(chēng)P*(a*,b*,c*)為點(diǎn)集P的三維空間最優(yōu)集結(jié)點(diǎn)。

1.4 投影評(píng)分算法

定義6[8]：設(shè)和是兩個(gè)向量，則稱(chēng)為向量α在向量β上的投影。

定義7[8]：設(shè)是兩個(gè)矩陣，則矩陣A在矩陣B上的投影定義如下：

三角直覺(jué)模糊集的優(yōu)劣可以通過(guò)計(jì)算各向量在 正、負(fù)理想解上的投影獲得。Tm×n的正、負(fù)理想解為：

三角直覺(jué)模糊集ti在t+和t-上的投影分別為：

其中，ω=(ω1,ω2,…,ωn)為權(quán)重向量。

2 模型建立

2.1 粒子群算法

為了能在空間中找到最優(yōu)集結(jié)點(diǎn)，本文選用粒子群算法（PSO）進(jìn)行最優(yōu)化處理。首先，初始化大量的隨機(jī)粒子，即用隨機(jī)數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，每一組坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一組解向量；然后，通過(guò)迭代找到最優(yōu)解。在多次循環(huán)迭代中，粒子通過(guò)追蹤最優(yōu)值來(lái)尋找自己下一輪的迭代位置。找到當(dāng)前和全局最優(yōu)值后，粒子以公式（4）和（5）來(lái)不斷更新自己的速度與位置。

首先，隨機(jī)產(chǎn)生第一代種群，通過(guò)目標(biāo)函數(shù)篩選出個(gè)體最優(yōu)解、個(gè)體最優(yōu)適應(yīng)度值，并不斷進(jìn)行更新迭代。若出現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)值大于當(dāng)前全局最優(yōu)值，則更新全局最優(yōu)解。所有粒子都以公式（4）的速度向全局最優(yōu)點(diǎn)逼近，以公式（5）來(lái)更新其坐標(biāo)。若發(fā)現(xiàn)粒子越界，則重置其位置為解空間的最大邊界值。經(jīng)過(guò)大量的更新迭代后，粒子坐標(biāo)最終趨向全局最優(yōu)解。

2.2 三角模糊直覺(jué)數(shù)預(yù)處理

基于三角直覺(jué)模糊數(shù)的形式：建立兩個(gè)空間直角坐標(biāo)系，分別用于隸屬度μ(x)和非隸屬度v(x)的投影。將投影到各自的x，y，z坐標(biāo)軸上，將模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為空間直角坐標(biāo)系中的具體點(diǎn)。因?yàn)槟：龜?shù)的大小均在[0，1]區(qū)間，所以經(jīng)過(guò)投影映射后，所有點(diǎn)的x，y，z坐標(biāo)都位于[0，1]區(qū)域內(nèi)，如圖2所示。圖中的含義是第t個(gè)決策者在針對(duì)第i個(gè)方案時(shí)，為第j個(gè)評(píng)價(jià)屬性所給出的偏好信息。

圖2 三角模糊數(shù)投影示意圖

3 集結(jié)算法

根據(jù)粒子群算法的模型，本文的集結(jié)目標(biāo)為尋找空間中與所有經(jīng)過(guò)投影后的三角模糊數(shù)加權(quán)距離最小的點(diǎn)。

3.1 加權(quán)最優(yōu)偏好集結(jié)點(diǎn)的定義與生成

基于定義5和三角模糊數(shù)的表示形式，設(shè)有i個(gè)不同決策者，對(duì)同一方案下同一屬性給出的模糊信息經(jīng)過(guò)投影后在空間表示為：；可以定義空間內(nèi)加權(quán)最優(yōu)偏好集結(jié)點(diǎn)：

本文用兩個(gè)三維坐標(biāo)分別表示該點(diǎn)隸屬度和非隸屬度的信息，也可用六維空間直接表示。

首先，選取粒子群算法模型中的幾個(gè)已知常量：慣性因子w=0.8，學(xué)習(xí)因子c1=c2=1.4，單次迭代收斂速度Vmax=0.01、Vmin=-0.01，位置區(qū)間Xmax=1、Xmin=0，實(shí)驗(yàn)中的種群規(guī)模大小為1 000，總進(jìn)化次數(shù)1 000次。適應(yīng)度函數(shù)為各點(diǎn)加權(quán)距離之和。通過(guò)迭代收斂，最終生成空間內(nèi)加權(quán)最優(yōu)偏好集結(jié)點(diǎn)的步驟如下。

步驟1：分別針對(duì)隸屬度和非隸屬度的三個(gè)維度指標(biāo)隨機(jī)產(chǎn)生初始種群，即隨機(jī)生成一群三維粒子；計(jì)算其適應(yīng)度值，即每個(gè)粒子與經(jīng)過(guò)投影后模糊數(shù)的加權(quán)距離；記錄距離最小的粒子為個(gè)體最優(yōu)點(diǎn)，其適應(yīng)度函數(shù)值為當(dāng)前最優(yōu)適應(yīng)度值。

步驟2：迭代尋優(yōu)。粒子根據(jù)當(dāng)前全局最優(yōu)點(diǎn)和自身位置，基于公式來(lái)更新自己的速度與坐標(biāo)，朝向當(dāng)前全局最優(yōu)點(diǎn)逼近。若出現(xiàn)比當(dāng)前全局最優(yōu)適應(yīng)度值還小的點(diǎn)，則將該點(diǎn)重置為全局最優(yōu)點(diǎn)，其適應(yīng)度值為全局最優(yōu)適應(yīng)度值。

重復(fù)步驟1繼續(xù)集結(jié)下一個(gè)屬性。

3.2 屬性權(quán)重向量的生成

模糊信息集結(jié)完成后，進(jìn)行屬性權(quán)重集結(jié)。如果屬性權(quán)重已知且表示為向量形式，則無(wú)需計(jì)算，可以直接在實(shí)驗(yàn)中使用。如果屬性的權(quán)重信息經(jīng)過(guò)一系列轉(zhuǎn)化后能夠直接用三角直覺(jué)模糊數(shù)表示，則3.1中的集結(jié)算法也可用于生成該屬性的權(quán)重向量。集結(jié)完成后，可利用正負(fù)理想解的思想對(duì)其去模糊化，將表示屬性權(quán)重信息的三角直覺(jué)模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為精確數(shù)；把主觀屬性權(quán)重與客觀屬性權(quán)重相結(jié)合可得到屬性權(quán)重向量，并用于評(píng)分排序計(jì)算。

3.3 方案排序

完成對(duì)決策者矩陣中各方案及各屬性權(quán)重的集結(jié)后，按照?qǐng)D3所示方法構(gòu)造最優(yōu)決策者綜合偏好矩陣，以表示綜合各決策者意見(jiàn)后得到的最終結(jié)果，便于挑選正負(fù)理想解并排序。

圖3 最優(yōu)決策者綜合偏好矩陣的構(gòu)建過(guò)程

從最優(yōu)偏好集結(jié)矩陣中挑選出正理想點(diǎn)：

構(gòu)造負(fù)理想點(diǎn)：

利用TOPSIS算法中較為成熟的綜合評(píng)價(jià)思想和定義8中投影公式，對(duì)各方案計(jì)算加權(quán)正理想投影值和加權(quán)負(fù)理想投影值；按照定義8中的公式進(jìn)行方案最終得分S(Ai)的計(jì)算，方案得分越高說(shuō)明該方案越值得被采納。以方案得分為指標(biāo)對(duì)各方案進(jìn)行降序排序，得到各方案針對(duì)該問(wèn)題的優(yōu)越性列表，最終選出解決方案。至此，決策者權(quán)重已知條件下基于三角直覺(jué)模糊集的多屬性群決策問(wèn)題就得以解決。

4 算法模型的驗(yàn)證

為了證明本文算法的可行性和優(yōu)越性，選擇文獻(xiàn)[10]“在一條供應(yīng)鏈中，該如何選擇核心企業(yè)的戰(zhàn)略合作伙伴”為算例，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

3位決策者ek（1≤k≤3）針對(duì)4家合作企業(yè)Ai（1≤i≤4）進(jìn)行評(píng)估。選取響應(yīng)時(shí)間與供應(yīng)能力C1、質(zhì)量和技術(shù)水平C2、價(jià)格與成本C3為三個(gè)評(píng)估屬性Cj（1≤j≤3）。假設(shè)決策者之間、各屬性之間均相互獨(dú)立，即不存在決策者之間關(guān)聯(lián)偏好的影響，各屬性之間也無(wú)協(xié)同因素，根據(jù)文獻(xiàn)[10]，決策者權(quán)重為ξ=(1/3，1/3，1/3)T，客觀屬性權(quán)重為ξ=(4/11,4/11,3/11)T，三個(gè)決策者矩陣見(jiàn)表1～3。

表1 決策矩陣T1

表2 決策矩陣T2

表3 決策矩陣T3

根據(jù)前述集結(jié)算法對(duì)表1～3所示決策矩陣進(jìn)行集結(jié)綜合矩陣，集結(jié)后構(gòu)成的最優(yōu)決策者綜合偏好矩陣如表4所示。從表中挑選出正負(fù)理想解：

表4 最優(yōu)決策者綜合偏好矩陣

運(yùn)用公式（1）、公式（2）計(jì)算各個(gè)備選企業(yè)的最終得分。此時(shí)，權(quán)重向量為本例中給出的客觀屬性權(quán)重，即ω=ξ=(4/11，4/11，3/11)T。經(jīng)過(guò)計(jì)算后，最終得分為：S（A1）=2.425 709 0，S（A2）=1.199 609 7，S（A3）=3.036 739 8，S（A4）=2.740 651 0。據(jù)此得分進(jìn)行方案排序，結(jié)果為A3>A4>A1>A2，因此最佳備選企業(yè)為A3。此結(jié)果與文獻(xiàn)[10]得出的結(jié)論基本一致，只是企業(yè)A4與A1的順序發(fā)生了互換。文獻(xiàn)[10]中A4與A1兩家企業(yè)得分也是非常接近，與本文結(jié)果類(lèi)似。故通過(guò)本算例成功驗(yàn)證了本文集結(jié)模型的可行性與正確性。

5 結(jié)語(yǔ)

基于現(xiàn)有的三角模糊理論，探究了一種基于粒子群尋優(yōu)算法的模糊信息集結(jié)模型。此模型便于理解、簡(jiǎn)單高效，能快速將模糊信息復(fù)雜的集結(jié)過(guò)程轉(zhuǎn)化為空間中點(diǎn)坐標(biāo)的距離問(wèn)題，既極大降低了運(yùn)算量、簡(jiǎn)化了集結(jié)過(guò)程，也避免了信息失真等問(wèn)題。通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證，證實(shí)了該算法運(yùn)用于多屬性決策模型的可行性。