二次冪求和公式的兩種證明

趙艷艷

(山西省晉中師范高等?？茖W(xué)校 030600)

1 二次冪求和公式的產(chǎn)生

這個公式是如何推導(dǎo)出來的，后人從不同的角度對此做了許多猜想和驗(yàn)證，不僅方法多樣，還直觀易懂，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法啟迪后來者繼續(xù)對這個問題進(jìn)行探索.本文根據(jù)人的思維發(fā)展特點(diǎn)和心理發(fā)展規(guī)律,提出歸納法是最接近古人思維的一種方法，即與一次冪求和公式進(jìn)行對比，找到規(guī)律，推導(dǎo)過程如下：

12:1=1

(12+22):(1+2)

(12+22+32)：(1+2+3)

(12+22+32+42)：(1+2+3+4)

依次類推，得出二次冪求和與一次冪求和有如下關(guān)系：

(12+22+32+…+n2):(1+2+3+…+n)

即 12+22+32+…+n2

數(shù)學(xué)進(jìn)入近代以后，人們轉(zhuǎn)而從代數(shù)角度運(yùn)用公式進(jìn)行演算，如17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家帕斯卡對次數(shù)為3的二項(xiàng)式進(jìn)行變形，利用裂項(xiàng)相消的方法把三次冪進(jìn)行降冪處理，推出了二次冪求和公式，其方法如下：

由(r+1)3=r3+3r2+3r+1得：

(r+1)3-r3=3r2+3r+1

于是有：

23-13=3×12+3×1+1

33-23=3×22+3×2+1

43-33=3×32+3×3+1

?

(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1

把以上n個式子相加，可得：

由此有：

2 兩種嘗試

在初等數(shù)學(xué)中，對于項(xiàng)數(shù)較多的數(shù)列求和計算題用裂項(xiàng)相消法可以極大地簡化計算.本文在前人成果的基礎(chǔ)上，作了如下兩種嘗試.

方法1：裂項(xiàng)相消法

二次冪的一般形式為n2，我們對n2作如下變形：

n2=n(n+1)-n，

因?yàn)閚(n+1)

所以，

12=1×2-1

22=2×3-2

32=3×4-3

?

n2=n(n+1)-n

把上面n個式子相加，得到：

12+22+32+…+n2

此法沿用了裂項(xiàng)相消的思想，把二次冪求和轉(zhuǎn)化為自然數(shù)列求和，從而達(dá)到簡化計算的目的.

方法2：公式法

本文在帕斯卡的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，運(yùn)用立方差公式推導(dǎo)出了二次冪求和公式.

由a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)可知：

23-13=22+2×1+12

33-23=32+3×2+22

?

(n+1)3-n3=(n+1)2+(n+1)n+n2

把n個式子相加，有：

所以，

12+22+32+…+n2

3 一點(diǎn)感想

在數(shù)學(xué)發(fā)展的過程中，對某一問題的研究，不同的人往往會從不同的角度進(jìn)行思考，因此會有不同的創(chuàng)新點(diǎn).也正因?yàn)槿绱艘活}多解在發(fā)展思維方面有獨(dú)特的作用.通過數(shù)學(xué)史，我們可以了解古人的思維方法，發(fā)現(xiàn)古人思維的閃光點(diǎn).而古今方法的對比，往往可以給我們很多思維上的啟迪.把數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)作為數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中的一個課題，對今天數(shù)學(xué)教育的改革有積極的意義.教學(xué)中我們可以針對某一知識點(diǎn)向?qū)W生展示古人解決問題的方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)古人追求真理的精神，把我們的數(shù)學(xué)課題變成一門有血有肉活生生的課堂，更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.