基于低秩約束的旋轉機械內激勵激發(fā)的振源信號分離研究

賀志洋，趙德尊，婁 樂，程衛(wèi)東

(1.北京交通大學 機械與電子控制工程學院,北京 100044;2.北京工業(yè)大學 材料與制造學部,北京 100124;3.北京計算機技術及應用研究所，北京 100854)

機械設備經過長時間的持續(xù)工作(尤其是超過12個月)，整個系統(tǒng)受損的概率大大增加。對機械設備關鍵零部件狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷是保障其安全穩(wěn)定運行的有效手段。目前，對運行中機械設備進行振動分析是獲取其健康狀態(tài)行之有效的方法之一[1]。振動傳感器從機械系統(tǒng)上采集到的信號是多分量信號[2]，主要包含環(huán)境噪聲分離，機械內部激勵產生的振動信號分量和采集系統(tǒng)自身混入電路噪聲分量。環(huán)境噪聲和電路噪聲會嚴重影響故障特征的提取和狀態(tài)監(jiān)測的準確性[3-4]。因此，分離反映機械設備健康狀況的內部激勵響應，對于準確把握機械健康狀態(tài)具有重要意義。

現(xiàn)有的旋轉機械振動源信號分離方法可以歸納為兩類：去噪的方式和盲源分離法(BBS)。其中，去噪的方式在工程中應用最廣泛。它往往利用濾波器(時域，頻域，時頻域濾波器)或信號分解方法，將混合信號分解成多個子分量的形式，再根據感興趣信號或噪聲信號的特征來確定保留或者去除某些子分量。從而實現(xiàn)分離出感興趣信號的目的。因為必須事先獲得感興趣信號或噪聲信號的統(tǒng)計特性，所以可以將其分為兩類。一種是感興趣信號的特性已知的分離方法。例如，在2006年，法國康普涅科技大學的Antoni等[5]首次提出了譜峭度方法，用來分離混合信號中的沖擊振動響應和非沖擊振動響應。2014年，中國石油大學王金江等[6]使用混合小波變換將故障振動源信號與變速振動信號分開。另一種是噪聲特征已知的分離方法。2018年同濟大學的余建波[7]提出了一種基于固有時間尺度分解與稀疏編碼收縮集成的軸承故障特征提取方法，用于提取軸承的振動信號。例如，2015年，王天揚等[8]提出了一種增強的自適應噪聲消除算法。該方法利用齒輪噪聲源的特性來消除軸承故障信號中的齒輪噪聲分量。所有這些方法都需要根據不同的振源信號的先驗知識來選擇或去除信號中的相關分量。

盲源分離方法[9-12]從21世紀初開始應用于機械故障診斷領域。它是從觀測信號矢量出發(fā)，根據統(tǒng)計獨立的分離或負熵最大化等準則搜尋分離矩陣，實現(xiàn)未知源信號矢量分離或恢復。張杰等[13]提出了一種基于自適應時頻分布理論的盲源分離參數(shù)計算方法，解決了非平穩(wěn)盲源分離問題，并將其應用于車輪缺陷檢測。蘭斯大學的Gelle等[14-15]使用N’guyen Jutten自適應算法成功分離了兩個小型直流電動機產生的機械振動和聲音的源信號，并研究了噪聲信號對分離結果的影響。2015年，解放軍理工大學的朱會杰等[16]利用移不變稀疏編碼的盲源分離方法對軸承和齒輪故障的振源信號進行分離。

在實際工程中，作用于機體的振動激勵源多種多樣。當不確定機械設備的運行狀態(tài)時，就無法準確獲得對振動源信號或噪聲敏感的統(tǒng)計指標等先驗知識。因此，難以滿足降噪分離方法的要求。盲源分離方法分離出信號幅度和相位不確定，且獨立激振源的數(shù)量難以確定。當這些特征是通過估計和假設獲得時，就可能導致了錯分。因此，現(xiàn)有的振動源信號分離方法主要存在振動源信號不確定的問題，影響了振動源信號的分離。

針對上述問題，提出了一種低秩約束的振源信號分離方法。理想狀態(tài)下，旋轉機械或往復機械內部振源產生的信號往往具備低秩性，因此它是一種約束信號分離的通用特征。進而克服現(xiàn)有分離方法中存在的振動源信號特征不確定性問題。根據機械振動信號的實際情況，構建了多低秩噪聲的分離模型和多低秩的分離方法。通過仿真和實驗驗證了該方法的有效性，并對比了獨立分量分析的盲源分離方法，驗證了該方法的優(yōu)越性。

2 基于低秩約束的分離原理

2.1 振源信號的性質

旋轉機械及往復機械的振源信號由于其周期性特點，具有如下性質：1振源信號由重復的是由多次重復的單個響應片段(也稱為特征波形)組成。2相同振源的響應片段具有相似的模式，不同振源的響應片段在模式存在差異。3一個振源信號的需要片段具有一定的分布規(guī)律，分布規(guī)律與轉速相關。

內激勵響應的性質是多個振源信號劃分的依據。性質1指出響應片段是機械振動信號的基本組成單位，要通過響應片段的差別來區(qū)分振源信號；性質2和3闡述了區(qū)別響應片段的模式維度和分布維度，依據這兩個維度的差異區(qū)分振源信號與噪聲。

2.2 分離原理

根據振源信號響應片段的性質可知，一個振源的多個響應片段是相似的，且由之組成的矩陣是低秩矩陣。在實際應用中，給定的數(shù)據往往是低秩或近似低秩的，但是由于噪聲等其他原因使得給定的數(shù)據變得不再低秩。

魯棒主成分分析(RPCA)[17-18]是有效的低秩恢復方法之一，該方法早期應用于圖像恢復中。它將矩陣分解為兩個矩陣之和：D=L+E，L是低秩矩陣，E關于噪聲等的問題的矩陣，稱為稀疏矩陣。

在機械設備的振動信號中包含的噪聲并非是稀疏的。機械設備的振動信號中包含滿足低秩的振源信號，還包含環(huán)境噪聲和電路噪聲。環(huán)境噪聲中的偶然不規(guī)律沖擊是稀疏的，電路噪聲往往是高斯有色噪聲，環(huán)境噪聲還包含有白噪。所以這里并不能用稀疏矩陣來描述殘余項。

多種環(huán)境噪聲和電路噪聲的混合噪聲也是趨于高斯的。因為信號中的噪聲主要為高斯噪聲。

為了驗證機械振動信號的中的噪聲滿足高斯分布，通過Lilliefors檢驗方法[19-21]對包含獨立同分布的諧波噪聲和環(huán)境白噪聲的信號做高斯分布定性檢測。其中假設符合高斯分布值為0，置信度為0.33>0.05(>0.05表示接受假設)。同時對內激勵響應片段構造的內激勵響應矩陣的對應點做Lilliefors檢驗方法，同樣均滿足高斯分布。同時，對上述信號的概率密度進行了統(tǒng)計，并與高斯分布進行對比，如圖1所示。從圖中可以看出概率密度與高斯分布基本吻合。并計算了該信號的期望與方差，其期望為-0.001，方差σ2為0.611，根據中心極限定理，各隨機變量是獨立同分布，且各滿足有限方差，當數(shù)據量充分大時，滿足服從正態(tài)分布(也稱為“高斯分布”)。

圖1 概率統(tǒng)計分布圖Fig.1 Probability statistical distribution diagram

因此，可以用高斯分布的噪聲矩陣來描述機械設備振動信號中殘余項。根據機械振動信號的組成，提出了一種低秩約束振源信號分離模型

(1)

s.t.D=L+N

s.t.D=L+N

(2)

傳感器采集到的機械振動信號中，往往不止包含一個內激勵激發(fā)的振源信號。而上述分離模型中，一次只能分離一個振動源信號。因此，為了滿足從振動信號中同時分離出多個振動源的要求，將上述模型修正為多低秩約束的分離模型，如下所示

(3)

式中：n是待分離振源信號的數(shù)量;λ是低秩矩陣的權重。

設長度為m的一維振動信號為x(t)，則低秩矩陣Li可以通過Li=(x,oi,pi):Rm→Roi×pi來獲得。w是一個分塊算子，其計算方法如圖2所示。分塊算子w可以實現(xiàn)從一維矢量x(t)到二維矩陣Li的變換。式中，o是低秩矩陣列的長度，p是低秩矩陣行的數(shù)量，o和p可以通過式(4)和式(5)計算得到

圖2 分塊算子計算方法Fig.2 The calculation method of block operator

(4)

(5)

式中，fs是采樣頻率，fsource i是振源信號的特征頻率，可根據機械部件的幾何特征和轉速計算得到。

該模型可以使用增強的拉格朗日乘子法來解決凸優(yōu)化問題。首先構造增強拉格朗日函數(shù)La：

(6)

式中：Y是拉格朗日乘子，μ是迭代步長；〈〉是內積運算。li是Li經過分塊算子w的逆運算得到。將約束目標優(yōu)化問題轉化為求解增廣拉格朗日函數(shù)的最小值問題，其最優(yōu)解的表達式為

i=1,2,…,n

(7)

該優(yōu)化問題求解使用交替方向乘子法(ADMM)，每一步迭代過程可以分解為求各維度低秩矩陣核范數(shù)最小值優(yōu)化問題和和噪聲項的最小峰度。迭代過程如下所示

(8)

(9)

[Ui,Si,Vi]=SVD(w(Ti,k,oi,pi))

(10)

(11)

式中，SVD()是奇異值分解算子，Sλi/μk[]為正值參數(shù)，λi/μk軟閾值收縮操作符，w()-1是分塊算子w的逆用算，可將矩陣轉化為一維向量。

(12)

式(12)這個子問題也可以用奇異值分解和軟閾值操作求解，即：

(13)

(14)

式中,Sβ[]為正值參數(shù)，β的軟閾值收縮操作符。

可以使用等式(10)、(11)、(13)和(14)來求解等式(8)、(9)，更新li,k+1和Nk+1之后更新拉格朗日算子運算符Yk+1和閾值αk+1，更新方法如下：

(15)

αk+1=ραk,ρ=1.5

(16)

3 低秩約束的分離方法

根據第二節(jié)中的多低階振動源分離模型，提出了一種多低階約束振動源分離方法。分離方法主要由兩部分組成：確定振動源信號和分離振動源，分離步驟如圖3所示。

圖3 多低秩約束振源信號分離方法Fig.3 The process of vibration source separation method with multiple low rank constraints

在確定振源的過程中，首先，使用Matrix Profile(MP)算法在混合信號中找到相似的序列。MP算法是一種用于時間序列中查找相似片段的算法，該算法可以快速找到時間序列中最相似的子序列對(motif)。然后，對比發(fā)現(xiàn)的相似序列的頻率以及可能的振動源信號的頻率。如果頻率相等，則意味著在混合信號中存在振動源信號。

4 仿真分析

為了探討低秩約束的振源信號分離方法的分離效果，構造了含有軸承內圈和外圈故障兩個振源的仿真信號。軸承失效引起的沖擊振動可以通過單自由度質量彈簧-阻尼器的方式來建模[23-25]。

s(t)=Ae-βtsinωr(t)u(t)

(15)

故障軸承振源信號模型可以表示為[26-27]

u(t-mTp)

(16)

式中，第m個故障脈沖的幅度為Am，u(t)為單位階躍函數(shù)。Tp是由軸承故障引起的相鄰脈沖的時間間隔，α是阻尼因子。ωr是軸承故障引起的共振頻率。軸承內圈和外圈故障的模擬信號可以定義為：

x(t)=xbo(t)+xbi(t)+ns(t)

(17)

式中:xbo(t)是軸承外圈故障信號，xbi(t)是軸承內圈故障信號，ns(t)是白噪聲，fs是采樣頻率。仿真信號的參數(shù)設置如表1所示，表中fo是軸承外圈故障特征頻率，fi是軸承內圈故障特征頻率，Amo是外圈故障信號振幅，Ami是內圈故障信號振幅，αo是外圈故障阻尼因子，αi是內圈故障阻尼因子，TPo是外圈故障周期，TPi是內圈故障周期。仿真信號如圖4所示，圖中的混合信號中難以觀察到軸承故障的沖擊響應。

圖4 仿真軸承故障信號時域波形Fig.4 Time-domain waveforms of simulated bearing faults

表1 仿真信號參數(shù)Tab.1 Simulation Parameter

采用上述低秩約束的振源信號分離方法，對仿真信號中的軸承故障振動源信號進行分離。分別從時域波形和包絡譜兩個方面觀察分離效果。

(1) 分離出的振源信號時域波形如圖5所示，從圖中可以看出清晰的內、外圈故障產生沖擊響應。(2)為了觀察分離出的內外圈軸承故障的成分，分別進行了包絡譜分析，如圖5所示。從圖6的包絡譜圖中可以看出，內、外圈的故障特征頻率fi和fo及其二倍頻率處有明顯的峰值，表明該分離方法可有效分離軸承內外圈故障的仿真信號。

圖5 分離出的振源信號時域波形Fig.5 The separated time-domain waveform

5 試驗驗證

實測信號是利用由ST5000 A滾動軸承振動試驗臺采集，如圖7所示。在試驗臺中旋轉軸的末端安裝有KSWL-3806-20編碼器和轉速表。利用TDGC2-0.5 kVA接觸式電壓調節(jié)器控制交流電動機的轉速。最后，使用CA-YD-1181加速度傳感器，YE6231數(shù)據采集卡和與之匹配的采集軟件來同步采集振動信號。

(a) 內圈故障

圖7 滾動軸承振動試驗臺Fig.7 Rolling bearing vibration test bench

滾動軸承振動試驗臺上裝有SKF-6000深溝球軸承。軸承的外圈已被電火花線切割的方式人為損壞。負載是一個偏心飛輪。測得的振動信號主要包括外圈故障和偏心故障源，以及采集過程中混入的環(huán)境噪聲和電路噪聲。其中采樣頻率fs為24 kHz，軸承的轉速為3 600 RPM，軸承的幾何參數(shù)如表2所示。

表2 滾動軸承結構參數(shù)Tab.2 The bearing structure parameter

采集到的振動信號的時域波形如圖8所示。從圖7可以大致觀察到與外圈裂紋故障相對應的沖擊分量，但是很難觀察到與偏心故障相對應的諧波分量，不能有效確定存在的振源信號及其類型。

圖8 采集的振動信號時域波形Fig.8 The time-domain waveform of the collected vibration signal

然后利用本文提出的方法對振動信號進行分離，并引入對比分離方法，即獨立分量分析的盲源分離法(BSS-ICA)，分別從時域波形、包絡譜、信號比率和分類效果共4個方面對比分離效果。

(1) 時域波形。分離出的振源信號時域波形如圖9所示。從圖9中可知，本文提出的低秩約束分離方法可以得到清晰的與外圈故障相對應的沖擊響應分量和與偏心故障相對應的諧波分量。而BSS-ICA方法可以得到與外圈故障相對應的沖擊響應分量，但不能有效分離出與偏心故障相對應的諧波分量。且BSS-ICA方法分離出的故障信號幅值與由實驗原始數(shù)據的200 mV下降為5 mV，存在較大的失真。

(2) 包絡譜。為了分析分離的兩個故障振動源的組成成分，分別計算了其包絡譜，如圖10所示。其中，fo是外圈裂紋的特征頻率，fe是偏心故障的特征頻率。從圖9中可以看出，本文提出的低秩約束分離方法對應的包絡譜分別在外圈裂紋的特征頻率fo和偏心故障的特征頻率fe及其倍頻處出現(xiàn)明顯峰值。但是BSS-ICA方法對應的包絡譜中，外圈故障的包絡譜中可以看到fo也可觀察到fe，存在混疊現(xiàn)象，且在偏心故障源信號的包絡頻譜中看不到fe，表明分離效果不理想。

圖9 分離后的振源信號時域波形Fig.9 The time-domain waveform of the separated vibration source signal

圖10 分離后的外圈和偏心故障包絡譜Fig.10 The envelope spectrum of outer ring fault and eccentric fault

(3) 信號比率(SSR)。由于內部和偏心故障的真實振動源信號未知，因此無法通過信噪比(SNR)驗證分離效果。文獻[28]中提出的實測信號比率(SSR)用于定量評估分離信號的質量。SSR的數(shù)學表達式如下：

(18)

式中，PSDi和PSDj分別是信號i功率譜密度。根據式18，計算低秩約束法分離得到的兩個故障振動源信號的SSR值分別為5.6和3.2，BBS-ICA方法分離得到的SSR值分別為1.1和0.1。因此，本文的分離方法具有比BBS-ICA更高的SSR值，從量化的角度驗證了低秩約束方法的優(yōu)越性。

(4) 分類效果。為了進一步比較兩種方法的分離效果，對分離出的兩種故障振源信號進行分類，分類方法采用自組織映射(SOM)無監(jiān)督聚類方法進行分類。對分離后的兩類故障振源信號切分為等大小的樣本，測試中每類故障樣本數(shù)量為200。分類結果如圖11所示，類型1代表外圈故障的振動源信號，類型2代表偏心故障的振動源信號。從圖11可以看出，通過本文的方法分離的兩個故障振動源信號，聚為兩類，類間距較大，兩類間存在明顯的界限。但是BBS-ICA方法分離的兩個振源信號的聚類結果存在混疊情況，不能有效區(qū)分外圈故障和偏心故障。因此，本文的方法可以獲得界限更為清晰的聚類結果。

圖11 本文方法和BSS-ICA分離后的振源信號聚類效果Fig.11 SOM clustering results of separated vibration source signal by the methods of this paper and BSS-ICA

上述四個方面對比結果總結如表3所示，從表中可以看出，在時域波形、包絡譜、信號比率和分類效果共4個方面，低秩約束法的分離效果由優(yōu)于BSS-ICA方法。

表3 結果對比Tab.3 Comparison of results

6 結 論

為了克服振動源信號特征難以獲得的問題，提出了一種低秩約束的振動源信號分離方法。該方法為旋轉機械和往復機械故障診斷及健康狀態(tài)監(jiān)測提供了基礎。在分離過程中，僅需要知道每個待分離源信號的特征頻率，避免了預先獲取振動源的信號特性的過程。根據研究得到如下結論：

(1) 由旋轉或往復機械振動源信號的響應結構體構成的矩陣具有低秩性。其低秩性作為振源信號分離準則。

(2) 根據機械振動信號的實際情況，提出了多低秩噪聲模型及其對應的振源信號分離方法。通過仿真和實驗驗證了其可行性和有效性。與BSS-ICA方法相比，本文研究的方法具有更多的優(yōu)勢。