汽車懸掛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與分析

甘華權(quán)，李海艷

（廣東工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，廣州 510006）

0 引言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展和生活水平的不斷提高，人們對(duì)汽車的功能需求越來越趨于多樣化和多元化。除了作為日常代步行駛之外，人們對(duì)汽車舒適性和平穩(wěn)性的要求也越來越高。由于汽車懸掛系統(tǒng)綜合多種作用力，對(duì)車輛行駛的振動(dòng)影響較大，進(jìn)而汽車振動(dòng)直接影響了汽車的穩(wěn)定性、舒適性以及安全性，所以研究汽車懸掛系統(tǒng)的振動(dòng)變形對(duì)改進(jìn)汽車的穩(wěn)定性、舒適性和安全性有著重大的意義[1]。

汽車懸掛系統(tǒng)屬于柔性多體系統(tǒng)的范疇[2]，其在運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生剛性與彈性變形的耦合運(yùn)動(dòng)[3]。所以汽車懸掛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模需要考慮彈性變形，但是彈性變形有無限維自由度的特點(diǎn)，所以無法求得其精確解。目前比較常用的是通過有限單元法進(jìn)行離散化處理進(jìn)而求取其近似解[4]。例如，Patil等[5]利用有限元方法來求解柔性臂運(yùn)動(dòng)到特定位置情況下的撓度。許志華[6]使用有限元方法建立自卸車懸掛系統(tǒng)非線性有限元接觸模型。Nabawy等[7]使用平面桿單元建立了一種綜合的有限元模型來研究雙叉臂懸架系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。然而為了方便模型求解，很多學(xué)者使用有限單元法對(duì)汽車懸掛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模中一般會(huì)選擇簡化懸掛系統(tǒng)模型同時(shí)忽略一部分小變形，雖然減少了一些計(jì)算量，但也降低了一些動(dòng)力學(xué)模型的精度，而且有限單元法的精度和網(wǎng)格單元?jiǎng)澐值拇笮∠嚓P(guān)，對(duì)于像汽車懸掛系統(tǒng)這樣的復(fù)雜系統(tǒng)，即使在簡化了模型的情況下，為了保證計(jì)算精度的網(wǎng)格單元會(huì)劃分的比較小，計(jì)算量也仍然比較大。

因此，本文以汽車懸掛系統(tǒng)為研究對(duì)象，提出了一種利用模態(tài)方法進(jìn)行降維求解的方法，該方法首先通過拉格朗日方程法建立準(zhǔn)確的汽車懸掛系統(tǒng)的非線性柔性多體動(dòng)力學(xué)模型。然后對(duì)懸掛系統(tǒng)的彈性變形進(jìn)行離散化處理，并通過有限階級(jí)數(shù)展開式精確表示該彈性變形。最后使用廣義α方法迭代求解該模型，并與有限單元法的柔性多體動(dòng)力學(xué)建模求解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，得出該方法應(yīng)用于柔性多體動(dòng)力學(xué)建模的優(yōu)勢。

1 汽車懸掛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

1.1 建立參考坐標(biāo)系

如圖1所示，1、3、5、7為車輪，2、4、6、8為柔性臂，9為車架，10～13為減震器。分析整車懸掛系統(tǒng)需要建立一系列的坐標(biāo)系來表示其位置，其中oxyz為整體坐標(biāo)系，然后以質(zhì)量塊i(i=1,2,…,9)的重心oi為局部坐標(biāo)系原點(diǎn)，建立與整體坐標(biāo)系平行的初始狀態(tài)的局部坐標(biāo)系oixiyizi。

圖1 汽車懸掛系統(tǒng)

整車懸掛系統(tǒng)根據(jù)解耦控制方法，可以由4個(gè)1/4懸掛系統(tǒng)和一個(gè)為車架與受到的外力組成的系統(tǒng)組成。在整車懸掛系統(tǒng)中，所有的運(yùn)動(dòng)部件全部考慮為均質(zhì)質(zhì)量塊[8]。

如圖2所示，以1/4懸掛系統(tǒng)為例進(jìn)行分析。首先，1為車輪，2為柔性臂，10為減震器，可替換為彈簧阻尼器，質(zhì)量忽略不計(jì)。整體坐標(biāo)系為oxyz，車輪1的局部坐標(biāo)系為o1x1y1z1，柔性臂2的局部坐標(biāo)系為o2x2y2z2（圖中未顯示的x、x1與x2軸為由紙面向里）。由于柔性臂2的長度遠(yuǎn)大于其截面的直徑，柔性臂的截面方向的變形變化率非常小，所以將柔性臂簡化為空間梁結(jié)構(gòu)。

圖2 1/4懸掛系統(tǒng)示意圖

假設(shè)在簡化的空間梁2上存在某一點(diǎn)p，則該點(diǎn)p在局部坐標(biāo)系o2x2y2z2上的位移矢量為：

式中：R2為局部坐標(biāo)系o1x1y1z1的原點(diǎn)在整體坐標(biāo)系中的位置；A2為將柔性臂局部坐標(biāo)系位移轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣；u2r和u2e分別為p點(diǎn)在局部坐標(biāo)系o2x2y2z2上的剛性和彈性變形位移。

1.2 動(dòng)力學(xué)模型建立

考慮到汽車懸掛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程非常復(fù)雜，而使用拉格朗日方程法是直接建立外力與運(yùn)動(dòng)部件變量的關(guān)系，不涉及運(yùn)動(dòng)部件之間的各種約束力，原理相對(duì)簡單，所以本文利用拉格朗日方程法建立汽車懸掛系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。下面以1/4汽車懸掛系統(tǒng)為例，其拉格朗日方程為[9]：

式中：Qi為運(yùn)動(dòng)部件i廣義坐標(biāo)的廣義外力；λ為拉格朗日乘子向量；Cqi為運(yùn)動(dòng)部件i的約束雅克比矩陣；qi為運(yùn)動(dòng)部件i的廣義坐標(biāo)；Ti為運(yùn)動(dòng)部件i的動(dòng)能。

Ti計(jì)算如下：

式中：q?i為qi對(duì)時(shí)間t的一階微分；Mi為運(yùn)動(dòng)部件i的質(zhì)量矩陣。

根據(jù)式（3）、虛功原理以及邊界條件可求得1/4懸掛系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

式中：q?ii為qi對(duì)時(shí)間t的二階微分；Ki為運(yùn)動(dòng)部件i的剛度矩陣；Qvi為運(yùn)動(dòng)部件i二次速度矢量；Qci為運(yùn)動(dòng)部件i的約束雅克比矩陣余量。

其中，可根據(jù)以下式計(jì)算運(yùn)動(dòng)部件i二次速度矢量[10]：

進(jìn)一步的，可以將式（4）寫成以下的矩陣形式：

最后同理，可得整車懸掛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型為：

2 動(dòng)力學(xué)模型求解

2.1 動(dòng)力學(xué)方程降維

由于拉格朗日方程法推導(dǎo)得到的汽車懸掛系統(tǒng)柔性多體動(dòng)力學(xué)模型的方程是一組時(shí)變、非線性和強(qiáng)耦合的偏微分-積分方程，所以求汽車懸掛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的解析解非常困難。在這種情況下，一般是將無限維的動(dòng)力學(xué)模型通過離散的方法進(jìn)行降維，得到有限維的動(dòng)力學(xué)模型。目前柔性多體動(dòng)力學(xué)模型的常用的降維處理方法主要是有限單元法，該方法通過劃分單元的大小保證其求解精度。單元?jiǎng)澐衷郊?xì)時(shí)，離散后的動(dòng)力學(xué)模型維度就越高，計(jì)算量就越大，計(jì)算效率就越低。而本文通過將彈性變形離散成基函數(shù)與對(duì)應(yīng)時(shí)間系數(shù)乘積的級(jí)數(shù)展開式進(jìn)而進(jìn)行降維處理，將其代入前面求得的動(dòng)力學(xué)模型即可得到降維后的低維近似模型。

首先根據(jù)柔性臂j的局部坐標(biāo)系ojxjyjzj和柔性臂j的振型函數(shù)取特殊組合的三角函數(shù)為基函數(shù)：

式中：yj為柔性臂j在y軸上的位置表示；Lj為柔性臂j的長度，(i=1,2,…,N)，ωi為柔性臂的固有頻率。

然后，將柔性臂j的彈性變形離散成式（8）的基函數(shù)與對(duì)應(yīng)時(shí)間系數(shù)乘積的有限級(jí)數(shù)展開式表示：

式中：axi(t)、ayi(t)、aji(t)為待求的與時(shí)間相關(guān)的權(quán)函數(shù)。

根據(jù)柔性臂兩端變形為零的邊界條件，可得：

進(jìn)而計(jì)算求得參數(shù)dji為：

最后，本文取前2階級(jí)數(shù)展開式精確表示其柔性臂j的彈性變形：

將上述離散的彈性變形代入前面求得的汽車懸掛系統(tǒng)柔性多體動(dòng)力學(xué)模型中，得到降維后的低維柔性多體動(dòng)力學(xué)模型。

根據(jù)上面彈性變形的表示形式可以得到以下剛度矩陣[11]：

由上式可求得柔性臂j的形函數(shù)Sj、幾何矩陣Bj和剛度矩陣Kj，式中qjf為柔性臂j變形對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)，E為彈性模量。則有：

式中：Smj為質(zhì)量塊j的截面面積；Igxj為質(zhì)量塊j關(guān)于x方向的慣性矩；Igzj為質(zhì)量塊j關(guān)于z方向的慣性矩。

2.2 動(dòng)力學(xué)方程求解

如圖3所示，通過拉格朗日方程法可建立的汽車懸掛系統(tǒng)柔性多體動(dòng)力學(xué)模型，通過求逆矩陣的方法求得初始加速度矢量和拉格朗日乘子。然后將初始時(shí)刻t0時(shí)刻的位移、速度、加速度等矢量作為廣義α方法[12]的初始迭代值，通過廣義α方法迭代求取t1時(shí)刻的相應(yīng)位移、速度、加速度等，然后以t1時(shí)刻的相應(yīng)位移、速度、加速度為作為t2時(shí)刻廣義α方法迭代的初始值求t2時(shí)刻的相應(yīng)位移、速度、加速度等矢量。然后依次類推，依次求解，直到誤差小于預(yù)設(shè)誤差值且執(zhí)行到未尾時(shí)刻tn則程序迭代結(jié)束，并輸出最后tn時(shí)刻相應(yīng)的位移、速度、加速度矢量等。

圖3 動(dòng)力學(xué)模型求解流程

3 仿真與結(jié)果分析

通過具體參數(shù)進(jìn)行數(shù)值仿真，車前端、后端的柔性臂長度分別為0.38 m、0.35 m，車輪、車架質(zhì)量分別為20 kg、300 kg，彈性模量為200 GPa，密度為7800 kg/m3，彈簧彈性系數(shù)為10000 N/m，車架質(zhì)心( 0.25,0,0.36)m，柔性臂截面內(nèi)、外圓半徑分別為0.015 m，0.01 m。

圖4所示為沿x軸方向的彈性位移的比較，實(shí)線為本文方法求解得到的x軸彈性位移，虛線為有限元方法求解得到的x軸彈性模型，第一到第四行分別為柔性臂2、4、6、8的x軸彈性位移對(duì)比。

圖4 不同時(shí)刻柔性臂x軸變形位移

圖5所示為柔性臂中點(diǎn)沿z軸方向的彈性位移的比較，其中實(shí)線為本文方法表示的動(dòng)力學(xué)模型求解得到的z軸彈性位移，虛線為有限元方法表示的動(dòng)力學(xué)模型求解得到的z軸彈性模型，圖5（a）～（d）分別為柔性臂2、4、6、8的z軸彈性位移對(duì)比。

圖5 不同柔性臂中間節(jié)點(diǎn)變形位移

從圖4、圖5可知：首先，將彈性變形降維到64維的動(dòng)力學(xué)建模求解的有限元方法與將彈性變形降維為二維的動(dòng)力學(xué)模型求解的本文方法計(jì)算得到的不同時(shí)刻柔性臂x軸變形位移及不同柔性臂中間節(jié)點(diǎn)變形位移趨勢一致，且結(jié)果相差無幾，即精度相當(dāng)；其次，本文方法求解所用時(shí)間僅為0.79 s，而有限元方法求解所用時(shí)間為2.3 s，其所用時(shí)間是本文方法的4倍多，即本文方法的計(jì)算效率遠(yuǎn)高于有限單元方法；最后，如果進(jìn)一步提升求解動(dòng)力學(xué)模型的精度，有限單元法的網(wǎng)格劃分將會(huì)更多，計(jì)算量將大大增大，而本文則是只需增加一兩階基函數(shù)即可，所以在相同精度下，本文方法在求解效率方面優(yōu)勢非常顯著。

4 結(jié)束語

本文通過以整車汽車懸掛系統(tǒng)作為研究對(duì)象，考慮彈性變形對(duì)汽車懸掛系統(tǒng)的影響，將柔性臂簡化成柔性空間梁結(jié)構(gòu)，不忽略柔性臂的軸向和截面變形，使建立的汽車懸掛系統(tǒng)的柔性多體動(dòng)力學(xué)模型比以往的將柔性臂簡化成平面梁表示動(dòng)力學(xué)模型更完整。通過對(duì)比整車汽車懸掛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型有限單元法降維求解和本文所提方法可得，兩種方法都可以保證整車汽車懸掛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模的精度，在求解精度相差不大的情況下，本文所提方法的計(jì)算效率明顯要高得多。

為了進(jìn)一步研究汽車懸掛系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的彈性變形對(duì)汽車懸掛系統(tǒng)振動(dòng)的影響，以后的研究通過建立更高維的柔性多體動(dòng)力學(xué)模型和研究其振動(dòng)頻率進(jìn)行分析。