基于Sobol’法的機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素辨識方法研究

榮茂林，胡騰，何鄭曦，魏小建，吳昊榮

(1.西南石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，四川成都 610500；2.四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川德陽 618000)

0 前言

數(shù)控機(jī)床受幾何誤差、熱誤差、裝配誤差等因素綜合影響，直接影響工件的加工精度。其中，幾何誤差具有穩(wěn)定性高、重復(fù)性好、占比大、易于補(bǔ)償?shù)忍攸c(diǎn)，故誤差補(bǔ)償是提高機(jī)床加工性能最直接、經(jīng)濟(jì)的方法。但機(jī)床誤差元素較多，空間誤差模型復(fù)雜，關(guān)鍵幾何誤差元素的篩選仍是誤差模型簡化中亟待解決的關(guān)鍵問題。

針對幾何誤差元素靈敏度分析問題，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究，使用的方法包括逐步回歸法、標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)法和標(biāo)準(zhǔn)化秩相關(guān)系數(shù)法等。LI等以矩陣偏微分方程為基礎(chǔ)，根據(jù)五軸立式加工中心敏感性分析結(jié)果對機(jī)床進(jìn)行改進(jìn)，提高了機(jī)床加工精度。尹明和陳廷兵以局部靈敏度系數(shù)為基礎(chǔ)，提出一種新的全局靈敏度系數(shù)計(jì)算方法并應(yīng)用于機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素辨識。YAO等通過局部靈敏度分析，辨識出8項(xiàng)關(guān)鍵幾何誤差項(xiàng)，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了篩選結(jié)果的準(zhǔn)確性。SOBOL提出了基于方差的全局靈敏度分析方法，辨識出機(jī)床的關(guān)鍵幾何誤差元素。上述方法通常只適用于對輸入與輸出呈線性相關(guān)的模型進(jìn)行靈敏度分析，對于非線性復(fù)雜模型具有較大的局限性。

針對上述問題，以某三軸臥式加工中心為研究對象，提出了一套較完善的關(guān)鍵幾何誤差元素篩選方法技術(shù)體系。首先，分析機(jī)床運(yùn)動鏈構(gòu)成，以螺旋理論為基礎(chǔ)，建立包含21個(gè)誤差項(xiàng)的機(jī)床運(yùn)動學(xué)模型(完備模型)；其次，使用Sobol’全局靈敏度分析法計(jì)算各誤差項(xiàng)對模型輸出的靈敏度值，從21個(gè)誤差項(xiàng)中篩選出關(guān)鍵幾何誤差元素；最后，利用所篩選的關(guān)鍵幾何誤差元素重新構(gòu)建空間誤差模型(簡化模型)并與完備模型進(jìn)行比較，驗(yàn)證篩選結(jié)果的正確性。

1 臥式加工中心空間誤差模型

某臥式加工中心拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示，機(jī)床坐標(biāo)系固連于床身，原點(diǎn)為。記刀尖點(diǎn)和工件切削點(diǎn)在MCS下的初始位置分別為(、、)和(、、)。

圖1 機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

根據(jù)ISO230-7的定義，每個(gè)平動軸在空間中有6項(xiàng)誤差元素，分別是1項(xiàng)定位誤差、2項(xiàng)直線度誤差、3項(xiàng)角度誤差，即俯仰、偏擺和滾轉(zhuǎn)誤差，故三軸臥式加工中心有18項(xiàng)幾何誤差。除上述18項(xiàng)與位置相關(guān)的幾何誤差元素(Position-dependent Geometric Errors, PDGEs)外，3個(gè)平動軸還有3項(xiàng)與位置無關(guān)的幾何誤差元素(Position-independent Geometric Errors, PIGEs)，即軸與軸之間的垂直度誤差，故三軸機(jī)床共計(jì)21項(xiàng)幾何誤差元素，見表 1。

表1 三軸機(jī)床幾何誤差元素

機(jī)床的每一個(gè)名義運(yùn)動都可以看做是機(jī)床在做剛體運(yùn)動，誤差運(yùn)動可看做機(jī)床剛體的微運(yùn)動與微轉(zhuǎn)動。運(yùn)動軸(=,,)的名義運(yùn)動()與誤差運(yùn)動()可根據(jù)螺旋理論表示為

(1)

(2)

垂直度的螺旋表達(dá)為

(3)

刀具鏈和工件鏈均在機(jī)床坐標(biāo)系下表達(dá)，而空間誤差定義為刀尖點(diǎn)在工件坐標(biāo)系下實(shí)際位置與理論位置之間的偏差，故需將工件鏈轉(zhuǎn)化為在工件坐標(biāo)系下的表達(dá)，然后與刀具鏈進(jìn)行耦合，從而得到機(jī)床整體運(yùn)動鏈。由機(jī)床空間幾何誤差的螺旋表達(dá)形式可知，三軸臥式機(jī)床的空間誤差完備模型可由螺旋矩陣表示為

=((),(),())=(()·()···)·(()·()··()·()·)-

(()·)·(()·()·)=

(4)

2 Sobol’全局靈敏度分析方法

Sobol’全局靈敏度分析法基于方差分解而形成，其核心思想是對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行分解，利用各輸入量對應(yīng)函數(shù)值的方差與模型總方差之比作為相應(yīng)輸入量的靈敏度評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，通過方差之比可計(jì)算出各輸入量所對應(yīng)的一階及高階靈敏度系數(shù)。其中一階靈敏度系數(shù)通常反映了某輸入量對模型輸出的單獨(dú)影響；高階靈敏度系數(shù)表示各輸入量之間的耦合作用對模型輸出的綜合影響。

針對空間誤差模型，假設(shè)目標(biāo)函數(shù)為=()的形式，其中表示模型輸出,表示關(guān)于誤差元素的可積函數(shù)，=(,,…，)為維輸入?yún)?shù)。將目標(biāo)函數(shù)根據(jù)Sobol方法分解為2項(xiàng)遞增階數(shù)之和的形式為

(5)

其中：為根據(jù)輸入量計(jì)算得到的目標(biāo)函數(shù)模型的期望值，且當(dāng)輸入確定時(shí)也隨之確定；表示第個(gè)誤差項(xiàng)所對應(yīng)的函數(shù)值；表示第個(gè)與第個(gè)誤差項(xiàng)共同作用所對應(yīng)的函數(shù)值。式中各子項(xiàng)之間滿足相互正交的關(guān)系，因此滿足如下關(guān)系

我院正常參考值范圍PTH為16～65 ng/L，血鈣為2.1～2.6 mmol/L，將甲狀旁腺素<16 ng/L定義為甲狀旁腺功能減退，血鈣<2.1 mmol/L且有伴發(fā)癥狀者診斷為低鈣血癥；術(shù)后6個(gè)月內(nèi)PTH及血鈣恢復(fù)正常定義為暫時(shí)性甲狀旁腺功能減退；>6個(gè)月仍未恢復(fù)正常且需持續(xù)補(bǔ)鈣者定義為永久性甲狀旁腺功能減退。

(6)

其中：=1,2,…,。由此可得

=()

(7)

=-(|)-()

(8)

=-(|,)---()

(9)

其中:為第個(gè)輸入，-表示除以外的所有輸入，-表示除和以外的所有輸入。將模型輸入量看做連續(xù)隨機(jī)性變量并計(jì)算函數(shù)方差，可得輸入函數(shù)的總方差為

(10)

分別對單個(gè)誤差項(xiàng)和與其耦合的誤差項(xiàng)進(jìn)行求方差可得

=()=[-(|)]

(11)

=()=[-(|,)]-

[-(|)]-[-(|)]

(12)

使用同樣的方法可以計(jì)算出其他高階項(xiàng)的方差。對式(5)進(jìn)行求方差計(jì)算，可得到

(13)

基于方差的靈敏度分析定義為輸入量所對應(yīng)方差與模型總方差的比值，故將式(13)的等號兩端同時(shí)除以函數(shù)總方差進(jìn)行正交化，變換后可得

(14)

其中:

(15)

=={[-(|,)]-[-(|)]-[-(|)]}

(16)

為了衡量誤差項(xiàng)對空間誤差模型輸出量總方差的影響程度，將一階方差比值稱作誤差項(xiàng) 的一階敏感性系數(shù)，一階敏感性系數(shù)的大小直接反映該誤差項(xiàng)對模型輸出的影響程度大小。為了衡量誤差項(xiàng)與耦合后對模型輸出的影響程度，將二階方差比值稱為二階敏感性系數(shù)，值越大說明誤差項(xiàng)和之間的耦合作用越明顯。 其他高階項(xiàng)具有類似的含義。一般來說，誤差元素之間存在多元素相互耦合，且耦合效果不可忽略，為了能夠更加準(zhǔn)確地描述誤差元素對模型輸出的總體影響，引入總體敏感系數(shù)。的計(jì)算方式為

(17)

可簡單看作是的一階敏感性系數(shù)和所有與有耦合作用的高階敏感性系數(shù)之和。

3 蒙特卡洛估算

Sobol’全局靈敏度分析方法相較于傳統(tǒng)的蒙特卡洛采樣法具有更好的準(zhǔn)確性與收斂性，其實(shí)質(zhì)是使用低差異性序列的準(zhǔn)蒙特卡洛方法。在進(jìn)行靈敏度分析計(jì)算之前，需確定誤差項(xiàng)的變化范圍，然后使用Sobol’法根據(jù)元素范圍對誤差項(xiàng)進(jìn)行準(zhǔn)蒙特卡洛采樣，得到兩個(gè)誤差矩陣和，矩陣和矩陣相互獨(dú)立、互不影響。在此基礎(chǔ)上，以矩陣為矩陣的主體，利用矩陣的第列替換矩陣中的第列，其余項(xiàng)保持不變，得到矩陣()。()的產(chǎn)生過程如下

(18)

由公式(11)—(18)可知，一階靈敏度和總靈敏度的估算可分別表達(dá)為

(19)

(20)

4 模擬仿真

為探究三軸臥式加工中心幾何誤差元素對機(jī)床空間誤差的影響程度及簡化空間誤差模型，驗(yàn)證所提關(guān)鍵誤差元素篩選方法的有效性，以圖1所示三軸臥式加工中心為研究對象，進(jìn)行仿真計(jì)算。機(jī)床的工作空間為700 mm×600 mm×500 mm，根據(jù)機(jī)床空間誤差模型，其變量為21項(xiàng)幾何誤差元素，輸出為機(jī)床在刀尖點(diǎn)處空間誤差在、、方向的分量。依據(jù)數(shù)控機(jī)床出廠幾何精度檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)可定義幾何誤差元素?cái)?shù)值范圍。為提升機(jī)床精度、滿足設(shè)計(jì)需要，機(jī)床設(shè)計(jì)過程中需采用控制壓縮系數(shù)來保證機(jī)床設(shè)計(jì)精度，因此仿真時(shí)幾何誤差的取值為標(biāo)準(zhǔn)值的2倍。21項(xiàng)誤差服從均勻分布，-變化范圍如表 2所示。

表2 機(jī)床幾何誤差元素范圍

利用Sobol’法基于低差異性序列的準(zhǔn)蒙特卡洛法對輸入?yún)?shù)的空間域進(jìn)行采樣，便于提高仿真計(jì)算的收斂性、穩(wěn)定性以及準(zhǔn)確性。根據(jù)誤差元素范圍對誤差元素進(jìn)行抽樣，獲得誤差元素的Sobol低差異性序列，設(shè)定采樣的樣本量=10 000，采用Sobol’法對機(jī)床3個(gè)方向的空間誤差分量()、()、()進(jìn)行分析，計(jì)算出各誤差元素分別對于()、()、()的一階靈敏度及總靈敏度，如圖 2—圖 4所示。

可以看出:各誤差元素對于空間誤差分量的影響程度不同。為了在保證模型預(yù)測精度的同時(shí)，又要盡可能篩選出關(guān)鍵幾何誤差元素，所以以靈敏度占比90%為界限，劃分關(guān)鍵幾何誤差元素與非關(guān)鍵幾何誤差元素。即將所計(jì)算的靈敏度值降序排列，靈敏度值大的幾項(xiàng)進(jìn)行求和記為sum(1-)()，當(dāng)sum(1-)()/sum()>0.9時(shí)，定義總靈敏度值大的前幾項(xiàng)為關(guān)鍵幾何誤差元素，結(jié)果如表3所示。

圖2 (x)E靈敏度分析結(jié)果

圖3 (y)E靈敏度分析結(jié)果

圖4 (z)E靈敏度分析結(jié)果

表3 關(guān)鍵幾何誤差元素

為了驗(yàn)證關(guān)鍵幾何誤差元素篩選結(jié)果，利用關(guān)鍵幾何誤差元素重新建立空間誤差預(yù)測模型(簡化模型)。將上面使用的樣本中所有非關(guān)鍵幾何誤差元素值全部置零，通過簡化模型計(jì)算獲得機(jī)床刀尖點(diǎn)位置誤差分量，與完備模型預(yù)測值進(jìn)行對比，如圖5—圖7所示。

圖5 (x)E預(yù)測對比分析

圖6 (y)E預(yù)測對比分析

圖7 (z)E預(yù)測對比分析

通過對比結(jié)果可以看出：完備模型誤差分量預(yù)測值的范圍為(-0.3，0.35)mm，簡化模型預(yù)測值與完備模型預(yù)測值的殘差為(-0.05,0.05)mm。不難看出，當(dāng)不考慮非關(guān)鍵幾何誤差元素對模型的影響時(shí)，對模型的預(yù)測性能影響較小，簡化后的誤差預(yù)測模型仍保持較高準(zhǔn)確度，元素簡化率為48%，殘差保持在20%以內(nèi)，說明該方法能夠準(zhǔn)確剔除機(jī)床空間誤差模型中非關(guān)鍵幾何誤差元素，保留關(guān)鍵幾何誤差元素。

5 結(jié)論

(1)分析了機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，運(yùn)用螺旋理論建立了機(jī)床運(yùn)動誤差模型。所有誤差元素均在機(jī)床坐標(biāo)系下表述，無需建立繁雜的局部坐標(biāo)系，簡化了建模過程，提高了建模效率。

(2)分析了Sobol’全局靈敏度分析方法的原理及靈敏度值的計(jì)算，解析了蒙特卡洛估計(jì)法的采樣矩陣生成方法。

(3)利用Sobol’全局靈敏度分析方法對機(jī)床空間誤差建模進(jìn)行計(jì)算，通過仿真計(jì)算分析，從21項(xiàng)幾何誤差元素中篩選出12項(xiàng)關(guān)鍵幾何誤差元素，誤差元素項(xiàng)簡化率為48%；使用關(guān)鍵幾何誤差元素建立的機(jī)床空間誤差模型仍具有較高的預(yù)測準(zhǔn)確性，殘差保持在±0.05 mm以內(nèi)，說明作者所提出建模方法與關(guān)鍵幾何誤差元素篩選方法是準(zhǔn)確、有效的，為空間誤差模型簡化、誤差元素辨識以及誤差補(bǔ)償提供理論支撐。