新型三平移2PPPa并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)分析與優(yōu)化設(shè)計

彭紅梅， 陳亞，陸彩滿，劉艷梨，吳洪濤

(1.江蘇安全技術(shù)職業(yè)學(xué)院機械工程系，江蘇徐州 221011；2.南京航空航天大學(xué)機電學(xué)院，江蘇南京 210016)

0 前言

少自由度并聯(lián)機構(gòu)因具有結(jié)構(gòu)簡單、制造成本低、控制容易、實用性強的特點，一直是并聯(lián)機器人領(lǐng)域的研究熱點。與六自由度并聯(lián)機器人機構(gòu)相比，少自由度并聯(lián)機構(gòu)具有更高的實際工程應(yīng)用價值。應(yīng)用最廣泛的空間三維純移動并聯(lián)機構(gòu)是Delta機器人。Delta機器人成功應(yīng)用于并聯(lián)機床、工業(yè)分揀、3D打印等眾多領(lǐng)域。

國內(nèi)外學(xué)者針對三維純移動并聯(lián)機構(gòu)研究內(nèi)容主要包括運動學(xué)分析、動力學(xué)分析、控制設(shè)計、構(gòu)型綜合、尺度綜合、性能分析等。文獻[5]中對一種T形軸鉸鏈Delta三平動并聯(lián)機構(gòu)進行系統(tǒng)研究，根據(jù)最小支路位移參數(shù)特性綜合出一批三維純移動的并聯(lián)機構(gòu)，優(yōu)選出一種新型T形軸鉸鏈的Delta并聯(lián)機器人機構(gòu)，同時建立機構(gòu)運動學(xué)模型和速度模型。文獻[6]中提出基于靈巧性的一種新型3-PUU并聯(lián)機器人，根據(jù)運動學(xué)方程計算得到機構(gòu)運動學(xué)逆解與機構(gòu)速度雅克比矩陣，基于運動靈巧性進行尺度綜合分析，優(yōu)化后得到的設(shè)計參數(shù)為構(gòu)型設(shè)計提供理論參考依據(jù)。文獻[7]中提出一種三平動非對稱冗余驅(qū)動(3-S2PS )并聯(lián)機床機構(gòu)，建立運動學(xué)方程；基于此，利用邊界數(shù)值搜索法分析工作空間，利用曲線擬合的方法確定桿長和動平臺的位置姿態(tài)關(guān)系。文獻[8]中設(shè)計三維純移動的并聯(lián)機器人機構(gòu)，根據(jù)單開鏈驗證其運動特性，計算其位置分析的正、逆解析解，同時分析機構(gòu)的輸入輸出運動解耦性。文獻[9]中基于機器人機構(gòu)結(jié)構(gòu)綜合理論設(shè)計三自由度正交并聯(lián)機器人機構(gòu)，并建立運動學(xué)方程模型得到運動正解、逆解解析式。文獻[10]中為解決并聯(lián)機構(gòu)耦合所帶來的控制困難，設(shè)計一種新型具有三維移動解耦、運動副簡單且完全各向同性的三維移動并聯(lián)機構(gòu)，支鏈呈正交對稱分布，通過螺旋理論驗證機構(gòu)的運動性質(zhì)和自由度，推導(dǎo)出運動學(xué)方程正逆解解析式，最后分析機構(gòu)的工作空間、靈巧度等操作性能。文獻[11]中提出一種新型的2RRPaR+PPaP三維純移動并聯(lián)機構(gòu)，基于運動特性和結(jié)構(gòu)設(shè)計完成位置運動學(xué)分析，同時兼顧工作空間和全局靈巧度的優(yōu)化目標(biāo)，選擇差分進化算法搜索得到最優(yōu)化參數(shù)，通過算例分析驗證優(yōu)化算法的可靠性。

以拓撲結(jié)構(gòu)綜合理論作為理論依據(jù)，設(shè)計一種結(jié)構(gòu)簡單、構(gòu)型對稱、運動解耦的空間三平移并聯(lián)機器人機構(gòu)，利用結(jié)構(gòu)布置特點建立運動學(xué)方程模型，推導(dǎo)得到運動學(xué)正逆解解析式，采用數(shù)值搜索法三維可視化分析操作空間性能；同時在研究機構(gòu)奇異性的基礎(chǔ)上，研究工作空間內(nèi)的全局靈巧度，并繪制靈巧度性能圖譜；根據(jù)實際設(shè)計需求，選擇螢火蟲算法實現(xiàn)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，并根據(jù)優(yōu)化后的最優(yōu)參數(shù)值進行算例分析，驗證算法的有效性。

1 并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)分析

1.1 機構(gòu)設(shè)計

對稱2PPPa并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖和三維模型分別如圖 1、圖2 所示，機構(gòu)由兩條完全相同且對稱分布的支鏈構(gòu)成，支鏈結(jié)構(gòu)1⊥2⊥(=1,2)， 其中表示移動副，表示平行四邊形機構(gòu)，且要求1與2移動方向互相垂直。移動副1與2為機構(gòu)的主動副，因此，機構(gòu)存在4個主動副，設(shè)定主動副的位移表示為(,,,)，靜平臺的內(nèi)切圓半徑用表示，動平臺內(nèi)切圓半徑半徑用表示，平行四邊形的長邊桿長用表示，短邊長用表示，另外平行四邊形的長邊桿和短邊桿構(gòu)成的夾角為。

圖1 機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖 圖2 機構(gòu)的三維模型

1.2 機構(gòu)的拓撲特性分析

對稱2PPPa并聯(lián)機構(gòu)支鏈拓撲結(jié)構(gòu)為1⊥2⊥(=1,2)，利用方位特征方程分析理論計算每條支鏈方位特征集b：

(1)

(1)支鏈1、2構(gòu)成獨立運動回路，構(gòu)成的位移方程數(shù)

(2)

(2)并聯(lián)機構(gòu)的POC集

(3)

(3)計算機構(gòu)的自由度：

(4)

(4)支鏈的約束度分析，獨立回路的獨立位移方程數(shù)為3，根據(jù)機構(gòu)結(jié)構(gòu)設(shè)計，主動副和任何時候都必須相同，因此主動副數(shù)目為3，因此，SOC的約束度

(5)

計算得到2PPPa并聯(lián)機構(gòu)耦合度：

(6)

根據(jù)拓撲結(jié)構(gòu)分析可得：機構(gòu)的自由度為3且能實現(xiàn)空間純移動，機構(gòu)的耦合度為0，機構(gòu)運動具有完全解耦合性，機構(gòu)的運動學(xué)正解分析相對簡單，且存在表達式，因此，機構(gòu)的控制設(shè)計、動力學(xué)分析相對較簡單。

2 位置分析

2.1 位置正解分析

已知機構(gòu)主動副(,,,)，計算得到機構(gòu)的位置輸出 (,,)。根據(jù)動平臺的位置輸出(,,)，根據(jù)平移轉(zhuǎn)換原理，得到坐標(biāo)(-,,)、(+,,)。已知的坐標(biāo)為(-,,0)、(,,0)。同理得到的坐標(biāo)(-,,)、(,,)。根據(jù)平行四邊形的桿長及其夾角，得到坐標(biāo)[-+sin(),,-cos()]、[-sin(),,-cos()]。根據(jù)的兩種不同的坐標(biāo)表達式聯(lián)立方程，得到如下等式：

(7)

整合上述等式，推導(dǎo)得到機構(gòu)的正解表達式：

(8)

2.2 位置逆解分析

機構(gòu)的逆解計算利用等式(7)進行推導(dǎo)，推導(dǎo)公式如下：

(9)

3 奇異分析

3.1 機構(gòu)雅克比矩陣

(10)

(11)

其中:為逆雅克比矩陣;為正雅克比矩陣。

若非奇異，則

(12)

若非奇異，則

(13)

3.2 逆解奇異性分析

機構(gòu)逆解奇異條件為

(14)

令det()=0，即=或=，因此，存在以下兩種情況:情況一，支鏈1的平行四邊形長邊桿與靜平臺平行，此情況如圖3(a)所示；情況二，支鏈2的平行四邊形長邊桿與靜平臺平行，此情況如圖3(b)所示。運動過程中應(yīng)避免運動到極限位置，即工作空間邊界位置。

圖3 機構(gòu)逆解奇異

3.3 正解奇異性分析

(15)

正解奇異滿足條件如等式(15)所示，det()=(-)(-)=0，令det()=0的條件是=或{=0,+=2}。情況一：=，支鏈1驅(qū)動副()位移和支鏈2驅(qū)動副()移動位移相同，如圖4(a)所示。情況二： {=0,+=2}，此情況下支鏈1位移和支鏈2驅(qū)動副移動位移關(guān)于動平臺對稱，如圖4(b)所示。

圖4 機構(gòu)正解奇異

4 工作空間分析

4.1 工作空間約束條件

工作空間作為衡量并聯(lián)機構(gòu)操作性能優(yōu)劣的重要性能指標(biāo)，一般在利用機構(gòu)運動學(xué)逆解分析的基礎(chǔ)上采用數(shù)值法可視化分析形狀和大小。機構(gòu)的工作空間約束條件如下所示：

(16)

4.2 工作空間可視化分析

在上一節(jié)逆解分析基礎(chǔ)上，選擇極限搜索法對機構(gòu)的工作空間進行可視化分析形狀和大小。選擇一組參數(shù)值，靜平臺半徑=1.2 m，動平臺半徑=0.5 m,平行四邊形的長邊桿長=1 m，短邊長=0.3 m，驅(qū)動副移動距離=1.2 m、垂直驅(qū)動距離=0.8 m。

由圖5分析可得：機構(gòu)工作空間形狀均勻?qū)ΨQ分布，且無空洞情況，沿著和的投影均為長方形，而沿著投影面類似于“三角形”，工作空間較大。

圖5 2PPPa機構(gòu)工作空間三維圖

5 并聯(lián)機構(gòu)運動靈巧性分析

靈巧度是評價機構(gòu)運動性能優(yōu)劣的性能指標(biāo)。采用極值法分析工作空間內(nèi)不同位置下的運動靈巧度，通過圖形可視化分析不同位置點的運動性能。圖6為機構(gòu)的靈巧度分布，圖7是不同高度下工作空間內(nèi)的靈巧度。

圖6 可達工作空間的運動靈巧度分布

圖7 不同高度下運動靈巧度分布

由圖6、圖7分析發(fā)現(xiàn)：機構(gòu)靈巧度整體較大，工作空間中間區(qū)域最大可達0.7，工作空間邊界區(qū)域的靈巧度較低；而且，隨著的增加，運動靈巧度較高區(qū)域占整個截面面積比例增加。

6 并聯(lián)機構(gòu)優(yōu)化

6.1 模型優(yōu)化的建立和算法選擇

在機構(gòu)設(shè)計中，通常希望在滿足約束條件前提下具有較大的工作空間。合理設(shè)置尺寸參數(shù)有利于提高機構(gòu)的工作空間，因此，以工作空間體積作為目標(biāo)函數(shù)， 建立數(shù)學(xué)優(yōu)化模型Max{(,,,,)}如下：

(17)

針對上述非線性約束的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型問題，選擇螢火蟲算法進行參數(shù)優(yōu)化。該算法根據(jù)模擬螢火蟲的生活習(xí)性中閃光機制吸引、移動、合作行為來解決最優(yōu)問題。螢火蟲算法屬于以自然為靈感的啟發(fā)式優(yōu)化算法。該算法是繼遺產(chǎn)算法、粒子群等算法之后的新興智能優(yōu)化算法。優(yōu)化過程中選擇螢火蟲數(shù)量=50、步長因子=02、吸收因子=1、最大迭代次數(shù)=50。

6.2 優(yōu)化算例

根據(jù)上一節(jié)建立的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型和算法，采用MATLAB軟件進行編程，根據(jù)螢火蟲算法計算得到最佳目標(biāo)函數(shù)值隨進化代數(shù)變化曲線以及設(shè)計變量隨迭代次數(shù)的變化。

由圖8、圖9分析可得：優(yōu)化目標(biāo)最大值為2.035 m，最優(yōu)化對應(yīng)的尺寸參數(shù)、、、、分別是0.9、0.8、1.2、1、1 m。優(yōu)化所得體積較第4節(jié)中算例的工作空間體積增加了12%?；诖藚?shù)優(yōu)化后的工作空間三維圖如圖10所示。

圖8 最佳目標(biāo)函數(shù)值隨進化代數(shù)變化曲線 圖9 設(shè)計變量隨迭代次數(shù)的變化

分析圖10可得：優(yōu)化后的工作空間呈對稱分布，且結(jié)構(gòu)緊湊、邊界光滑、無空洞,具有較好的工作能力，且優(yōu)化后的工作空間顯著改善，優(yōu)化后機構(gòu)操作性能提高12%。因此，也驗證優(yōu)化模型的可靠性以及算法的有效性。

圖10 優(yōu)化后的工作空間

7 結(jié)論

(1)提出一種較大工作空間的三維純移動的2PPPa并聯(lián)機構(gòu)，機構(gòu)構(gòu)型簡單，結(jié)構(gòu)對稱分布，可用于工業(yè)包裝、分揀操作領(lǐng)域，具有較好的應(yīng)用前景。

(2)根據(jù)方位特征方程分析2PPPa機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)特性，驗證機構(gòu)的運動特性和自由度數(shù)目。計算得到機構(gòu)的自由度為3且能具有三維純移動的運動特性。耦合度分析表明機構(gòu)運動學(xué)較為簡單且正解具有解析式。

(3)通過機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特性建立機構(gòu)的運動學(xué)方程，分別得到位置正解、逆解表達式，同時分析工作空間、奇異性、靈巧度等性能指標(biāo)，分析結(jié)果表明：機構(gòu)具有較大且連續(xù)的操作空間、運動靈巧度。

(4)基于螢火蟲算法完成以最大化工作空間為目標(biāo)的參數(shù)優(yōu)化，結(jié)果表明：優(yōu)化后機構(gòu)操作性能提高12%，優(yōu)化后對應(yīng)的參數(shù)、、、、值分別為0.9、0.8、1.2、1、1 m。