3-PRS & 3P混聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)分析

全紅鵬，林光春，黃金月，梁建波，王韜略，廖勛寶

(1.四川大學(xué)機械工程學(xué)院，四川成都 610065；2.四川阿斯特醫(yī)療器械有限公司技術(shù)部，四川瀘州646100)

0 前言

混聯(lián)機構(gòu)兼具串聯(lián)機構(gòu)和并聯(lián)機構(gòu)的優(yōu)點，具有承載能力強、剛度好、精度高、響應(yīng)快、工作范圍大等優(yōu)點，已被廣泛用于航天、醫(yī)療、工業(yè)、軍事等各個領(lǐng)域，具有良好的實用性能。

為了更好地運用混聯(lián)機構(gòu)，國內(nèi)外許多學(xué)者對其進行了研究。黃俊杰等提出用D-H法和圖形可視化相結(jié)合的方法對3-PRS并聯(lián)機構(gòu)進行正向運動學(xué)求解。史曉娟和王高洋將仿真逆解曲線以樣條驅(qū)動函數(shù)形式輸入給3-UPU并聯(lián)機構(gòu),得出樣條驅(qū)動函數(shù)下的位置正解曲線。張偉中等設(shè)計了一種新型四自由度并聯(lián)機構(gòu)，并采用螺旋理論分析了機構(gòu)的運動特性。崔馬茹等采用空間封閉矢量法求解3-URPR并聯(lián)機構(gòu)的位置逆解?？导惖瘸浞掷妹商乜宸椒ǖ碾S機性，可以找到3-PRS并聯(lián)機構(gòu)的所有位置正解。黃思等人采用雙參數(shù)數(shù)值延拓同倫算法求出正運動學(xué)的數(shù)值解。黃俊杰和趙俊偉運用遺傳算法并結(jié)合運動方程給出并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)位置正解適應(yīng)度函數(shù)和目標函數(shù)，將計算結(jié)果代入運動方程求出桿長。黃亮等人針對一種3SPS-3SRR并聯(lián)機構(gòu),運用符號法對該機構(gòu)進行位置分析。楊應(yīng)洪和尹顯明通過支鏈變異法,提出一種可滿足機床2R1T運動要求的2RPS-RPU并聯(lián)機構(gòu)，并對其進行了運動學(xué)分析。

本文作者提出了一種新型3-PRS & 3P混聯(lián)機構(gòu)，對混聯(lián)機構(gòu)進行自由度分析；然后對該混聯(lián)機構(gòu)進行機構(gòu)運動學(xué)逆解和正解分析，再通過數(shù)值算例進行驗證；最后討論了該混聯(lián)機構(gòu)動平臺2的運動范圍。通過以上分析，可以為后面分析該混聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)及其運動控制提供了一定的理論基礎(chǔ)。

1 機構(gòu)描述以及動、靜坐標系的建立

3-PRS & 3P混聯(lián)機構(gòu)主要由定平臺、動平臺1、動平臺2、滑塊1、滑塊2、滑塊3、支鏈1、支鏈2、支鏈3、支鏈4、支鏈5、支鏈6組成，如圖1所示。其中定平臺與動平臺1通過3個移動副連接，動平臺1與3個滑塊通過3個移動副連接，滑塊1、滑塊2、滑塊3分別與支鏈4、支鏈5、支鏈6通過3個轉(zhuǎn)動副連接，支鏈4、支鏈5、支鏈6與動平臺2通過3個球副連接。各鉸接點分別為：(=1,2,3)、(=1,2,3)、(=1,2,3) 、(=1,2,3) ，如圖1所示。且、、構(gòu)成一個邊長為的正三角形；、、構(gòu)成一個邊長為的正三角形；、、構(gòu)成一個邊長為的正三角形；、、構(gòu)成一個邊長為的正三角形。

圖1 3-PRS & 3P混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型

為3-PRS & 3P混聯(lián)機構(gòu)建立動、靜坐標系，如圖2所示，其中定平臺坐標系為-，動平臺1的坐標系為′-′′′，動平臺2的坐標系為″-″″″。(=1,2,3)在定坐標系下的方向高度為，(=1,2,3)在定坐標系下的方向高度為，(=1,2,3)在定坐標系下的方向高度為。

圖2 動、靜坐標系的建立

各鉸接點在定平臺坐標系-(初始位型)的坐標為

2 機構(gòu)自由度分析

如圖2所示，各支鏈的運動螺旋系均在定平臺坐標系-下表示。支鏈1的運動螺旋系為

=(0 0 0; 0 0 1)

(1)

對支鏈1求反螺旋，得到支鏈1的約束螺旋系為

(2)

對式(2)求二次反螺旋得

(3)

同理支鏈2和支鏈3的運動螺旋系與支鏈1的運動螺旋系是一樣的，所以支鏈2和支鏈3的約束螺旋系與支鏈1的也一樣。所以動平臺1受到5個約束，分別約束繞著軸、軸、軸的轉(zhuǎn)動和沿著軸和軸的移動。所以動平臺1只有一個沿著軸的移動自由度。

支鏈4的運動螺旋系為

(4)

式中:、、、為非零的有限實數(shù)。對支鏈4求反螺旋，得到支鏈4的約束螺旋為

(5)

式(5)表示過點且平行支鏈4轉(zhuǎn)動副軸線的約束力。

由于機構(gòu)具有對稱性，同理得支鏈5的約束反螺旋為

(6)

式(6)表示過點且平行支鏈5轉(zhuǎn)動副軸線的約束力。

同理支鏈6的約束反螺旋為

(7)

式(7)表示過點且平行支鏈6轉(zhuǎn)動副軸線的約束力。

對式(5)(6)(7)求二次反螺旋得：

(8)

(9)

其中:表示機構(gòu)的自由度;表示機構(gòu)的階數(shù)，它依賴于公共約束，=6-;表示機構(gòu)的構(gòu)件數(shù)(包括固定構(gòu)件);表示運動副數(shù)目;表示第個運動副的自由度;表示冗余約束;表示局部自由度。在該混聯(lián)機構(gòu)中=6、=9，運動副所含有的自由度為18(3+3+3+2×3)，冗余約束=10，局部自由度=0。所以機構(gòu)的自由度為：=6(9-12-1)+18+10-0=4。這與螺旋理論算出來的自由度一致。

3 機構(gòu)運動學(xué)分析

由于支鏈1、支鏈2、支鏈3只改變動平臺1的工作空間，因此這里運動學(xué)分析時，先假設(shè)它們固定不動，而只考慮支鏈4、支鏈5、支鏈6運動的情況，這樣就簡化了分析的難度，相當于分析3-PRS并聯(lián)機構(gòu)。后文再說明考慮了支鏈1、支鏈2、支鏈3運動時的情況。

3.1 機構(gòu)的逆解分析

混聯(lián)機構(gòu)逆解分析就是已知動平臺2中心″的位姿，求驅(qū)動桿長()(=1,2,3)的輸入量。設(shè)為球副所在平面的中心，繞著軸的轉(zhuǎn)角為，繞著軸的轉(zhuǎn)角為。

設(shè)動平臺2中心″在定平臺上的坐標=(,,)，(=1,2,3)在動平臺2的動坐標系下的坐標為(″,″,″)，則在定坐標系下的坐標表達式為·+(=1,2,3)。其中：

(10)

圖3 逆解分析模型

(11)

(=1,2,3)有兩組解，為了提高混聯(lián)機構(gòu)的剛度，統(tǒng)一取負號，即點從頂部向底部滑動。

3.2 機構(gòu)的正解分析

已知輸入桿長(=1,2,3)，求動平臺2的位姿。求解混聯(lián)機構(gòu)的正解是有一定難度，而一般構(gòu)型采用數(shù)值分析法進行求解。本文作者也采用數(shù)值分析法求解。已知移動驅(qū)動桿長的變化規(guī)律，則可以求出點的具體數(shù)值。點坐標表達式為:·+(=1,2,3)，這樣點坐標就含有未知參數(shù)、和。由于||=(=1,2,3)，則有

(12)

對式(12)，采用牛頓迭代法來求解該非線性方程組。其中，式(12)可以寫成

()=0，=(,,)，=(,,)。根據(jù)牛頓迭代法有：+1=-·，其中為雅可比矩陣：

給定輸入?yún)?shù)1、2、3，根據(jù)給定的初始向量進行迭代，最后得到符合精度要求的向量，即混聯(lián)機構(gòu)輸出位姿參數(shù)。初始向量的給定要符合機構(gòu)的近似解，不然在一定的精度要求下，可能得不到解。

4 數(shù)值實例驗證及其仿真

下面通過表1所示的混聯(lián)機構(gòu)具體的結(jié)構(gòu)參數(shù)，對機構(gòu)運動學(xué)的逆解模型和正解模型進行仿真和驗證。

表1 具體的結(jié)構(gòu)參數(shù)

其中:表示、、形成的正三角形邊長;表示動平臺2三個球副中心點形成的正三角形邊長;表示點(=1,2,3)到點(=1,2,3)的固定距離;表示點在定坐標系下的初始高度；表示點在定坐標系下的初始高度。

4.1 反解模型

給定動平臺2中心點″的運動規(guī)律如下：

(13)

在SolidWorks中建立混聯(lián)機構(gòu)三維模型，然后將其導(dǎo)入ADAMS中，如圖4所示，并將給定的運動規(guī)律添加到動平臺2中心點。其中在ADAMS中，添加的驅(qū)動為一般點驅(qū)動。

圖4 ADAMS虛擬樣機模型

逆解模型的仿真結(jié)果如圖5(a)所示。根據(jù)式(11)，利用MATLAB編程，并繪制出(=1,2,3)桿長變化曲線，如圖5(b)所示。

圖5 反解模型計算和仿真結(jié)果對比

從圖5(a)和圖5(b)可以看出:兩者(=1,2,3)變化曲線高度吻合，從而驗證了運動學(xué)反解模型的正確性。

4.2 正解模型

給定3個滑塊移動驅(qū)動運動規(guī)律如下：

(14)

在ADAMS中，給定3個滑塊的移動驅(qū)動，然后仿真求解動平臺2的位姿如圖6(a)、圖6(b)所示。根據(jù)式(12)，采用牛頓迭代法，在MATLAB中編程。其中，給定的初始值為(0 0 177.8),求解精度為1×10。繪制動平臺2位姿曲線如圖6(c)、圖6(d)所示。

圖6 正解模型計算和仿真結(jié)果對比

從圖6(a)和圖6(c)可以看出:兩者動平臺2中心點的位置變化曲線高度吻合；從圖6(b)和圖6(d)可以看出:兩者旋轉(zhuǎn)角度、變化曲線高度吻合，從而驗證了運動學(xué)正解模型的正確性。

5 混聯(lián)機構(gòu)動平臺2運動范圍分析

前面運動學(xué)分析都是基于支鏈1、支鏈2、支鏈3桿長保持固定不變，這樣做的目的是便于分析該混聯(lián)機構(gòu)的正解、逆解。但是，為了增加動平臺2的運動范圍，可以讓一個電機同時驅(qū)動支鏈1、支鏈2、支鏈3到達一定的高度保持不變，然后在這一高度下，再次進行混聯(lián)機構(gòu)的正解和逆解的分析，分析方式和前面一致，只是豎直方向的位移發(fā)生了變化而已。理論上，當只有支鏈1、支鏈2、支鏈3驅(qū)動，則該混聯(lián)機構(gòu)動平臺2中心點″豎直方向的位移可在71.57～221.57 mm內(nèi)變化。而前面的運動學(xué)分析，是動平臺2中心點″在定坐標系下，方向為177.80 mm(初始位型)下的正解、逆解而已。

當仍采用式(14)運動規(guī)律時，動平臺2運動范圍如圖7所示。可以看出：該混聯(lián)機構(gòu)的動平臺2具有較大的運動范圍，使該混聯(lián)機構(gòu)得到了最大化利用。

圖7 動平臺2運動范圍

6 結(jié)論

(2)通過余弦定理、空間坐標變換法和牛頓迭代法等建立該混聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)分析的逆解模型和正解模型，并在SolidWorks中建立該混聯(lián)機構(gòu)三維模型，再將其導(dǎo)入ADAMS中進行仿真驗證。驗證結(jié)果高度吻合，證明了混聯(lián)機構(gòu)逆解模型和正解模型的正確性。

(3)提出了一種3-PRS & 3P混聯(lián)機構(gòu)，并對其動平臺2的運動范圍進行了分析，分析結(jié)果表明：該混聯(lián)機構(gòu)動平臺2具有較大的運動范圍。