凸轉(zhuǎn)子定點(diǎn)共軛的極限輪廓構(gòu)造及輕量化分析

陳曦，劉嘉

(1.重慶化工職業(yè)學(xué)院，重慶 401220；2.太原工業(yè)學(xué)院機(jī)械工程系，山西太原 030008)

0 前言

凸轉(zhuǎn)子泵是利用兩個(gè)相同凸轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所產(chǎn)生的進(jìn)口真空吸力，將介質(zhì)輸送到出口的一類容積泵，應(yīng)用廣泛。其中，轉(zhuǎn)子副廣義上分為接觸式(如齒輪泵)和非接觸式(如羅茨泵)兩類，轉(zhuǎn)子的容積利用系數(shù)是衡量該類泵輕量化效果、流量脈動(dòng)性能的最重要指標(biāo)之一，如形狀系數(shù)越大，容積利用系數(shù)(≈1-1/)越大，泵的單位體積排量就越大，額定排量下的“轉(zhuǎn)子體積/質(zhì)量∝1/”就越低，即輕量化效果越好。對(duì)于具有頂偏心圓弧過(guò)渡的常見(jiàn)普通轉(zhuǎn)子，其形狀系數(shù)由轉(zhuǎn)子輪廓中共軛段的形狀直接決定。其中，共軛段由節(jié)圓外共軛段和節(jié)圓內(nèi)共軛段兩部分組成；由普通轉(zhuǎn)子經(jīng)高形化改進(jìn)后得到的高形轉(zhuǎn)子，其轉(zhuǎn)子形狀系數(shù)可進(jìn)一步提高。針對(duì)共軛段所采用的不同曲線類型，目前雖然已有各自最大形狀系數(shù)的通用判據(jù)及計(jì)算方法，但是并沒(méi)有解決共軛段為何曲線類型時(shí)能取得所有曲線類型中的極限形狀系數(shù)問(wèn)題。為此，旨在由內(nèi)共軛段收縮為一定點(diǎn)時(shí)的輪廓構(gòu)造條件，直接計(jì)算出轉(zhuǎn)子能取得的該極限形狀系數(shù)，并由此確定出外共軛段的曲線方程，并針對(duì)其高形化應(yīng)用作進(jìn)一步研究。

1 內(nèi)外共軛段形狀隨形狀系數(shù)的變化規(guī)律

在現(xiàn)有普通轉(zhuǎn)子中，漸開(kāi)線轉(zhuǎn)子具有較大的形狀系數(shù)。以三葉漸開(kāi)線普通轉(zhuǎn)子為例，1.20、1.35、1.46三種形狀系數(shù)下的半葉外共軛段和內(nèi)共軛段，如圖1中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ所示。其中，其極限形狀系數(shù)為1.46，由于漸開(kāi)線構(gòu)造原理上的特殊性，外共軛段和內(nèi)共軛段為一條完整的漸開(kāi)線段。

圖1 共軛輪廓段間的雙對(duì)稱關(guān)系

設(shè)轉(zhuǎn)子中心為，節(jié)圓半徑為，轉(zhuǎn)子葉的峰、谷對(duì)稱軸與節(jié)圓的交點(diǎn)分別為峰節(jié)點(diǎn)、谷節(jié)點(diǎn)，間節(jié)圓弧的圓心角為2=π/，為轉(zhuǎn)子葉數(shù)，中軸為峰、谷對(duì)稱軸間的角平分軸，且中軸過(guò)節(jié)點(diǎn)，葉頂部、谷部采用圓心為峰節(jié)點(diǎn)、谷節(jié)點(diǎn)的過(guò)渡圓弧段，即為最常見(jiàn)的普通轉(zhuǎn)子。此時(shí)轉(zhuǎn)子頂過(guò)渡圓弧面(圓心非)與泵殼內(nèi)腔圓弧面(圓心為)形成的徑向間隙為非等間隙，徑向泄漏較大。

圖1中，設(shè)點(diǎn)、為節(jié)圓上關(guān)于中軸對(duì)稱的2個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)圓心角為，0≤≤，點(diǎn)、在漸開(kāi)線段上的法向垂足分別為點(diǎn)、。

由兩相同轉(zhuǎn)子間的共軛原理，知、的連線具有相同的長(zhǎng)度,設(shè)為();連線與連線間、連線與連線間具有相同的夾角,設(shè)為()。

此時(shí)顯然連線關(guān)于中軸的對(duì)稱線為′連線；連線關(guān)于節(jié)圓切線′的對(duì)稱線也為′連線，即連線和連線具有先關(guān)于點(diǎn)處節(jié)圓切線互為對(duì)稱和后關(guān)于中軸互為對(duì)稱的幾何關(guān)系。利用這種關(guān)系的輪廓構(gòu)造方法稱為雙對(duì)稱構(gòu)造法，如圖1所示。

在圖1所示坐標(biāo)系下，外共軛段和內(nèi)共軛段的坐標(biāo)方程(0≤≤)分別為

(1)

(2)

式中:(,)、(,)分別為圖1中外共軛段、內(nèi)共軛段上點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)。

由外共軛段和內(nèi)共軛段在1.20、1.35、1.46三種形狀系數(shù)下的變化規(guī)律，知越大，內(nèi)共軛段向節(jié)點(diǎn)逐步收縮聚集的趨勢(shì)越大，當(dāng)收縮匯聚為節(jié)點(diǎn)時(shí)，稱之為定點(diǎn)共軛。相應(yīng)地，應(yīng)取得普通轉(zhuǎn)子各種曲線類型下的極限形狀系數(shù)，否則，將因內(nèi)共軛段位于節(jié)圓外，不能形成轉(zhuǎn)子副正確的共軛幾何關(guān)系，如圖2所示。

圖2 內(nèi)共軛輪廓段的幾何干涉

2 定點(diǎn)共軛普通轉(zhuǎn)子的輪廓構(gòu)造及形狀系數(shù)

圖1中當(dāng)內(nèi)共軛段收縮匯聚為節(jié)點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的普通轉(zhuǎn)子半葉輪廓如圖3所示。此時(shí)，由等腰△的幾何關(guān)系得:

(3)

將式(3)代入式(1)，則外共軛段在圖3所示下的坐標(biāo)方程為

圖3 定點(diǎn)共軛普通轉(zhuǎn)子的輪廓構(gòu)造

(4)

將=代入式(3)，得定點(diǎn)共軛普通轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)為

(5)

由文獻(xiàn)[12]容積利用系數(shù)計(jì)算式的進(jìn)一步推導(dǎo)，得定點(diǎn)共軛普通轉(zhuǎn)子的容積利用系數(shù)為

(6)

三葉下的驗(yàn)證如圖4所示。其中，驗(yàn)證采用UGNX軟件中的面積測(cè)量工具。

圖4 三葉定點(diǎn)共軛普通轉(zhuǎn)子模型

由圖4測(cè)量出：

(7)

式(7)結(jié)果與式(5)—式(6)完全一致，說(shuō)明式(1)—式(6)正確。

漸開(kāi)線普通轉(zhuǎn)子的最大形狀系數(shù)及其最大容積利用系數(shù)分別為

(8)

由式(8)知二、三、四葉定點(diǎn)共軛普通轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)與普通轉(zhuǎn)子相比分別提高了9.13%、3.68%和1.81%，容積利用系數(shù)分別提高了8.06%、5.38%和3.72%。

3 定點(diǎn)共軛高形轉(zhuǎn)子的輪廓構(gòu)造及形狀系數(shù)

為充分控制定點(diǎn)共軛普通轉(zhuǎn)子頂部的徑向泄漏和緩解排氣側(cè)壓縮反沖現(xiàn)象對(duì)該徑向泄漏的影響，可采用如圖5所示的定點(diǎn)共軛結(jié)合頂同心圓弧段的高形輪廓構(gòu)造，與相共軛的谷圓弧段為。其中，頂同心圓弧段、谷圓弧段的圓心均為轉(zhuǎn)子中心，半徑為、(2-)，圓心角均為頂封角，因能大幅度提高普通轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)，故稱之為定點(diǎn)共軛高形轉(zhuǎn)子。

圖5 定點(diǎn)共軛高形轉(zhuǎn)子的輪廓構(gòu)造

圖5中，取對(duì)應(yīng)于>的節(jié)圓點(diǎn)為，并由控制的變化上限。

根據(jù)等腰△的三角幾何關(guān)系，邊的長(zhǎng)度和角∠分別為

(9)

由△中的幾何關(guān)系，得邊的長(zhǎng)度和角∠分別為

(10)

由轉(zhuǎn)子與配對(duì)轉(zhuǎn)子完全相同和轉(zhuǎn)子副旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的輪廓點(diǎn)恰好避讓配對(duì)轉(zhuǎn)子上的輪廓點(diǎn)的輪廓構(gòu)造，得=及∠=π-2∠，即∠=∠+ ∠=π-∠。

聯(lián)立式(9)和(10)，得定點(diǎn)共軛高形轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)和頂封角分別為

(11)

再由容積利用系數(shù)計(jì)算式進(jìn)一步推導(dǎo)，得定點(diǎn)共軛高形轉(zhuǎn)子的容積利用系數(shù)為

(12)

其中，=3下()、()、()的變化規(guī)律如表1所示。

表1 高形轉(zhuǎn)子形狀系數(shù)和頂封角及容積利用系數(shù)

以三葉=55.9°的定點(diǎn)共軛高形轉(zhuǎn)子為例，其模型如圖6所示。此時(shí)形狀系數(shù)=1.660 6、容積利用系數(shù)=0.604 5，相較于定點(diǎn)共軛普通轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)=1.517 6、容積利用系數(shù)=0.526 7，高形轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)再提高9.42%，容積利用系數(shù)再提高14.77%。相較于具有上限形狀系數(shù)的三葉漸開(kāi)線普通轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)=1.463 8、容積利用系數(shù)=0.499 8，形狀系數(shù)總提高13.44%，容積利用系數(shù)總提高20.95%。

圖6 三葉定點(diǎn)共軛高形轉(zhuǎn)子模型

由圖6測(cè)量出:

(13)

結(jié)果與表1完全一致，說(shuō)明式(9)—式(12)正確。

采用前述雙對(duì)稱構(gòu)造法，得與點(diǎn)共軛的節(jié)圓外輪廓段的坐標(biāo)方程(0≤≤)，形式上與式(4)完全相同。其中，節(jié)圓外輪廓段內(nèi)0≤≤部分為對(duì)應(yīng)于節(jié)點(diǎn)的共軛段，≤≤部分為對(duì)應(yīng)于節(jié)點(diǎn)的避讓段，如圖5所示。

采用前述雙對(duì)稱構(gòu)造法，得與點(diǎn)避讓共軛的內(nèi)輪廓段在-≤≤內(nèi)的坐標(biāo)方程為

(14)

其中:

(15)

式中:(,)為圖5中段上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)坐標(biāo)；()為線段的長(zhǎng)度；()為線段與線段間夾角。

4 定點(diǎn)共軛高形轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)區(qū)間內(nèi)多密封點(diǎn)位

高形轉(zhuǎn)子副在共軛旋轉(zhuǎn)的不同角度區(qū)間內(nèi)，將會(huì)出現(xiàn)如圖7所示的不同密封點(diǎn)位。其中，為以主轉(zhuǎn)子谷對(duì)稱軸與從轉(zhuǎn)子峰對(duì)稱軸重合時(shí)為起始位置的旋轉(zhuǎn)角，則0≤<、=、≤<-、=-、-≤<內(nèi)將分別有5、4、3、2、1個(gè)的密封點(diǎn)位。

圖7 轉(zhuǎn)子副不同區(qū)間內(nèi)的密封點(diǎn)位數(shù)

以三葉=55.9°為例，相對(duì)于0<<內(nèi)僅有1個(gè)密封點(diǎn)位的普通轉(zhuǎn)子，多密封點(diǎn)位區(qū)間占比-1=86.3%，共軛泄漏更小，加上葉頂2=8°的徑向等縫隙密封，徑向泄漏會(huì)更小。

對(duì)于像羅茨泵/風(fēng)機(jī)用的凸轉(zhuǎn)子多采用非高速氣體介質(zhì)，因轉(zhuǎn)子間存在較大的非接觸間隙，多密封點(diǎn)位不會(huì)形成類似齒輪泵的困油現(xiàn)象，或者這種現(xiàn)象很輕微。但是，對(duì)于液體介質(zhì)會(huì)形成類似齒輪泵的困油現(xiàn)象，可采用如圖8所示的替代圓弧來(lái)消除多密封點(diǎn)位。此時(shí)，半葉輪廓更簡(jiǎn)單，加工更容易。

圖8 節(jié)圓內(nèi)替代圓弧

5 結(jié)論

(1)內(nèi)共軛段匯聚為輪廓節(jié)點(diǎn)時(shí)的定點(diǎn)共軛普通轉(zhuǎn)子，具有各種共軛輪廓曲線下極限的形狀系數(shù)和容積利用系數(shù)，如三葉時(shí)2個(gè)參數(shù)分別為1.52和0.53。

(2)定點(diǎn)共軛的高形化構(gòu)造可進(jìn)一步取得更大的形狀系數(shù)和容積利用系數(shù)，例如4°頂封角時(shí)2個(gè)參數(shù)分別為1.66和0.6。

(3)高形化構(gòu)造將形成2～5個(gè)密封點(diǎn)位及86.3%的區(qū)間占比，能有效減少氣體介質(zhì)的共軛泄漏。

(4)節(jié)圓內(nèi)替代圓弧能有效消除液體介質(zhì)的困油現(xiàn)象，且輪廓更簡(jiǎn)單，加工更容易。