具有符號式位置正解的2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)分析與尺度綜合

陳亞,彭紅梅,劉艷梨,吳洪濤

(1.江蘇安全技術(shù)職業(yè)學(xué)院機(jī)械工程系，江蘇徐州 221011；2.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院,江蘇南京 210016)

0 前言

少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)因具有結(jié)構(gòu)、控制簡單,制造成本低,精度高等優(yōu)點而備受學(xué)者關(guān)注。其中研究較多的是三維純平移和三維純轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)，對二維移動一維轉(zhuǎn)動(2T1R)空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究較少。2T1R空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)可通過調(diào)整姿態(tài)角快速地完成拾取物品操作，具有很好的運動靈活性。2T1R空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)在醫(yī)療器械、物料分揀等應(yīng)用領(lǐng)域具有較好的應(yīng)用前景。

關(guān)于2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究，吉昊等人提出一種可應(yīng)用于腳踝按摩儀領(lǐng)域的2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)，根據(jù)計算得到的方位特征集、自由度、耦合度驗證運動特性，通過序單開鏈的運動學(xué)建模方法計算得到位置正解和逆解的解析式，仿真分析其工作空間和轉(zhuǎn)動能力、奇異性等特性。沈惠平等針對并聯(lián)機(jī)構(gòu)誤差分析、動力學(xué)分析、運動軌跡規(guī)劃分析復(fù)雜的問題，提出2種具有解析式位置正解且運動解耦的2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)，分別對這2種機(jī)構(gòu)建模進(jìn)行運動學(xué)和性能分析，對比分析優(yōu)選出最佳性能的機(jī)型。張彥斌等設(shè)計了一種弱耦合空間三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu),采用方位特征集分析機(jī)構(gòu)的運動特性，同時建立機(jī)構(gòu)的正逆解方程，在此基礎(chǔ)上分析機(jī)構(gòu)的奇異性，并分類分析研究。鄧嘉鳴等基于方位特征方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計理論與方法，提出一種無寄生運動非對稱空間2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)，對機(jī)構(gòu)的拓?fù)涮匦赃M(jìn)行了分析，基于序單開鏈法的運動學(xué)原理得到機(jī)構(gòu)正逆解，同時研究了機(jī)構(gòu)的工作空間、奇異位形、轉(zhuǎn)動能力等工作性能。黃勇剛和黃茂林根據(jù)螺旋理論與集合論原理,基于動平臺所受約束與支鏈約束之間的關(guān)系,分析平面機(jī)構(gòu)無過約束構(gòu)型條件，綜合出一批無過約束平面2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)。張彥斌等設(shè)計一種完全各向同性的三自由度空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過調(diào)整支鏈的排列關(guān)系，演化出另外2種新型整周旋轉(zhuǎn)(360)的2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)，最后根據(jù)螺旋理論完成自由度分析以及求解出機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正逆解。劉偉和劉宏昭基于位移流形理論，綜合出具有2T1R與2R1T2種運動模式的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過螺旋理論研究不同運動模式下的自由度特征。鄒建星等設(shè)計一種兩平移一轉(zhuǎn)動(2TIR)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，對機(jī)構(gòu)的拓?fù)湫阅苓M(jìn)行分析，證明機(jī)構(gòu)的運動性質(zhì)，建立運動學(xué)方程推導(dǎo)得到位置逆解解析式，分析工作空間和轉(zhuǎn)動能力等性能指標(biāo)。

本文作者利用方位特征方程(Position and Orientation Characteristics，POC)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計理論與方法，提出一種具有解析式位置正解且部分運動解耦的2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)。分析機(jī)構(gòu)的主要拓?fù)涮匦?由于耦合度為零，推導(dǎo)出運動位置正解與逆解的解析式；研究了機(jī)構(gòu)的工作空間形狀和大小及奇異性存在條件；以給定的工作空間指標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的約束條件，建立工作空間最小化的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化得到一組最佳參數(shù)解，為后期的軌跡規(guī)劃、動力學(xué)分析奠定理論基礎(chǔ)。

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析

1.1 機(jī)構(gòu)設(shè)計及坐標(biāo)系的建立

如圖1所示為2T1R機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖,支鏈1由1個平面五桿閉回路和1個轉(zhuǎn)動副串聯(lián)而成，、、軸線相互平行且垂直于，移動副、的移動方向一致，軸線與平行。支鏈2由一個平行四邊形機(jī)構(gòu)和一個副、轉(zhuǎn)動副構(gòu)成，其中，副與副互相平行。副的移動方向和移動副一致。圖2所示為2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型。

圖1 2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

圖2 2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型

在靜平臺上建立坐標(biāo)系{-}，其中軸與移動副所安裝的邊平行，與移動方向垂直。軸垂直于靜平臺，該機(jī)構(gòu)以主動移動副的位置作為獨立的輸入?yún)?shù)，用(,,)表示，輸出參數(shù)為(,,)，即動平臺的位姿，具體參數(shù)如表1所示。

表1 參數(shù)描述

1.2 機(jī)構(gòu)動平臺POC分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性分析方法見文獻(xiàn)[13]，具體計算過程如下：

(1)首先選定動平臺上任意一點，作為動平臺上基準(zhǔn)點。

(2)其次，需要得到每條支路的POC集，其中機(jī)構(gòu)存在3條支路，第一條支路的POC集為

(1)

其中:，且移動副，移動方向與轉(zhuǎn)動副垂直。因此，

(2)

同理，第2條支路的POC集為

(3)

第3條支路的POC集為

(4)

其中，副可以衍生成副和副，因此，

(5)

(3)建立方位特征方程可得：

(6)

(4)需要得到每一條回路獨立位移方程數(shù)，該機(jī)構(gòu)存在2條回路，確定第一個獨立回路的獨立位移方程數(shù),由下式可得：

(7)

(8)

(5)確定第2個獨立回路的獨立位移方程數(shù)。

(9)

(6)確定機(jī)構(gòu)的方位特征集。

(10)

(7)計算自由度，過程如下：

(11)

(8)根據(jù)上面的分析過程，=3，=5，計算約束度可得：

(12)

(9)基本運動鏈的耦合度計算如下：

(13)

綜上所述，計算得到運動鏈的耦合度為0，說明機(jī)構(gòu)的運動學(xué)比較簡單，且機(jī)構(gòu)的正解存在解析式，運動學(xué)與動力學(xué)可單獨求解，有利于機(jī)構(gòu)的控制軌跡規(guī)劃。

2 機(jī)構(gòu)的位置分析

2.1 機(jī)構(gòu)位置正解分析

機(jī)構(gòu)位置正解是指已知輸入位移(,,),得到機(jī)構(gòu)動平臺的位置姿態(tài)(,,)。設(shè)置作為動平臺參考點，由于△為等腰三角形，根據(jù)結(jié)構(gòu)參數(shù)和運動副分布，可得以下特征參數(shù)方程：

(14)

式(14)聯(lián)立得到的表達(dá)式：

(15)

根據(jù)坐標(biāo)可得到在軸上的坐標(biāo)：

=+sin

(16)

由于平行四邊行機(jī)構(gòu)的桿長不變，存在以下等式關(guān)系：

(17)

因此，分離變量可得到參數(shù)的表達(dá)式

(18)

根據(jù)式(15)、式(18)即可解出姿態(tài)角參數(shù)和各2個,機(jī)構(gòu)正解表達(dá)式簡單，機(jī)構(gòu)的正解有4組。

2.2 機(jī)構(gòu)位置逆解分析

位置逆解分析是指已知機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和末端執(zhí)行器的位姿，求解主動關(guān)節(jié)的位置，即已知(,,)，求解(,,)。根據(jù)上述正解分析過程等式(14)，可以得到機(jī)構(gòu)的、逆解表達(dá)式：

(19)

(20)

通過等式(17)可推導(dǎo)出機(jī)構(gòu)主動關(guān)節(jié)位置的表達(dá)式：

(21)

以上主動移動副機(jī)構(gòu)存在4組位置逆解。

2.3 正逆解驗證

給定一組機(jī)構(gòu)參數(shù)驗證運動學(xué)位置分析的準(zhǔn)確性，選擇參數(shù)=0.5 m、=1 m、=1.5 m,根據(jù)MATLAB計算得到位置正解數(shù)值(見表2);根據(jù)公式(19)—式(21)，隨機(jī)代入數(shù)值得到機(jī)構(gòu)位置逆解數(shù)值,結(jié)果如表3所示。

表2 機(jī)構(gòu)的位置正解數(shù)值

表3 機(jī)構(gòu)的位置逆解數(shù)值

根據(jù)表2、表3中的數(shù)值解可以發(fā)現(xiàn)：位置正逆解能夠相互對應(yīng)，驗證了分析得到的位置正逆解的可靠性。

3 奇異分析

3.1 機(jī)構(gòu)雅克比矩陣

(22)

(23)

其中:為逆雅克比矩陣;為正雅克比矩陣。

若非奇異，則

(24)

若非奇異，則

(25)

3.2 逆解奇異性分析

機(jī)構(gòu)逆解奇異存在條件為det()=0且det()≠0，整理可得：det()=2(+)(-)，使得det()=0的條件是=-或=。

因此，存在以下2種情況：

圖3 位置逆解奇異

3.3 正解奇異性分析

正解奇異情況具體如下：

圖4 位置正解奇異

4 機(jī)構(gòu)的工作空間分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間是指動平臺參考點所能夠達(dá)到的位置集合。針對工作空間采用極坐標(biāo)搜索法實現(xiàn)工作空間圖形化分析。判斷是否是工作空間內(nèi)點的條件是所有輸入位移(,,)是否滿足取值范圍要求，是則為工作空間內(nèi)的點。以下圖形化分析均根據(jù)表4中的尺寸參數(shù)進(jìn)行求解。

表4 機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)

由圖5可知：搜索得到的工作空間圖形狀為對稱的規(guī)則形狀，呈現(xiàn)對稱腰狀圖，工作空間邊界光滑飽滿、無空洞情況。

圖5 2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間

5 結(jié)構(gòu)參數(shù)對工作空間的影響

參數(shù)大小選擇會直接影響到工作空間的大小。作為并聯(lián)機(jī)構(gòu)重要性能指標(biāo)，研究結(jié)構(gòu)參數(shù)和工作空間大小的影響關(guān)系可用于指導(dǎo)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用設(shè)計。、、、對工作空間大小的影響關(guān)系如圖6所示。

圖6 參數(shù)對工作空間大小的影響關(guān)系

分析圖6可知：各參數(shù)對并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的大小影響顯著，其中結(jié)構(gòu)參數(shù)對工作空間影響呈線性相關(guān)，隨著的增加工作空間反而減少；參數(shù)對工作空間影響呈先增加后減小的趨勢，當(dāng)∈[0.4,0.6]m，越大，工作空間體積越大，當(dāng)∈[0.6,1]m，越大，工作空間越??；參數(shù)對工作空間大小的影響趨勢和參數(shù)基本一致，∈[0.5,0.8]m，越大，工作空間體積越大，∈[0.8,1.1]m，越大，工作空間體積越小；而參數(shù)增加有利于提高工作空間體積，隨著參數(shù)增加，工作空間體積越大。

6 機(jī)構(gòu)給定工作空間優(yōu)化

在某種工況下需要滿足特定的工作空間，即給定工作空間區(qū)域，尺寸參數(shù)越大，越有利于工作空間的增加，但是并非越大越好，因此，需要優(yōu)化得到的是并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間且能包含給定工作空間的同時所對應(yīng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的最優(yōu)尺寸參數(shù)值最小。

6.1 優(yōu)化模型的建立

給定一個工作空間形狀的操作區(qū)域，以原點為中心，給定正方體邊長為1 m，優(yōu)化目標(biāo)為所求工作空間體積最小，約束條件為工作空間包含此正方體。建立此優(yōu)化目標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)，是要找到合適的約束條件，在約束條件下，采用優(yōu)化算法獲得最小的優(yōu)化結(jié)果。

優(yōu)化目標(biāo)為包含此正方體，且可達(dá)工作空間體積最小。假定從原點出發(fā)，均勻發(fā)射出射線，射線集合為{},穿過的給定正方體集合為{}，在某一組參數(shù)下，工作空間的邊界和射線的交點集合為{}，當(dāng)≥時，則為滿足包含要求。在滿足此約束的條件下，目標(biāo)函數(shù)值等于根據(jù)蒙特卡羅法計算出這組參數(shù)的工作空間體積，若不滿足則取一個較大的數(shù)作為該組參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)值。

(26)

(27)

其中：為一較大的正數(shù)，設(shè)定為比目標(biāo)函數(shù)值最大值大得多的數(shù)，取=100。

6.2 優(yōu)化算法的選擇與優(yōu)化結(jié)果

參數(shù)優(yōu)化算法有很多，選擇天牛群優(yōu)化(Beetle Swarm Optimization，BSO)算法進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化。天牛群優(yōu)化算法是2017年發(fā)表的天牛須搜索算法的改進(jìn)算法，是一種生物啟發(fā)式算法。表5列出了相應(yīng)的算法參數(shù)。

表5 天牛群算法參數(shù)

經(jīng)過迭代計算優(yōu)化得到BSO算法最優(yōu)參數(shù)值如表6所示，目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化過程如圖7和圖8所示,優(yōu)化在約80步時完成了迭代過程。

表6 天牛群優(yōu)化算法結(jié)果

圖7 天牛群算法優(yōu)化過程 圖8 變量隨代數(shù)變化影響曲線

圖9是相對應(yīng)的優(yōu)化工作空間圖，綠色為給定工作空間，紅色為優(yōu)化參數(shù)下的可達(dá)工作空間(呈現(xiàn)為左右凹型的對稱空間)。由圖9可知:=±0.5 m的平面，=±0.5 m平面和給定工作空間完全重合，而可達(dá)工作空間在=±0.5 m和給定工作空間相切，故而目標(biāo)優(yōu)化完成，給定工作空間全部包含于可達(dá)工作空間，且呈現(xiàn)6個面全部重合的結(jié)果，得到了滿足給定的工作空間且使并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸最小的最優(yōu)解。

圖9 優(yōu)化后的給定工作空間和可達(dá)工作空間三維圖

7 結(jié)論

(1)文中設(shè)計了一種有解析式位置正解、工作空間較大的空間2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)，分析了機(jī)構(gòu)的拓?fù)涮匦?，結(jié)果表明:機(jī)構(gòu)的耦合度為0且具有運動解耦的特點。

(2)搜索得到的工作空間形狀為對稱的規(guī)則形狀，呈現(xiàn)對稱腰狀圖，工作空間邊界光滑飽滿、無空洞情況。

(3)根據(jù)優(yōu)化后算例分析的工作空間圖表明：給定工作空間的6個面全部和可達(dá)工作空間相切或重合。優(yōu)化得到滿足給定的工作空間且使實際工作空間最小的設(shè)計結(jié)構(gòu)參數(shù)尺寸最優(yōu)解，設(shè)計參數(shù)、、、、的最優(yōu)解分別為0.3 m、0.501 1 m、0.952 2 m、1.002 1 m、1.195 1 m。