HPM視角下“點到直線的距離”的教學實踐

張新勝

(江蘇省常州市第一中學,213003)

一、前言

發(fā)生教學法是一種基于HPM視角的數(shù)學教學通常采用的方法,是數(shù)學史融入數(shù)學教育的一種方式.發(fā)生教學法從學生的認知起點出發(fā),呈現(xiàn)知識自然發(fā)生和發(fā)展的過程.個體對數(shù)學知識的學習過程必須遵循數(shù)學知識的客觀發(fā)生過程.如何將數(shù)學史融入到中學數(shù)學教學實踐?本文以“點到直線的距離”為例,淺談談HPM視角下的數(shù)學教學設計.

二、數(shù)學史中相關(guān)背景資料

交點法是數(shù)學史中出現(xiàn)比較早的方法.1936年,美國數(shù)學學者戴維斯在《解析幾何》一書中就采用了這種方法,后來英國數(shù)學家楊格簡化了運算,20世紀George Gibson在楊格的基礎上采用設而不求法,進一步減少了運算量.三角法也是很多教科書采用的方法.19世紀,英國數(shù)學家托德亨特將點到直線的距離轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊長.19世紀末,英國數(shù)學家約翰斯頓將點到直線的距離轉(zhuǎn)化為三角形的高,利用面積法求解.20世紀,美國數(shù)學家泰勒在《微積分與解析幾何》中介紹了用函數(shù)法求點到直線的距離.20世紀40年代,向量知識逐漸出現(xiàn)在教科書中,1948年,美國數(shù)學家默納漢利用向量法求得點到直線的距離.

三、教學設計與實施

1.定義初探

師:上節(jié)課我們已經(jīng)學習了兩點間的距離公式.已知點P(x1,y1),Q(x2,y2),則兩點間的距離PQ等于多少?

師:可以用什么方法來推導?

生1:構(gòu)造直角三角形,運用勾股定理.

師:任意給出兩點P,Q坐標,我們可以用代數(shù)的方法計算出兩點間距離,即線段PQ的長.如果一個點的坐標不變,另一個點的坐標換成一條直線上的方程,那么我們可以研究什么距離?

眾生:點到直線的距離.

師:什么是點到直線的距離?

生2:過點P作直線l的垂線PH,垂足為H,則線段PH的長即為點P到直線l的距離.

師:把點P到垂足H的距離定義為點P到直線l的距離,依據(jù)是什么呢?

生2:點到直線上點的距離,垂線段最短.

師:很好!兩點之間,線段最短.我們把線段長定義為兩點間距離;而點到直線,垂線段最短,我們將這個最短距離定義為點到直線的距離.

師:如何求線段PH的長度呢?

設計意圖從已學知識兩點間的距離出發(fā),引出點到直線的距離問題,并滲透最值思想.

2.特例引路

師:請求出圖1中點P到直線l的距離.(學生回答)

師:大家都算得比較快,請哪一位同學來說一下自己的方法?

生3:前兩個圖中對應坐標的差,圖1(c)中就是直角三角形斜邊上的高,可用面積法.

師:太棒了!原來線段PH可以有不同的表現(xiàn)形式.

設計意圖通過前兩個特例體會當直線是水平或豎直狀態(tài)時距離的求法,并通過圖1(c)滲透面積思想.

3.模型建立

問題1如果將圖1(c)中的點P移動到點P(-1,2),你能求出此時點P到直線l的距離嗎?想一想,試一試!

學生活動:學生首先獨立思考、自主計算,然后小組合作探究,最后每個小組由一名學生代表展示計算法.

師:匯報的同學先跟大家分享你們的思路,然后呈現(xiàn)計算過程.同學們仔細聽,比較這些方法,你更喜歡哪一種?(學生代表匯報,教師進行方法匯總)

生4:(展示了交點法的解題方法)

生5:(展示了面積法的解題方法)

如圖3,利用兩種不同方法計算同一個三角形的面積,從而求出點P到直線l的距離.

生6:(展示了三角法的解題方法)

構(gòu)造直角三角形,利用三角函數(shù)值比求解.

師:那么如何求它的最小值呢?

師:很好,這種方法我們稱為函數(shù)法.

設計意圖從具體問題出發(fā),遵循學生的認知規(guī)律,提高課堂教學實效,通過自主探索、交流討論激發(fā)學生思維,從不同角度認識點線間的距離.

4.公式推導

問題2能否根據(jù)已經(jīng)獲得的四種不同方法進一步探索更一般的情況:點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)的距離?大家按小組合作討論,嘗試算一算,看你更愿意選擇那種方法,然后根據(jù)自己選擇的方法獨立推導.

同理，由三角形面積的兩種計算公式得

師:這就是我們要推導的點到直線的距離公式.19世紀末,英國數(shù)學家約翰斯頓也是運用面積法,從而得到公式的.你和他當時的想法相同,有成為數(shù)學家的潛質(zhì).

師:這也是19世紀英國著名數(shù)學家托德亨特的方法,你也取得了成功,真是很棒的方法.有同學選擇其它的推導方法嗎?

師:雖然這樣做運算量比較大,但是這是出現(xiàn)得較早的方法,也是很多教科書采用的方法,美國數(shù)學學者戴維斯早在1836年在《解析幾何》一書中就采用了交點法推導出點到直線距離公式.其實,當我們得到點H的坐標后,也就快成功了,同學們有沒有信心克服這個困難繼續(xù)算下去?請一位同學將推導過程寫在黑板上.

師:大多數(shù)同學都能夠化簡成功,運算能力真強!還有同學沒有化簡成功的,可以在課后把它完成.

問題3同學們運用了三種方法推導出距離公式,關(guān)于公式的推導大家還有什么疑問嗎?

生12:老師,可以利用函數(shù)法推導出公式嗎,怎樣推導?

生13:在上面四種推導方法中都是直線l與坐標軸不平行.當直線l與坐標軸平行(即A,B中有一個為0)時,這兩種特殊情況下的距離滿足公式嗎?

生14:老師,還有更好的推導方法嗎?

師:其實,在數(shù)學史中還有許多巧妙的方法推導點到直線的距離公式,感興趣的同學還可以繼續(xù)探索新的方法,或許你會有新發(fā)現(xiàn).接下來,請同學們對本節(jié)課進行小結(jié).

生15:本節(jié)課學習了點到直線的距離公式,掌握了許多推導方法,領略了歷史上數(shù)學家對公式的推導,感受到了歷史上數(shù)學家們對科學孜孜不倦的探索精神.其中的數(shù)學思想有數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、從函數(shù)的視角看問題等.

5.課后作業(yè)(略)

四、教學感悟

美國數(shù)學家、數(shù)學教育家克萊因說過:“教材中定理和公理的敘述,是數(shù)學家經(jīng)歷艱苦的探索,字斟句酌的結(jié)果.”學生的學習困難具有歷史相似性,教師可以參照史料預測學生的認知障礙,然后制定有針對性的教學策略,幫助學生跨越學習障礙,這也是HPM領域的重要工作之一.同時,數(shù)學史的引入,可以幫助學生了解數(shù)學的發(fā)展過程,學習數(shù)學家探索問題、追求真理的智慧,同樣具有重要的教育價值.

HPM視角下的公式教學,通過將史料和數(shù)學家的理性精神融入課堂,可以使學生更好地感受數(shù)學方法的演進過程,從而加深對數(shù)學知識的理解,培養(yǎng)學生探索精神.德國著名教育學家第斯多惠說過:“教育的藝術(shù)不在于傳授知識和本領,而在于激勵、喚醒和鼓舞.”數(shù)學教學要體現(xiàn)數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程,使學生經(jīng)歷數(shù)學思維的發(fā)展過程,經(jīng)歷應用數(shù)學知識解決問題的過程,從而形成積極的數(shù)學情感與態(tài)度.數(shù)學教學的過程也是學生思維水平發(fā)展和提升的過程,教師應激發(fā)學生積極思考的動力,捕捉學生的思維火花,展示學生的思維成果,使學生思維得到更好的拓展,使學生綜合素質(zhì)得到更有效的提升.