二維變分模態(tài)分解在軸承檢修中的應(yīng)用

張惠麗，李嘉楠，石煒，黃迎久

(1.包頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣工程系，內(nèi)蒙古包頭 014010；2.內(nèi)蒙古科技大學(xué)機械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古包頭 014010；3.內(nèi)蒙古科技大學(xué)工程訓(xùn)練中心，內(nèi)蒙古包頭 014010)

0 前言

列車軸承是保障運輸安全的重要部件,軸承故障是威脅列車安全的重要因素之一，為此鐵路部門一直對軸承故障的檢修十分重視。如圖1所示，鐵路部門主要通過眼、手和經(jīng)驗判別軸承表面的缺陷程度和缺陷類型，檢測結(jié)果過于依賴檢修人員的經(jīng)驗和責(zé)任感，結(jié)果并不精確，而且檢測結(jié)果無法量化，檢測數(shù)據(jù)不能存儲和上傳，導(dǎo)致檢測信息無法利用。軸承內(nèi)表面的缺陷信息是判斷軸承好壞的重要依據(jù)。獲得高質(zhì)量圖像、更多有效信息的圖像，有利于制定檢修方案，從而排除安全隱患。

圖1 人工檢測列車軸承內(nèi)圈外表面缺陷

變分模態(tài)分解(Variational Mode Decomposition,VMD)在2014年由DRAGOMIRETSKIY等正式提出。變分模態(tài)分解是自適應(yīng)信號的分解方法，可將輸入信號分解為若干個固有模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function,IMF)分量。由變分模態(tài)分解算法提出了一種自然的二維擴展，即二維變分模態(tài)分解(2D-VMD)。該模型可以同時提取多個2D模型并能夠?qū)ふ腋髯缘闹行念l率，是一種非遞歸、完全自適應(yīng)的變分方法，同時擁有強大的數(shù)學(xué)理論支撐，能夠稀疏地分解圖像，參數(shù)最小且不需要顯式插值就能實現(xiàn)信號的準(zhǔn)確分離。因此，本文作者使用模糊線性指數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差對IMF分量圖像進行客觀篩選，剔除無效信息分量后將2D-VMD算法與其他常用去噪算法進行對比；通過均方差和峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR)對幾種去噪算法進行客觀評價。

1 2D-VMD算法的數(shù)學(xué)模型

為能夠更好地應(yīng)用于圖像，將原始VMD模型改造為2D-VMD模型。在二維模型下，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)據(jù)保真而且能夠最小化組成子信號的帶寬，但由于二維信號缺乏一維信號的唯一延伸性，應(yīng)用單邊傅里葉將圖像頻率移至基帶。

由于解析信號頻譜具有單邊特性，在二維信號中需要將一個半平面的頻域設(shè)置為0，此分界面向量記為，從而得到2D-VMD在頻域中的表達式：

應(yīng)用傅里葉性質(zhì)定義二維解析信號:

解析信號沿參考方向逐行計算，因此該定義本質(zhì)上是一維的，但卻具有所需求的二維傅里葉特性。

2D-VMD算法是把一個原始信號分解為有限個離散子信號，令原始信號()通過2D-VMD算法進行個分解得到固有模態(tài)函數(shù)()使得每個IMF都有最小的帶寬和，從而得出約束條件下的變分模型表達式：

分解得到個固有模態(tài)分量:={，，...，},各分量中心頻率：{，，...，}。

為解決重構(gòu)約束問題，進行算法優(yōu)化，通過二次懲罰因子，拉格朗日乘子獲得交替方向乘法算子(Alternate Direction Met Hod of Multipliers，ADMM)，通過迭代、、，可得到其拓展后的表達式：

({},{},):=

通過上述分析可得數(shù)學(xué)表示如下：

為解決變分問題,通過迭代，在頻域中對其進行傅里葉等距變換：

由于2D-VMD擁有強大的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，將信號在頻域內(nèi)對、不斷迭代，并更新，當(dāng)滿足迭代停止條件時停止迭代，最后再對其進行傅里葉逆變換，得到最終結(jié)果。

2 圖像質(zhì)量評價

主觀評價是通過人的自身感官和經(jīng)驗對圖像進行判斷，人為因素較多，所以主觀評價不適于大規(guī)模檢測。因此，在軸承檢測領(lǐng)域更多使用客觀評價指標(biāo)對圖像質(zhì)量進行評價。故引入模糊線性指數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差對IMF分量進行客觀篩選，選用均方差MSE、峰值信噪比PSNR對去噪算法進行客觀評價。

2.1 模糊線性指數(shù)

模糊線性指數(shù)是反映有效信息量和對比度量值的一種指標(biāo)，在圖像處理中使用比較廣泛。經(jīng)過模糊線性指數(shù)驗證的圖像，值越小圖像質(zhì)量越好，有效信息越明顯，越能較好地反映處理前后的變化幅度，其表達式如下：

式中：表示像素點(，)的灰度；表示圖像最大灰度；表示圖像尺寸。

2.2 標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差反映各灰度相對于灰度均值的離散情況，是圖像對比度的關(guān)鍵量值，在圖像處理中同樣被廣泛應(yīng)用。值越大圖像對比度越高，越能更好地篩選并突出有效信息，其表達式如下：

2.3 均方差

均方差MSE，是圖像中各點數(shù)據(jù)與實際值的偏離程度，兩個×的單色圖像去噪前、后的灰度(,)、(,)在經(jīng)過圖像處理后的變化程度。去噪后的圖像均方差越小，則去噪后的圖像質(zhì)量越好，去噪方法越好。

2.4 峰值信噪比

峰值信噪比PSNR，是最大圖像信號與噪聲信號的比率，衡量圖像在壓縮后所呈現(xiàn)的客觀品質(zhì)。目前在世界學(xué)術(shù)領(lǐng)域內(nèi)峰值信噪比被廣大學(xué)者作為常用的客觀評價圖像質(zhì)量指標(biāo)，峰值信噪比越大，圖像處理前后的差別越小，失真越少，圖像處理后其圖像質(zhì)量越好。

3 2D-VMD算法的去噪原理及參數(shù)優(yōu)化

VMD算法使得一維信號分解為若干個子分量，并對每個分量進行判定，剔除噪聲分量，完成一維信號的去噪。2D-VMD是基于VMD的特性擴展而來的，2D-VMD可以實現(xiàn)準(zhǔn)確的信號分離，將含有噪聲的圖像信號分為若干個IMF分量圖。采用模糊線性指數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差作為IMF的評價指標(biāo)，分別對每個分量進行篩選，剔除噪聲項保留其余含有有效信息的分量，完成二維圖像信號的去噪。最后，通過計算MSE和PSNR，對基于2D-VMD的去噪方法進行評價，判定該算法的可行性。2D-VMD去噪原理如圖2所示。

圖2 2D-VMD去噪原理

2D-VMD算法需要預(yù)先設(shè)定其中的參數(shù)，最主要是分解次數(shù)，其次是懲罰參數(shù)因子，兩個參數(shù)的確定對分解過程有著極為重要的作用。在對圖像進行處理時，取值過大會導(dǎo)致層數(shù)分解過多，丟失大量有效信息，影響重構(gòu)圖像質(zhì)量；取值過小會使得分離層數(shù)少，難以分離噪聲和有效信息，達不到良好去噪效果。

2D-VMD對信號進行次分解，產(chǎn)生個IMF分量圖，不同的和對分解結(jié)果的影響不同。因此，通過粒子群算法對2D-VMD進行參數(shù)優(yōu)化，以避免人為因素干擾，自適應(yīng)地對合適的參數(shù)進行計算，最終選出最優(yōu)化參數(shù)。粒子群算法可以計算每個粒子經(jīng)過2D-VMD算法處理時，其任意位置所對應(yīng)的適應(yīng)度，對粒子位置和移速進行更新，直到循環(huán)迭代滿足停止條件時停止，最后得出最佳適應(yīng)度和粒子位置信息。通過粒子群算法對軸承圖像進行2D-VMD分解時，當(dāng)滿足=6、=50時有最優(yōu)參數(shù)組合，圖像去噪效果最好。

4 實驗與結(jié)果分析

以Windows10專業(yè)版為對操作系統(tǒng)，MATLAB R2015a為仿真軟件，研究對象為鐵路運輸專業(yè)軸承(SKF 47N)。

實驗選用腐蝕缺陷圖像圖3(a1)、燒附缺陷圖像圖3(b1)進行測試。為模擬圖像在現(xiàn)實環(huán)境中所受到的噪聲干擾影響，故對圖像添加均值為0、方差為0.04的高斯噪聲，缺陷圖像分別為圖3(a2)、圖3(b2)，最后應(yīng)用2D-VMD算法對缺陷圖像進行去噪。

圖3 原圖和噪聲圖像

應(yīng)用2D-VMD算法對含有高斯噪聲的兩組缺陷圖像分別進行分解，令分解層數(shù)=6，分別將噪聲圖像信號分解為6個IMF分量，如圖4所示。

圖4 2D-VMD分解實驗結(jié)果

由2D-VMD分解得到的6個IMF分量分別反映了不同層次所對應(yīng)的原始圖像的不同尺度信息，通過觀察并對比各分量發(fā)現(xiàn)：IMF1包含了原始圖像的大部分信息，IMF2、IMF3、IMF4、IMF5為能夠表現(xiàn)出原始圖像有效信息大致輪廓的趨勢分量圖，但IMF6則無法看清圖中的信息表達，通過主觀評價分析IMF6應(yīng)為噪聲項。

應(yīng)用模糊線性指數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別對兩組實驗的6個IMF分量進行客觀篩選，腐蝕缺陷組得到的指標(biāo)為、，燒附缺陷組得到的指標(biāo)為、。當(dāng)值較小、值較大時，圖像有效信息含量多，圖像質(zhì)量好，最終形成的去噪圖像也會呈現(xiàn)出很好的去噪效果。

由表1可知：兩組實驗的IMF6對應(yīng)的兩項指標(biāo)都過于異常，模糊線性指數(shù)值過大且標(biāo)準(zhǔn)差值過小，證明IMF6圖像質(zhì)量極差，故客觀評價IMF6為噪聲項。因此，分別去除受噪聲影響最大的IMF6，保留其余含有較多有效信息的分量，對其余5個IMF分量圖分別進行重構(gòu)，得到應(yīng)用2D-VMD算法進行去噪的圖像。最后，對含有噪聲的圖像圖3(a2)、圖3(b2)進行均值濾波、中值濾波，對比3種去噪算法的去噪效果，結(jié)果如圖5所示。

表1 6個IMF分量的γ值和σ值

圖5 去噪效果對比

針對3種去噪算法，分別計算其對應(yīng)的評價指標(biāo)：MSE1、PSNR1、MSE2、PSNR2，對3種算法進行定量分析，客觀評價哪種算法去噪效果更好，結(jié)果如表2所示。

表2 3種算法的MSE和PSNR

通過分析腐蝕缺陷和燒附缺陷去噪實驗，可以由MSE1、PSNR1和MSE2、PSNR2直觀看出，雖然3種去噪方法都能實現(xiàn)圖像的去噪處理，但應(yīng)用不同的去噪方法得到的去噪圖像質(zhì)量并不相同。通過表2可知：使用2D-VMD得到的去噪圖像，均方差最小、峰值信噪比最大，去噪效果最好；中值濾波效果相對較好；均值濾波其均方差最大、峰值信噪比最小，去噪效果最差。由此可知，使用2D-VMD算法進行圖像去噪具有較好的去噪效果。

5 結(jié)論

本文作者通過分析2D-VMD算法原理，提出基于2D-VMD的列車軸承缺陷圖像的去噪方法。將輸入的圖像信號分成若干個IMF分量，通過粒子群算法對2D-VMD進行參數(shù)優(yōu)化，確定最優(yōu)參數(shù)組合；通過模糊線性指數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差兩個指標(biāo)對IMF進行合理客觀的篩選，剔除無效信息分量；最后，對其他有效信息分量進行重構(gòu)，實現(xiàn)對圖像信號的去噪處理。通過對比均方差和峰值信噪比，對2D-VMD算法、均值濾波算法和中值濾波算法進行了客觀評價，發(fā)現(xiàn)使用2D-VMD算法進行圖像去噪得到的去噪效果最好、圖像質(zhì)量最清晰、失真最小。研究結(jié)果能夠為鐵路部門的相關(guān)故障檢修提供參考。