計(jì)及混合間隙的高速精密機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

陳宇，武凱，仲太生，王禹，孫宇

(1.南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇南京 210094;2.江蘇揚(yáng)力集團(tuán)，江蘇揚(yáng)州 225127;3.江蘇理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，江蘇常州 213001)

0 前言

隨著社會(huì)的發(fā)展和科技的進(jìn)步，市場(chǎng)對(duì)零件的加工精度和質(zhì)量提出了更高的要求，對(duì)機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求日益提高，以實(shí)現(xiàn)更高運(yùn)動(dòng)精度以及良好的穩(wěn)定性。在機(jī)械系統(tǒng)中，由于碰撞磨損和制造誤差，都無(wú)法避免運(yùn)動(dòng)副零件之間的間隙產(chǎn)生。間隙的存在將會(huì)造成桿件的分離和碰撞，從而引起機(jī)構(gòu)產(chǎn)生振動(dòng)、噪聲。含間隙高速精密動(dòng)力學(xué)研究對(duì)提升機(jī)械裝備性能，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜裝備振動(dòng)、噪聲的有效控制，以及高精密機(jī)械裝備設(shè)計(jì)技術(shù)的升級(jí)具有重要的意義。

針對(duì)含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究。例如，F(xiàn)LORES等針對(duì)含間隙運(yùn)動(dòng)副接觸碰撞過程中的接觸類型和約束條件進(jìn)行了討論，采用Moreau時(shí)間步長(zhǎng)法對(duì)其線性求解問題進(jìn)行了描述，并將其運(yùn)用到含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能分析中。白爭(zhēng)鋒等考慮非線性剛度系數(shù)對(duì)接觸碰撞過程的影響，提出一種含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副接觸碰撞力模型，并將其應(yīng)用到含間隙曲柄滑塊模型中。ZHANG等建立一種含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副的冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特征分析模型，采用分部積分法對(duì)其進(jìn)行求解，并獲得間隙對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的影響。SALAHSHOOR等基于多尺度法建立了含多間隙多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析模型，研究了機(jī)械系統(tǒng)的非線性振動(dòng)特征。TIAN等考慮構(gòu)件柔性特征影響，建立了含不確定性間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副的機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析模型，計(jì)算結(jié)果表明間隙和構(gòu)件柔性對(duì)機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)影響較大。目前，考慮混合間隙作用下高速精密機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性相關(guān)研究很少。本文作者針對(duì)以上情況，基于多體動(dòng)力學(xué)理論、非線性接觸碰撞理論和庫(kù)侖摩擦理論，建立一種含混合間隙的高速精密機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型；將其引入到高速精密壓力機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)模型中，結(jié)合高速精密機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能實(shí)驗(yàn)，分析了計(jì)及混合間隙的高速精密機(jī)構(gòu)的非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。

1 含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

1.1 含間隙運(yùn)動(dòng)副運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

(1)

(2)

軸與軸承在偏心方向上的單位法矢量為

(3)

如圖1(b)所示，當(dāng)偏心矢量的大小大于軸承間隙時(shí)，軸承與軸在偏心矢量的延長(zhǎng)線上會(huì)發(fā)生接觸，即接觸點(diǎn)為和，該點(diǎn)的位置矢量和速度矢量可表示為

圖1 轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙模型

(4)

(5)

軸承與軸在碰撞時(shí)產(chǎn)生的接觸變形，即嵌入量可表示為

=-

(6)

式中:為偏心距；為間隙大小。

嵌入量能夠反映軸承與軸之間是否接觸，當(dāng)≤0時(shí)，軸承內(nèi)圈與軸之間不發(fā)生接觸，此時(shí)接觸力=0；當(dāng)>0時(shí)，軸承內(nèi)圈與軸之間發(fā)生接觸，接觸區(qū)域會(huì)產(chǎn)生力的作用。因此，發(fā)生接觸的邊界條件和接觸點(diǎn)的速度矢量可表示為

(7)

(8)

圖2 移動(dòng)副間隙模型

(9)

構(gòu)件上任意一點(diǎn)的位置向量為

(10)

接觸點(diǎn)位置向量和嵌入量可表示為

(11)

(12)

其接觸碰撞速度可寫成：

(13)

1.2 運(yùn)動(dòng)副間隙接觸碰撞模型

接觸碰撞力建模是含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析必要研究?jī)?nèi)容之一。基于非線性接觸碰撞理論，并考慮阻尼因素對(duì)能力損失的影響，建立含間隙運(yùn)動(dòng)副的接觸碰撞力模型，其表達(dá)式為

(14)

(15)

轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙剛度系數(shù)可表示為

(16)

式中：為泊松比；為接觸體彈性模量；為軸與軸承半徑。

移動(dòng)副剛度系數(shù)如下：

(17)

式中：為材料特性；為接觸區(qū)域面積；和分別為滑塊的長(zhǎng)度和寬度。

摩擦力是含間隙運(yùn)動(dòng)副接觸碰撞過程重要的參數(shù)，可描述接觸特性的切向力特征，文中考慮運(yùn)動(dòng)副間隙為干摩擦狀態(tài)。Coulomb摩擦模型可以有效描述沖擊狀態(tài)下非線性接觸碰撞過程中的摩擦特性。為了更加準(zhǔn)確地描述軸與軸承接觸碰撞過程中的黏滯微滑現(xiàn)象，采用Coulomb修正模型對(duì)其進(jìn)行描述，該模型中的動(dòng)態(tài)摩擦因數(shù)可表示摩擦力與切向滑動(dòng)之間的關(guān)系。考慮軸與軸承在實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)過程中的摩擦現(xiàn)象，切向摩擦力模型表達(dá)式如下：

(18)

式中:表示滑動(dòng)摩擦因數(shù)；為動(dòng)態(tài)摩擦因數(shù)，其表達(dá)式可以寫成：

(19)

式中:和為給定的速度極限值。

1.3 含間隙碰撞的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

含間隙高速精密機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中，含間隙運(yùn)動(dòng)副之間會(huì)產(chǎn)生“自由運(yùn)動(dòng)”和“接觸碰撞”狀態(tài)，兩者有可能交替發(fā)生，需要針對(duì)不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)建立含間隙多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。根據(jù)拉格朗日乘子法，自由狀態(tài)下含間隙多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(20)

式中：、和分別為系統(tǒng)的廣義質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；表示廣義坐標(biāo)矩陣；為廣義約束方程(,)=0的雅克比矩陣；和分別表示廣義力陣和Lagrange乘子列陣。

當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為 “接觸碰撞”條件時(shí)，需要將接觸碰撞力引入到動(dòng)力學(xué)方程中來描述碰撞體之間的相互作用，其表達(dá)式為

(21)

式中:為接觸力相對(duì)于廣義坐標(biāo)的廣義力列陣。

=+

(22)

2 試驗(yàn)驗(yàn)證與分析

2.1 模型參數(shù)與計(jì)算流程

高速精密機(jī)構(gòu)模型如圖3所示，由曲柄、連桿、滑塊以及導(dǎo)軌幾個(gè)部分組成。該機(jī)構(gòu)包括兩個(gè)理想轉(zhuǎn)動(dòng)副，分別位于曲柄與支座連接處、曲柄與連桿連接處。連桿與滑塊連接處有轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙，滑塊與導(dǎo)軌之間存在移動(dòng)副間隙，其機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)如表1所示?；谏鲜瞿Ｐ?，以含混合間隙高速精密機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，通過對(duì)軸與軸承、滑塊與導(dǎo)軌接觸監(jiān)測(cè)，獲得含混合間隙運(yùn)動(dòng)副的接觸碰撞力。基于Runge-Kutta法對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行迭代求解，完整計(jì)算流程如圖4所示。

圖3 仿真計(jì)算模型

表1 模型基本參數(shù)

圖4 計(jì)算流程

2.2 試驗(yàn)分析

針對(duì)含混合間隙高速精密機(jī)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性分析，在高速精密機(jī)械壓力機(jī)試驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行了性能試驗(yàn)，對(duì)滑塊動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行了測(cè)試。試驗(yàn)裝置由機(jī)械部分和測(cè)試系統(tǒng)兩部分組成，機(jī)械部分由電機(jī)、驅(qū)動(dòng)輪、飛輪、離合器、曲軸、連桿、滑塊七部分組成;測(cè)試系統(tǒng)由無(wú)線加速度傳感器、無(wú)線接收器和數(shù)據(jù)采集分析系統(tǒng)組成。無(wú)線加速度傳感器安裝在滑塊上，用于測(cè)量滑塊垂直方向的加速度。數(shù)據(jù)采集分析系統(tǒng)運(yùn)行在必創(chuàng)操作平臺(tái)上，集信號(hào)采集、濾波、A/D轉(zhuǎn)換和數(shù)據(jù)分析于一體。該測(cè)試系統(tǒng)可以測(cè)量滑塊運(yùn)動(dòng)時(shí)任意時(shí)刻加速度值。為了保證測(cè)量精確度，試驗(yàn)前對(duì)加速度傳感器進(jìn)行了專門標(biāo)定。機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能實(shí)驗(yàn)測(cè)試圖如圖5所示。

圖5 機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能試驗(yàn)測(cè)試圖

不同轉(zhuǎn)速下高速精密壓力機(jī)滑塊加速度的仿真結(jié)果與測(cè)試結(jié)果對(duì)比如圖6所示?？芍?含間隙運(yùn)動(dòng)副元素之間呈現(xiàn)不同的狀態(tài)。在高速精密機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，含間隙運(yùn)動(dòng)副引起高速精密機(jī)構(gòu)發(fā)生振動(dòng)，滑塊加速度產(chǎn)生峰值波動(dòng)和非線性增長(zhǎng)現(xiàn)象。在滑塊位于下死點(diǎn)位置時(shí)，接觸力會(huì)出現(xiàn)高頻振動(dòng)，此時(shí)含間隙運(yùn)動(dòng)副發(fā)生在接觸變形現(xiàn)象；而對(duì)于整個(gè)運(yùn)動(dòng)周期而言，連續(xù)接觸狀態(tài)占據(jù)時(shí)間最長(zhǎng)。滑塊加速度仿真計(jì)算結(jié)果與測(cè)試結(jié)果極其相似，從而驗(yàn)證了文中建模方法的有效性。

圖6 測(cè)試曲線與仿真曲線對(duì)比

3 數(shù)值分析

為了對(duì)混合間隙影響下高速精密機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題進(jìn)行更為深入的研究，對(duì)不同輸入轉(zhuǎn)速和間隙尺寸條件下高速精密機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行多體動(dòng)力學(xué)仿真，獲得其機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)行為以及混沌運(yùn)動(dòng)響應(yīng)特征。

3.1 輸入轉(zhuǎn)速影響分析

采用文中所述的建模方法，建立不同參數(shù)下高速精密機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)仿真模型，研究運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)離散狀態(tài)高速精密機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)行為的影響。當(dāng)運(yùn)動(dòng)副間隙為0.1 mm時(shí)，分別獲得輸入轉(zhuǎn)速為100、200、300、400 r/min時(shí)軸心軌跡如圖7所示?？芍涸诟咚倬軝C(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中，運(yùn)動(dòng)副單元出現(xiàn)3種不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，包括自由狀態(tài)、連續(xù)接觸狀態(tài)、接觸碰撞狀態(tài)；連續(xù)接觸狀態(tài)占比較大，在較低轉(zhuǎn)速時(shí)，高速精密機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)趨于非線性特征；隨著輸入轉(zhuǎn)速的增加，接觸碰撞狀態(tài)明顯增強(qiáng)，其嵌入深度明顯增加。

圖7 輸入轉(zhuǎn)速對(duì)軸心軌跡的影響間隙(c=0.1 mm)

圖8和圖9顯示了在不同輸入轉(zhuǎn)速下高速精密機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)特征，計(jì)算結(jié)果描述了滑塊運(yùn)動(dòng)的相位關(guān)系以及機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由計(jì)算結(jié)果可以看出滑塊運(yùn)動(dòng)軌跡由左、右兩簇構(gòu)成，各自圍繞一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，在輸入轉(zhuǎn)速較低時(shí)該特征表現(xiàn)得更加明顯，出現(xiàn)非周期性混沌現(xiàn)象。隨著輸入轉(zhuǎn)速的增加，運(yùn)動(dòng)軌跡向邊緣靠近，運(yùn)動(dòng)軌跡輪廓逐漸清晰，呈現(xiàn)出倍化分岔序列。同時(shí)，Poincaré圖中表示出相對(duì)應(yīng)的變化趨勢(shì)，隨著輸入轉(zhuǎn)速的增加，吸引子的形狀結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定，吸引子的集中區(qū)域變大。

圖8 輸入轉(zhuǎn)速對(duì)運(yùn)動(dòng)副相對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響(c=0.1 mm)

圖9 輸入轉(zhuǎn)速對(duì)滑塊運(yùn)動(dòng)軌跡的影響(c=0.1 mm)

3.2 間隙尺寸影響分析

間隙尺寸是影響含間隙高速精密機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的主要因素之一。為了更加詳細(xì)地分析含間隙高速精密機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)特征，建立不同間隙尺寸的高速精密機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析模型。計(jì)算模型中，輸入轉(zhuǎn)速為200 r/min，間隙尺寸分別為0.05、0.1、0.2、0.5 mm。軸心運(yùn)動(dòng)軌跡可以表示出含間隙運(yùn)動(dòng)副元素之間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，研究間隙對(duì)軸心軌跡的影響對(duì)于含間隙高速精密機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)具有重要意義。間隙尺寸對(duì)軸心軌跡影響如圖10所示，不同間隙尺寸下軸心軌跡分布情況各不相同。當(dāng)間隙值較小時(shí)，軸心軌跡分布在軸承邊緣區(qū)域，主要為連續(xù)接觸狀態(tài)和接觸變形狀態(tài)；隨著間隙尺寸的增加，軸心運(yùn)動(dòng)軌跡范圍增大，運(yùn)動(dòng)副元素自由運(yùn)動(dòng)空間增大。同時(shí)，較大的間隙尺寸會(huì)使運(yùn)動(dòng)副元素獲得更多的能量，加大碰撞過程中的沖擊力，嵌入深度也隨之增加。

圖10 間隙尺寸對(duì)軸心軌跡的影響(輸入轉(zhuǎn)速200 r/min)

由于間隙的存在，高速精密機(jī)構(gòu)的間隙鉸鏈在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)產(chǎn)生滑動(dòng)和碰撞現(xiàn)象，運(yùn)動(dòng)副元素會(huì)在不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下來回切換，間隙對(duì)運(yùn)動(dòng)副相對(duì)運(yùn)動(dòng)影響如圖11所示?？芍焊咚倬軝C(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)行為對(duì)間隙尺寸的變化較為敏感。當(dāng)間隙尺寸較小時(shí)，軌跡在左側(cè)位置較為集中，當(dāng)接近于中心位置點(diǎn)時(shí)會(huì)瞬間跳轉(zhuǎn)到右側(cè)邊緣位置，并逐漸再次向中心位置靠近，反復(fù)盤旋運(yùn)動(dòng);隨著間隙尺寸的增大，運(yùn)動(dòng)軌跡向邊緣位置靠近，這說明高速精密機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)周期性發(fā)生變化。圖12描述了不同間隙尺寸下高速精密機(jī)構(gòu)吸引子的變化趨勢(shì)。間隙尺寸的增加引起接觸碰撞力的增大，從而使得吸引子集中區(qū)域發(fā)生改變，機(jī)械系統(tǒng)產(chǎn)生混沌和分岔現(xiàn)象。

圖11 間隙尺寸對(duì)運(yùn)動(dòng)副相對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響(輸入轉(zhuǎn)速200 r/min)

圖12 間隙尺寸對(duì)滑塊運(yùn)動(dòng)軌跡的影響(輸入轉(zhuǎn)速200 r/min)

4 結(jié)論

基于多體動(dòng)力學(xué)理論和非線性接觸碰撞理論，提出一種含混合間隙的高速精密機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特征分析的建模方法，根據(jù)L-N接觸力模型獲得運(yùn)動(dòng)副元素之間的接觸碰撞力，并采用Runge-Kutta對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解，研究了高速精密機(jī)構(gòu)混沌與分岔特性。主要結(jié)論如下：

(1)由于間隙的存在，運(yùn)動(dòng)副元素之間存在自由運(yùn)動(dòng)、連續(xù)接觸和接觸變形狀態(tài)，在高速精密機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中，運(yùn)動(dòng)副元素在不同狀態(tài)下來回切換，并伴隨較大的振動(dòng)與沖擊。

(2)高速精密機(jī)構(gòu)在輸入轉(zhuǎn)速和間隙尺寸等因素影響下，呈現(xiàn)出明顯的分岔和跳躍特性，隨運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化出現(xiàn)了倍周期、多周期和混沌等運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

(3)輸入轉(zhuǎn)速、間隙尺寸過大或過小都會(huì)引起運(yùn)動(dòng)副元素之間的激烈運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生強(qiáng)烈的碰撞，機(jī)械系統(tǒng)通過激變進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。文中所提建模方法更加真實(shí)地描述了多體系統(tǒng)非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，為機(jī)構(gòu)的性能評(píng)價(jià)、結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)等奠定了基礎(chǔ)。