線接觸曲線圓柱齒輪的加工方法與仿真

張學(xué)剛，謝永春，王鵬飛

(攀枝花學(xué)院智能制造學(xué)院，四川攀枝花 617000)

0 前言

曲線圓柱齒輪是一種新型平行軸傳動(dòng)齒輪，其輪齒呈圓弧形。齒輪在嚙合過(guò)程中，根據(jù)齒面的接觸形式不同，分為點(diǎn)接觸曲線圓柱齒輪和線接觸曲線圓柱齒輪。目前，線接觸曲線圓柱齒輪的傳動(dòng)性能已被國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛研究，但是一直沒(méi)找到一種高效的加工方法。盡管許多學(xué)者一直都在不斷地探索各種加工方法的可行性和高效性，但是都沒(méi)有取得較好的效果。宋愛(ài)平等提出了一種平行連桿式加工機(jī)構(gòu)用于加工這種齒輪，但是該機(jī)構(gòu)剛度較低，不能加工硬度較大的材料，并且加工效率低。唐銳等人設(shè)計(jì)一種基于單刃面銑刀的專用加工機(jī)床。FUENTES等提出采用雙刃面銑刀加工其中一個(gè)齒輪，另一個(gè)齒輪采用單刃面銑刀分別加工凹齒面和凸齒面，單刃銑刀的公稱直徑略大于雙刃銑刀，具體大多少，需要通過(guò)復(fù)雜的理論計(jì)算確定。這種方法需要3把不同的刀具，而且需要調(diào)整單刃刀盤(pán)的公稱直徑，加工工藝較復(fù)雜。UZUN和INAN利用球頭銑刀在立式數(shù)控銑床上加工出了線接觸齒輪，但是這種加工方法效率極低，齒面光潔度很難達(dá)到要求。SUN、ZHANG等提出一種行星輪系統(tǒng)，用于加工線接觸齒輪，該結(jié)構(gòu)安裝刀頭數(shù)量有限，加工效率較低。

本文作者提出一種無(wú)需專用機(jī)床和專用刀具的加工方法，利用現(xiàn)有的加工弧齒錐齒輪的單刃面銑式盤(pán)形銑刀和六軸數(shù)控銑齒機(jī)加工線接觸曲線圓柱齒輪。基于嚙合理論推導(dǎo)齒面方程，建立齒輪的三維模型；利用VERICUT軟件驗(yàn)證所提加工方法的可行性。

1 線接觸齒輪成型原理

用單刃面銑刀盤(pán)加工線接觸曲線圓柱齒輪副的基本方法如下：

(1)采用外刃半徑為的單刃面銑刀盤(pán)銑削加工齒輪的凹齒面，加工時(shí)，保證刀具的節(jié)平面與待加工齒輪的節(jié)圓相切，刀盤(pán)以一定的速度左右移動(dòng)，齒輪毛坯繞自身旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)速度與刀盤(pán)移動(dòng)速度緊密聯(lián)系，使它們之間始終處于純滾動(dòng)狀態(tài)，直到一個(gè)齒的凹齒面加工完成；加工下一個(gè)齒的凹齒面時(shí)，齒輪毛坯轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)分度360°/,其中，為待加工齒輪的齒數(shù)，重復(fù)上一步，使刀具與毛坯之間保持純滾動(dòng)，如此重復(fù)，直到所有齒的凹齒面加工完成，然后齒輪復(fù)位，如圖1(a)所示；

(2)采用內(nèi)刃半徑為的單刃面銑刀盤(pán)銑削加工齒輪的凸齒面，加工時(shí)，使刀具旋轉(zhuǎn)中心與加工凹齒面所使用刀具的旋轉(zhuǎn)中心之間偏置π/2，為待加工齒輪的模數(shù)，然后重復(fù)加工凹齒面時(shí)所提及的展成運(yùn)動(dòng)，進(jìn)行分度加工，直到所有凸齒面加工完成，如圖1(b)所示；

圖1 單刃面銑刀盤(pán)加工示意

(3)與之配對(duì)的另一個(gè)齒輪仍然采用這2把單刃面銑刀，用同樣的方式加工凹齒面和凸齒面。采用這種加工方法所成型的齒輪副在嚙合過(guò)程中可以實(shí)現(xiàn)完全線接觸，在理論上已得到驗(yàn)證，只是沒(méi)有找到合適機(jī)床對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證。

2 齒輪的三維模型

為驗(yàn)證所提加工方法的可行性和加工精度，用理想的齒輪三維模型與加工后所得到的齒輪模型進(jìn)行對(duì)比分析。然而，理想齒輪三維模型的構(gòu)建，是以齒輪齒面的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，基本構(gòu)建步驟：利用推導(dǎo)的齒面數(shù)學(xué)模型求解齒面點(diǎn)云；將點(diǎn)云導(dǎo)入三維建模軟件中進(jìn)行齒輪三維模型的構(gòu)建。

2.1 齒輪數(shù)學(xué)模型

基于線接觸曲線齒輪的成型原理，利用微分幾何和嚙合理論推導(dǎo)出曲線齒輪的凹齒面、凸齒面、凹齒面過(guò)渡曲面和凸齒面過(guò)渡曲面的方程。

圖2所示為單刃銑刀盤(pán)刀頭斷面。圖中幾何參數(shù)的定義：表示頂系系數(shù)；表示底系系數(shù)；表示刀刃過(guò)渡圓角系數(shù)；表示壓力角；表示主切削刃長(zhǎng)度的變量；表示過(guò)渡圓角的角度變量。圖2(a)所示的外刃刀頭用于加工齒輪的凹齒面，與圖1(a)對(duì)應(yīng)；圖2(b)所示的內(nèi)刃刀頭用于加工齒輪的凸齒面，與圖1(b)對(duì)應(yīng)。

圖2 單刃銑刀盤(pán)刀頭斷面示意

將內(nèi)刃刀頭和內(nèi)刃刀頭的直線部分表達(dá)在坐標(biāo)系中：

(1)

式中：上標(biāo)i表示內(nèi)刃計(jì)算符號(hào)；o表示外刃計(jì)算符號(hào)。

將內(nèi)、外刃刀頭的過(guò)渡圓角部分表達(dá)在坐標(biāo)系中：

(2)

將兩種刀頭切削刃的直線部分和過(guò)渡圓角部分轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系中：

(3)

(4)

式中:當(dāng)上標(biāo)=i時(shí)，表示內(nèi)刃刀頭；當(dāng)上標(biāo)=o時(shí)，表示外刃刀頭；()為坐標(biāo)系到的變換矩陣，可表示為

(5)

式中:表示生成銑刀虛擬表面的參數(shù)。式(3)的幾何意義為銑刀主切削刃關(guān)于參數(shù)和的曲面方程；式(4)為銑刀過(guò)渡部分曲面關(guān)于參數(shù)和的方程。

將銑刀主切削刃曲面和過(guò)渡曲面表達(dá)在齒輪毛坯坐標(biāo)系中，如下：

(6)

(7)

式中：為加工齒輪過(guò)程中，齒輪毛坯的旋轉(zhuǎn)角度；()為坐標(biāo)系到的坐標(biāo)變換矩陣：

(8)

式中:

=(sin-cos)+cos

=(cos+sin)-sin

根據(jù)微分幾何與嚙合理論，齒面的嚙合方程與齒根曲面的嚙合方程可分別表示為

(9)

(10)

將式(6)代入式(9)中，可求出齒面關(guān)于參數(shù)和的雙參數(shù)方程；將式(7)代入式(10)中，可求出齒根過(guò)渡曲面關(guān)于和的雙參數(shù)方程。

2.2 齒輪三維模型的構(gòu)建

基于所推導(dǎo)的雙參數(shù)齒面方程，可根據(jù)參數(shù)的取值范圍求解齒面的數(shù)據(jù)點(diǎn)云坐標(biāo)，將點(diǎn)云坐標(biāo)導(dǎo)入到三維建模軟件中，即可構(gòu)建出齒輪的三維模型，具體實(shí)施步驟如圖3所示。

圖3 齒輪三維模型的生成

(1)基于齒輪基本參數(shù)，利用MATLAB求解出齒輪凹齒面和凸齒面的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，導(dǎo)入三維建模軟件中(圖3(a))；

(2)將凹、凸齒面點(diǎn)云網(wǎng)格化(圖3(b))；

(3)擬合出凹、凸齒面，使擬合出的齒面誤差盡可能小，文中所擬合的齒面最大誤差為0.06 mm(圖3(c))；

(4)構(gòu)建輪齒的兩側(cè)面、底面和頂面，使輪齒封閉，然后縫合各曲面，使輪齒實(shí)體化(圖3(d))；

效標(biāo)關(guān)聯(lián)效度是指護(hù)士工作滿意度與外在效標(biāo)間關(guān)系的程度，這里的效標(biāo)是指假定的客觀標(biāo)準(zhǔn)，作為評(píng)判評(píng)估手段的有效性的指標(biāo)。一般認(rèn)為，系數(shù)為0.4～0.8較好，本研究中通過(guò)條目“對(duì)護(hù)士工作滿意度整體印象得分”進(jìn)行效標(biāo)關(guān)聯(lián)度的檢測(cè)，其相關(guān)性為0.767，P=0.000，提示效標(biāo)關(guān)聯(lián)效度較為理想[17]。

(5)根據(jù)齒數(shù)繞齒輪中心陣列輪齒(圖3(e))；

(6)填充齒輪輪轂部分，合并所有實(shí)體(圖3(f))。

3 齒輪數(shù)控加工仿真

3.1 機(jī)床與刀具構(gòu)建

本文作者在無(wú)須重新設(shè)計(jì)專用機(jī)床的情況下，借助于市面上已有的六軸數(shù)控銑齒機(jī)和格里森單刃刀盤(pán)，在VERICUT軟件中模擬線接觸曲線齒輪的加工過(guò)程。目前，這種六軸數(shù)控銑齒機(jī)主要用來(lái)加工螺旋錐齒輪、準(zhǔn)雙曲面齒輪等。

在VERICUT軟件中模擬線接觸曲線齒輪的加工，首先要在軟件中搭建機(jī)床三維模型、運(yùn)動(dòng)拓?fù)淠Ｐ鸵约暗毒邘缀文Ｐ偷?。所搭建的六軸數(shù)控銑齒機(jī)如圖4所示，包含、、3個(gè)軸的移動(dòng)自由度和、、3個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。其中，軸控制齒輪毛坯的轉(zhuǎn)動(dòng)，軸控制刀具的高速旋轉(zhuǎn)。在加工線接觸曲線齒輪時(shí)，始終需要保證軸與軸處于正交狀態(tài)，即軸固定不動(dòng)。同時(shí)，在加工時(shí)，將軸調(diào)整到合適位置后也需要保持固定不動(dòng)。

圖4 六軸數(shù)控銑齒機(jī)示意

將機(jī)床三維模型導(dǎo)入VERICUT后，還需要建立機(jī)床6個(gè)運(yùn)動(dòng)軸之間的拓?fù)溥\(yùn)動(dòng)關(guān)系、參考坐標(biāo)系、工作偏置和刀具等信息，如圖5所示。

圖5 六軸數(shù)控銑齒機(jī)各軸拓?fù)潢P(guān)系

文中驅(qū)動(dòng)六軸數(shù)控銑齒機(jī)各軸運(yùn)動(dòng)的數(shù)控系統(tǒng)采用FANUC公司的fan320im?；诘?節(jié)中的齒輪加工原理，需要將加工凸、凹齒面2種單刃銑刀盤(pán)的參考坐標(biāo)系分開(kāi)創(chuàng)建，假設(shè)凸齒面的參考坐標(biāo)系為Csys1，那么凹齒面銑刀盤(pán)的參考坐標(biāo)系Csys2在軸上必須相對(duì)Csys1偏置π/2。此外，還需對(duì)兩參考坐標(biāo)系設(shè)置工作偏置，如圖5所示。

圖6 銑刀和刀柄的創(chuàng)建

3.2 加工仿真

根據(jù)第1節(jié)中所描述的曲線齒輪加工原理，編寫(xiě)數(shù)控加工程序。凸齒面加工過(guò)程如圖7所示。

圖7 齒面加工成型過(guò)程

3.3 仿真結(jié)果分析

以齒數(shù)=31、模數(shù)=4 mm、單刃銑刀半徑=60 mm的齒輪為例進(jìn)行仿真加工。待齒輪加工完成之后，將第2.2節(jié)中所建立的齒輪三維模型導(dǎo)入VERICUT中，對(duì)比分析所加工齒輪與理論齒面之間的偏差，結(jié)果如圖8所示?？梢钥闯觯和过X面的齒根部分有0.1 mm的材料殘留，齒面部分的材料殘留在0.06 mm以下；凹齒面的齒根部位存在0.06 mm的過(guò)切，齒面部分存在0.04 mm的過(guò)切和0.06 mm的材料殘余。這些偏差包含了齒輪三維建模時(shí)曲面擬合所產(chǎn)生的誤差，實(shí)際所加工出的齒面誤差可能會(huì)更小。

圖8 加工齒面偏差分布

4 結(jié)論

本文作者提出了一種線接觸曲線圓柱齒輪的加工方法，基于嚙合理論推導(dǎo)了線接觸曲線齒輪的數(shù)學(xué)模型，并構(gòu)建了齒輪的三維模型，利用所構(gòu)建的三維模型與加工出來(lái)的齒輪進(jìn)行了偏差對(duì)比分析。主要結(jié)論如下：

(1)將2個(gè)不同的單刃銑刀盤(pán)安裝在現(xiàn)有的六軸數(shù)控銑齒機(jī)上加工線接觸曲線齒輪，成本更低、效率更高。但是相對(duì)于采用1個(gè)雙刃銑刀加工的點(diǎn)接觸曲線齒輪來(lái)說(shuō)，其加工效率較低；

(2)通過(guò)偏差對(duì)比，所加工齒輪齒面的最大偏差為0.06 mm，但是這部分偏差包含了齒輪三維建模的偏差，實(shí)際偏差可能遠(yuǎn)小于這個(gè)值；總體上說(shuō)，采用文中所提的方法是可行的；

(3)文中所提的加工方案可減少科研人員對(duì)專用線接觸曲線齒輪機(jī)床研究的投入，為線接觸曲線齒輪的工業(yè)化批量生產(chǎn)提供參考。