基于區(qū)間粗糙數(shù)相似度的多準(zhǔn)則群體決策方法及其應(yīng)用

劉啟函，葉國(guó)菊，劉尉*，趙大方

（1.河海大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京 210098；2.湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002）

自1982 年P(guān)AWLAK[1]提出粗糙集后，粗糙集理論已在機(jī)器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)分析與決策等眾多領(lǐng)域得到應(yīng)用。經(jīng)典粗糙集只能處理屬性為精確值的信息系統(tǒng)，但實(shí)際應(yīng)用往往具有模糊性、不確定性等特點(diǎn)，用單一的數(shù)值形式并不能準(zhǔn)確表達(dá)對(duì)象間的關(guān)系，導(dǎo)致經(jīng)典粗糙集難以處理這些問(wèn)題。因此，2002 年Liu[2]結(jié)合粗糙集與區(qū)間數(shù)，提出區(qū)間粗糙數(shù)的概念。區(qū)間粗糙數(shù)是利用上、下近似區(qū)間來(lái)描述數(shù)據(jù)的不確定性，比粗糙集更精準(zhǔn)，更貼近實(shí)際，自2010 年，研究者已將區(qū)間粗糙數(shù)與TOPSIS、D-S 證據(jù)理論等多種方法和模型融合，在決策等領(lǐng)域中取得豐碩成果[3-8]。

多準(zhǔn)則群體決策是決策科學(xué)中的熱點(diǎn)研究領(lǐng)域，為在決策時(shí)避免因單個(gè)決策者的失誤而導(dǎo)致決策錯(cuò)誤，只有依賴各領(lǐng)域?qū)＜医M成的多人決策進(jìn)行群體決策，對(duì)此已有區(qū)間數(shù)[9]、區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)[10]等形式對(duì)其進(jìn)行廣泛研究。區(qū)間粗糙數(shù)作為處理不確定性問(wèn)題的新型數(shù)學(xué)工具，針對(duì)區(qū)間粗糙數(shù)環(huán)境下的多準(zhǔn)則群體決策值得深入研究。特別地，2011年王堅(jiān)強(qiáng)等[11]引入?yún)^(qū)間粗糙算子，在確定決策準(zhǔn)則的權(quán)重系數(shù)時(shí)應(yīng)用區(qū)間粗糙數(shù)來(lái)處理模糊性；2016 年Zheng等[12]將區(qū)間粗糙數(shù)運(yùn)用于開(kāi)發(fā)混合質(zhì)量功能展開(kāi)（QFD）模型；2017 年P(guān)amu?ar[13]基于區(qū)間粗糙數(shù)建立DEMATEL-ANP-MAIRCA混合模型解決群體多目標(biāo)決策的新方法；2019 年Stevi?等[14]將區(qū)間粗糙數(shù)和簡(jiǎn)單加權(quán)法結(jié)合對(duì)供應(yīng)商選擇的多準(zhǔn)則決策的問(wèn)題進(jìn)行處理，均得到較好的結(jié)果。但在現(xiàn)實(shí)情況中，方案間的相關(guān)性是實(shí)際決策需要考慮的關(guān)鍵之一，已有的研究中發(fā)現(xiàn)，大部分模型在求解準(zhǔn)則權(quán)重時(shí)僅考慮了準(zhǔn)則間的聯(lián)系，忽視方案間的相關(guān)性。因此，本文利用面積比的思想提出一種新的區(qū)間粗糙數(shù)相似度公式，以描述方案間的聯(lián)系，建立模型求解準(zhǔn)則權(quán)重。本文中的相似度公式將上下近似區(qū)間的半徑和中心點(diǎn)距離考慮在內(nèi)，減少擾動(dòng)，同時(shí)不需要專家的主觀權(quán)重，計(jì)算更簡(jiǎn)便，結(jié)果更客觀。

值得注意的是，在2019 年Cheng[15]等研究區(qū)間粗糙數(shù)信息系統(tǒng)時(shí)提到區(qū)間粗糙數(shù)相似度有較好的應(yīng)用價(jià)值，然而目前仍處于理論階段。因此，本文首次將區(qū)間粗糙數(shù)相似度運(yùn)用到實(shí)際的決策問(wèn)題中，對(duì)其進(jìn)行應(yīng)用擴(kuò)充。此外，本文還對(duì)已有的區(qū)間粗糙數(shù)構(gòu)造方法進(jìn)行改進(jìn)，使之滿足定義條件，提高結(jié)果的準(zhǔn)確性。最后，本文通過(guò)熵值法反映準(zhǔn)則的客觀聯(lián)系，通過(guò)區(qū)間粗糙相似度反應(yīng)各方案與標(biāo)準(zhǔn)方案之間的相關(guān)性，建立多目標(biāo)優(yōu)化模型求解權(quán)重，進(jìn)而獲得決策的排序結(jié)果，使排序結(jié)果更加貼近實(shí)際需求，為解決偏好值為區(qū)間數(shù)或區(qū)間粗糙數(shù)的多準(zhǔn)則決策問(wèn)題擴(kuò)展了新方法。

1 理論基礎(chǔ)

定義1[8]（區(qū)間粗糙數(shù)）一個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)是下近似和上近似均為區(qū)間的粗糙變量，記為：

其中c≤a≤b≤d，[a，b]為下近似區(qū)間，表示粗糙變量的極有可能取值范圍，[c，d]為上近似區(qū)間，表示粗糙變量的確定取值范圍。

定義2[8]（區(qū)間粗糙數(shù)的基本運(yùn)算）設(shè)ξi=（[ai，bi]，[ci，di]）（i=1，2）為 兩個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)，k為實(shí)數(shù)，則有

在已有的文獻(xiàn)中，構(gòu)造的區(qū)間粗糙數(shù)并不滿足定義1 中的c≤a≤b≤d這一條件，而本文中對(duì)區(qū)間粗糙數(shù)構(gòu)造方法的改進(jìn)，能夠使之滿足定義1 中的條件。

目前對(duì)區(qū)間粗糙數(shù)的相似度研究均是在區(qū)間相似度的基礎(chǔ)上定義的，并且專家會(huì)對(duì)上下近似區(qū)間賦予一定的主觀權(quán)重，這會(huì)使兩個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)之間的相似度帶有主觀影響。本文將區(qū)間粗糙數(shù)作為整體，采用面積比的思想，并考慮上、下近似區(qū)間的半徑和中心點(diǎn)距離因素，以減少對(duì)相似度的干擾，由于避免專家對(duì)上、下近似區(qū)間的主觀賦值，結(jié)果會(huì)更加客觀。

2 基于相似度的區(qū)間粗糙數(shù)多準(zhǔn)則群體決策模型

2.1 區(qū)間粗糙數(shù)多準(zhǔn)則問(wèn)題描述

基于上述決策群體的偏好矢量矩陣A′，綜合準(zhǔn)則的主客觀聯(lián)系，應(yīng)用區(qū)間粗糙數(shù)獲得相似度最大時(shí)對(duì)應(yīng)的決策方案，也就是群體決策結(jié)果。

2.2 規(guī)范化處理

決策準(zhǔn)則分為效益型和成本型兩種，分別針對(duì)這兩種類型的準(zhǔn)則，對(duì)上述區(qū)間粗糙決策偏好矩陣（2）進(jìn)行規(guī)范化[8]處理。

1） 對(duì)于收益型準(zhǔn)則，轉(zhuǎn)換公式為

2） 對(duì)于成本型準(zhǔn)則，轉(zhuǎn)換公式為

將偏好矩陣歸一化處理后，得到如下規(guī)范化偏好矩陣：

將第j列準(zhǔn)則上m個(gè)方案的平均值作為每個(gè)成員的標(biāo)準(zhǔn)方案，即

2.3 決策準(zhǔn)則權(quán)重的確定

決策準(zhǔn)則權(quán)重的求解結(jié)合熵權(quán)法和相似最大化的方法。對(duì)于熵值法，若在多準(zhǔn)則決策問(wèn)題中，準(zhǔn)則對(duì)決策方案的影響越大，那么其所占比重也越大，故建立如下極大熵模型：

而在整個(gè)決策方案中，方案間也存在相關(guān)聯(lián)系。因此，建立各方案與標(biāo)準(zhǔn)方案的相似度最大化模型，以達(dá)到整體綜合決策最接近標(biāo)準(zhǔn)方案的目標(biāo)，模型如下：

上述為多目標(biāo)規(guī)劃模型，利用線性加權(quán)，將其轉(zhuǎn)為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，如下：

由于 λ作為參數(shù)，可對(duì)它進(jìn)行賦值，故在解該模型時(shí)，λ作為常數(shù)，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

2.4 綜合決策值

2.5 決策方案排序

根據(jù)定義3 及式（10），易知綜合決策值中的元素均為區(qū)間粗糙數(shù)，根據(jù)定義4 的可能度計(jì)算公式，可以得到方案的可能度比較矩陣：P=（Ppq（Zp≥Zq））m×m，其中1 ≤p，q≤m。最后根據(jù)模糊互補(bǔ)判斷矩陣[17]排序算法：

最后得到方案的排序向量為

2.6 方法步驟

1）步驟1。根據(jù)定義5，將區(qū)間數(shù)的偏好矩陣轉(zhuǎn)化成區(qū)間粗糙數(shù)偏好矩陣A’；

2）步驟2。根據(jù)公式（3）（4），將區(qū)間粗糙數(shù)矩陣規(guī)范化處理；接著根據(jù)公式（6），得到標(biāo)準(zhǔn)方案，并添加到區(qū)間粗糙偏好矩陣最后一行，得到擴(kuò)展區(qū)間粗糙偏好矩陣；

3）步驟3。根據(jù)定義6，建立極大熵和決策方案相似度最大模型（9），求解決策準(zhǔn)則的權(quán)重；

4）步驟4。分別賦予決策成員客觀權(quán)重ω=（ω1，ω2，···，ωl），根據(jù)定義3，集結(jié)決策成員的權(quán)重和決策準(zhǔn)則的權(quán)重，得到?jīng)Q策方案的綜合權(quán)重值Z；

5）步驟5。根據(jù)定義4 的可能度計(jì)算公式，可計(jì)算得到可能度計(jì)算公式P；最后由公式（10）（11）得到各方案最終的排序向量v=（v1，v2，···，vm），值越大，方案越優(yōu)。

3 實(shí)例分析

3.1 實(shí)例過(guò)程

采用文獻(xiàn)[9]中的市場(chǎng)投資實(shí)例，來(lái)說(shuō)明所提方法的有效性。

現(xiàn)投資公司擬進(jìn)行一項(xiàng)投資，有4 個(gè)方案，記為U=（U1，U2，U3，U4），對(duì)應(yīng)3 個(gè)投資準(zhǔn)則，記為D=（D1，D2，D3），組織各個(gè)投資領(lǐng)域的 20名專家組成的決策群體，記為G=（e1，e2，···，e20）。用區(qū)間數(shù)來(lái)表示各專家的決策偏好值，設(shè)定初始評(píng)價(jià)的10 個(gè)評(píng)分等級(jí)為1 ～10。

1）步驟1。首先，為了使結(jié)果更貼近實(shí)際，根據(jù)定義5，將原始區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)換成粗糙區(qū)間數(shù)，根據(jù)公式（3），將區(qū)間粗糙數(shù)矩陣規(guī)范化處理，規(guī)范化后數(shù)據(jù)如表1所示；

2）步驟2。根據(jù)公式（6），得到標(biāo)準(zhǔn)方案，并添加到區(qū)間粗糙偏好矩陣最后一行，得到擴(kuò)展區(qū)間粗糙偏好矩陣，即表1中的第5 行；

表1 規(guī)范化后的擴(kuò)展偏好區(qū)間粗糙信息表

續(xù)表 1

3）步驟3。根據(jù)定義6，建立極大熵和決策準(zhǔn)則相似度最大模型，根據(jù)目標(biāo)規(guī)劃，取λ=0.2，求解決策準(zhǔn)則的權(quán)重，如下表2所示；

4）步驟4。分別賦予決策成員客觀權(quán)重，此時(shí)，我們直接取文獻(xiàn)[9]中決策成員的權(quán)重，如下表3所示；根據(jù)定義3，綜合決策成員的權(quán)重和決策準(zhǔn)則的權(quán)重，得到?jīng)Q策方案的綜合權(quán)重值為：

表2 決策準(zhǔn)則權(quán)重

表3 決策成員權(quán)重

5）步驟5。根據(jù)定義4 的可能度計(jì)算公式，取系數(shù) λ1=λ2=λ3=λ4=，得可能度矩陣：

最后由公式（11）得到各方案的最終的排序向量

因此，投資優(yōu)先順序?yàn)閁4＞U1＞U2＞U3，則投資第4 個(gè)方案最佳。

注：本文的方法得到的排序結(jié)果與文獻(xiàn)[9]得到的排序結(jié)果一致，因此，可證實(shí)本文的方法的有效性與合理性。

3.2 結(jié)果分析

在建立單目標(biāo)規(guī)劃模型（9）時(shí)，加入?yún)?shù) λ，這時(shí)需要考慮 λ的不同賦值對(duì)結(jié)果有何影響。λ的取值由決策者主觀偏好決定，當(dāng)λ ＞0.5時(shí)，表明決策者更偏向決策方案與標(biāo)準(zhǔn)方案內(nèi)部的相關(guān)性；當(dāng)λ=0.5時(shí)，認(rèn)為決策者對(duì)兩者態(tài)度一致；當(dāng)λ ＜0.5時(shí)，表明決策者偏向決策準(zhǔn)則之間的客觀聯(lián)系。本文分別取 λ=0.2，λ=0.5，λ=0.8，進(jìn)行比較分析，排序結(jié)果如表4所示。

表4 決策者不同態(tài)度的排序結(jié)果對(duì)比

分析上述結(jié)果：當(dāng) λ=0.2時(shí)，即決策者態(tài)度偏向準(zhǔn)則之間的客觀聯(lián)系時(shí)，最優(yōu)方案為U4，方案優(yōu)劣與文獻(xiàn)[9]一致，說(shuō)明已有的排序方法均考慮準(zhǔn)則之間的客觀聯(lián)系；當(dāng)λ =0.5時(shí)，此時(shí)決策者賦予客觀聯(lián)系和內(nèi)部相關(guān)性同等態(tài)度，U1為最優(yōu)方案，此時(shí)方案優(yōu)劣次序稍有變動(dòng)；當(dāng)λ =0.8時(shí)，即各方案之間的相關(guān)性被賦予較大權(quán)重時(shí)，可知最優(yōu)方案為U1。觀察不同態(tài)度下的結(jié)果可知，不管決策者的決策偏好是準(zhǔn)則間的客觀聯(lián)系，還是方案間的相似性，方案U1和U4是可以優(yōu)先考慮的策略。

由分析可知，對(duì)于準(zhǔn)則權(quán)重的計(jì)算，將其內(nèi)部關(guān)聯(lián)性考慮在內(nèi)時(shí)，根據(jù)決策者的態(tài)度不同，結(jié)果具有靈活性，因此，本文所提方法合理有效。

4 結(jié)論

在實(shí)際問(wèn)題中，區(qū)間粗糙數(shù)更貼近現(xiàn)實(shí)情況，因此在已有研究的基礎(chǔ)上，本文首先給出由區(qū)間數(shù)來(lái)定義區(qū)間粗糙數(shù)的方法。接著在區(qū)間粗糙信息系統(tǒng)下，針對(duì)準(zhǔn)則權(quán)重未知的多準(zhǔn)則群體決策問(wèn)題，本文提出一種基于面積法的相似度的決策方法。該法以極大熵和相似最大化為目標(biāo)，建立多目標(biāo)優(yōu)化模型，確定準(zhǔn)則權(quán)重，然后，聚合決策成員權(quán)重，結(jié)合區(qū)間粗糙數(shù)的可能度，對(duì)方案進(jìn)行綜合排序。該法不僅能反映準(zhǔn)則間的客觀聯(lián)系，而且也考慮了方案間的相關(guān)性，得到的結(jié)果更加貼合實(shí)際需求。此外，本文首次將區(qū)間粗糙數(shù)相似度理論用于實(shí)際決策中，豐富了區(qū)間粗糙數(shù)相似度的研究?jī)?nèi)容，并通過(guò)實(shí)例證明該方法是合理的、有效的。