基于各向異性誤差相似度的六自由度機(jī)器人定位誤差補(bǔ)償

高貫斌，牛錦鵬，劉 飛*，那 靖

（1.昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，云南 昆明 650500；2.昆明理工大學(xué) 云南省先進(jìn)裝備智能控制及應(yīng)用國際聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，云南 昆明 650500）

1 引 言

機(jī)器人的定位精度是機(jī)器人的主要性能指標(biāo)之一，包括重復(fù)定位精度和絕對定位精度。機(jī)器人一般具有較高的重復(fù)定位精度，可達(dá)0.02 mm，而絕對定位精度偏低，可能只有1~3 mm［1］，無法滿足精密裝配、加工和離線編程等應(yīng)用的要求［2］。影響機(jī)器人絕對定位精度的因素有很多，主要包括：（1）制造及裝配過程中的誤差導(dǎo)致機(jī)器人的連桿及關(guān)節(jié)實(shí)際尺寸與其設(shè)計(jì)值之間產(chǎn)生偏差；（2）連桿及關(guān)節(jié)零件受力變形導(dǎo)致機(jī)器人關(guān)節(jié)和連桿的尺寸發(fā)生變化，其中包括了永久性的塑形變形以及在負(fù)載和重力作用下的彈性變形；（3）關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差，包括運(yùn)動副磨損和變形引起的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差、傳動機(jī)構(gòu)誤差、位置傳感器誤差等；（4）其他誤差，如溫濕度變化引起的結(jié)構(gòu)尺寸的變化、伺服系統(tǒng)的控制及執(zhí)行誤差等。對于不同種類的機(jī)器人，上述的每一種因素都可能成為影響機(jī)器人絕對定位精度的主要因素［3］。針對如何提高機(jī)器人絕對定位精度的問題，國內(nèi)外學(xué)者做了大量的研究，其中大部分都是采用機(jī)器人運(yùn)動學(xué)標(biāo)定的方法。機(jī)器人運(yùn)動學(xué)標(biāo)定可以分為基于模型的運(yùn)動學(xué)參數(shù)標(biāo)定和非模型運(yùn)動學(xué)標(biāo)定［4］。

基于模型的運(yùn)動學(xué)標(biāo)定一般分為建模、測量、參數(shù)辨識和誤差補(bǔ)償四個步驟［5］。建模分為運(yùn)動學(xué)模型和誤差模型的建立，測量一般采用激光跟蹤儀［6］或坐標(biāo)測量機(jī)［7］等大量程精密測量儀器、參數(shù)辨識主要采用最小二乘法、擴(kuò)展卡爾曼濾波算法、遺傳算法和群智能優(yōu)化算法等，誤差補(bǔ)償分為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角補(bǔ)償和參數(shù)誤差直接補(bǔ)償［8］等。其中，很多學(xué)者針對機(jī)器人參數(shù)辨識方法的改進(jìn)做了大量的研究。由于機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)誤差模型是一個非線性模型，可以通過忽略高階誤差項(xiàng)來線性化機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)模型，Grotjahn等［9］使用最小二乘法（Least Square algorithm，簡稱LS算法）來進(jìn)行參數(shù)辨識，使得機(jī)器人的絕對定位精度提高。Jiang等［10］提出一種基于擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）和粒子濾波（Particle Filter，PF）算法的運(yùn)動學(xué)標(biāo)定，該方法可用于具有非高斯噪聲的高度非線性機(jī)器人運(yùn)動系統(tǒng)，使得收斂速度更快，辨識精度更高。喬貴方等［11］使用天牛須搜索算法（Beetle Anten?nae Search，BAS）和粒子群算法（Particle Swarm Optimizationm，PSO）的混合辨識算法對機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)進(jìn)行辨識，驗(yàn)證了該算法具有較好的收斂速度和辨識精度。運(yùn)動學(xué)標(biāo)定方法通?？梢詫C(jī)器人的定位精度從毫米量級提升到0.3~0.8 mm［12-14］，但這個精度尚無法滿足高精度的應(yīng)用場合，如精密測量、加工等。

非模型運(yùn)動學(xué)標(biāo)定方法不需要辨識機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)參數(shù)，只考慮機(jī)器人的末端位置誤差和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角間的映射關(guān)系［15］。其中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測是一種典型的非模型標(biāo)定方法，相關(guān)學(xué)者做了大量的工作［16-19］，但是訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要海量的數(shù)據(jù)，特別是對于自由度（Degree of Frecdom，DoF）較多的如六自由度（6-DoF）及以上的機(jī)器人來說需要采集相當(dāng)多的關(guān)節(jié)角數(shù)據(jù)和末端位姿數(shù)據(jù)才能保證神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的泛化能力，這在實(shí)際應(yīng)用中是非常困難的。此外，空間插值補(bǔ)償法也是一種非模型運(yùn)動學(xué)標(biāo)定方法，很多學(xué)者在這方面做了大量的研究，周煒等［20］使用反距離加權(quán)的空間插值誤差補(bǔ)償方法對機(jī)器人的末端位置誤差進(jìn)行補(bǔ)償，使得機(jī)器人的絕對定位精度有近一個數(shù)量級的提高。高貫斌等［21］提出一種基于機(jī)器人運(yùn)動學(xué)標(biāo)定和關(guān)節(jié)空間插值補(bǔ)償?shù)姆椒?，首先通過運(yùn)動學(xué)參數(shù)辨識使機(jī)器人的末端位置誤差降低，再在關(guān)節(jié)空間中使用反距離加權(quán)法對誤差插值補(bǔ)償，使機(jī)器人的軌跡精度進(jìn)一步提高；Cao等［22］提出一種關(guān)節(jié)空間誤差補(bǔ)償方法，將機(jī)器人工作空間劃分為兩個三維子空間，在各個空間中分別使用反距離加權(quán)法對誤差進(jìn)行插值補(bǔ)償，最終使得末端位置誤差明顯降低；石章虎等［23］提出基于自動導(dǎo)航小車（Automated Guided Vehicle，AGV）式移動制孔機(jī)器人的反距離加權(quán)空間插值補(bǔ)償方法，克服了當(dāng)前技術(shù)對于移動制孔機(jī)器人定位誤差補(bǔ)償?shù)谋锥耍行Ы档土酥瓶椎亩ㄎ徽`差。

上述研究采用反距離加權(quán)空間插值誤差補(bǔ)償法來提高機(jī)器人定位精度，但該方法僅以距離作為權(quán)值評價指標(biāo)過于單一，未考慮誤差的各向異性分布；而且，在定位點(diǎn)距離某個參考點(diǎn)較近時，其他參考點(diǎn)誤差的權(quán)值相對較大，不太符合誤差相似性原理。為此，本文開展機(jī)器人工作空間中定位誤差相似性研究，分析參考點(diǎn)的方位對定位點(diǎn)誤差的影響，構(gòu)建考慮距離和方向的誤差傳遞函數(shù)，提出各向異性的相似度建模方法，并基于該方法對定位點(diǎn)各方向的誤差進(jìn)行預(yù)測和補(bǔ)償，最后通過實(shí)驗(yàn)對補(bǔ)償?shù)木群瓦m應(yīng)性進(jìn)行測試。

2 機(jī)器人誤差建模

2.1 運(yùn)動學(xué)建模

機(jī)器人運(yùn)動學(xué)分為正運(yùn)動學(xué)和逆運(yùn)動學(xué)。正運(yùn)動學(xué)是已知機(jī)器人各個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，通過坐標(biāo)變換計(jì)算出機(jī)器人在基坐標(biāo)系下的末端位姿，常用的建模方法有Denavit-Hartenberg（DH）法［24］、Modified D-H（MD-H）法［25］和 指 數(shù) 積法［26］等。而逆運(yùn)動學(xué)是已知機(jī)器人末端位姿，通過逆解計(jì)算出機(jī)器人的各個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，常用方法有解析法［27］和數(shù)值法［28］等。本文以某六自由度機(jī)器人為實(shí)驗(yàn)研究對象開展研究，其外形如圖1所示。

圖1 六自由度機(jī)器人Fig.1 A six degree of freedom robot

依據(jù)MD-H規(guī)則建立了機(jī)器人的坐標(biāo)系統(tǒng)，如圖2所示，由此得到的運(yùn)動學(xué)參數(shù)名義值如表1所示。表1中的ai-1表示第i-1關(guān)節(jié)的連桿長度，即關(guān)節(jié)軸i-1和關(guān)節(jié)軸i之間公垂線的長度；αi-1表示連桿扭轉(zhuǎn)角，即軸i-1繞ai-1轉(zhuǎn)向軸i兩軸線之間的夾角；θi表示關(guān)節(jié)i的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，即兩相鄰連桿繞公共軸線旋轉(zhuǎn)的夾角；di表示連桿i偏距，即沿兩個相鄰連桿公共軸線方向的距離。

根據(jù)坐標(biāo)齊次變換原理，連桿i-1和連桿i之間的相對位姿關(guān)系可以用平移和旋轉(zhuǎn)變換描述為：

其中，αi-1是繞xi-1軸旋轉(zhuǎn)，從zi-1旋轉(zhuǎn)到zi的角度；ai-1是沿xi-1軸，從zi-1移動到zi的距離；θi是繞zi軸，從xi-1旋轉(zhuǎn)到xi的角度；di是沿zi軸，從xi-1移動到xi的距離。

表1 六自由度機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)名義值Tab.1 Kinematic parameter nominal values of the 6-DoF robot

圖2 六自由度機(jī)器人的坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.2 Coordinate systems of the 6-DoF robot

各相鄰連桿矩陣相乘可以得到機(jī)器人末端坐標(biāo)系在基坐標(biāo)系下的位姿矩陣：

通過式（1）和式（2），將機(jī)器人的末端坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到基坐標(biāo)系下，其位姿矩陣描述為如下形式：

其中：R為3×3的姿態(tài)矩陣，表示末端坐標(biāo)系相對于基坐標(biāo)系的姿態(tài)向量；P為3×1的位置向量，表示末端坐標(biāo)系原點(diǎn)在基坐標(biāo)系中的位置。

2.2 機(jī)器人位置誤差建模

通過運(yùn)動學(xué)建?？芍?，機(jī)器人的末端位置是由αi-1、ai-1、θi、di這 四組、共24個 運(yùn) 動學(xué)參數(shù)決 定的，因此可以將機(jī)器人的末端位置P表示為各運(yùn)動學(xué)參數(shù)的函數(shù)Q，函數(shù)Q的具體形式如下式所示：

通過（4）式和相關(guān)學(xué)者的研究［29］可知，機(jī)器人的末端位置誤差ΔP很大一部分是由于運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差引起的，即ΔP受到運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差Δαi-1、Δai-1、Δθi、Δdi的影響，這些參數(shù)誤差傳遞到機(jī)器人末端，使機(jī)器人末端的絕對定位精度變差。因此需要建立誤差模型，對機(jī)器人末端誤差進(jìn)行補(bǔ)償，才能有效提高機(jī)器人的絕對定位精度。由于采集的機(jī)器人實(shí)際末端位置P′包含各運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差，因此將機(jī)器人的末端位置P′表示為如下形式：

則末端位置誤差可以表示為：

按照微小誤差原理，將誤差進(jìn)行線性化處理得：

將運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差向量Δe表示為：

其中：i=1，2，…，n，n為機(jī)器人的自由度數(shù)，則誤差函數(shù)可以寫為如下形式：

其中，J為雅克比矩陣。

由此，建立了機(jī)器人位置誤差模型，為后續(xù)的機(jī)器人末端位置誤差分析和補(bǔ)償提供了基礎(chǔ)。

3 空間插值精度補(bǔ)償模型

3.1 機(jī)器人位置誤差相似度

通過2.2節(jié)建立的機(jī)器人末端位置誤差模型可知，機(jī)器人的末端位置誤差與機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)參數(shù)有關(guān)。對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的機(jī)器人而言，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi為變量，其余運(yùn)動學(xué)參數(shù)均是常量；對于有移動關(guān)節(jié)的機(jī)器人而言，連桿偏距di為變量，其余運(yùn)動學(xué)參數(shù)為常量。本文的研究對象為六自由度轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)機(jī)器人，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi為變量，其余參數(shù)均為常量，由此可以將機(jī)器人末端位置誤差表示為各個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的函數(shù)，如式（10）所示：

因此，當(dāng)兩個定位點(diǎn)對應(yīng)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角接近程度達(dá)到一定的范圍，不僅機(jī)器人末端位置接近，其位置誤差矢量也比較接近，則一個定位點(diǎn)的位置誤差矢量可以用另外一個點(diǎn)的位置誤差矢量來表示。其中，用關(guān)節(jié)角的歐式距離ρ來表示關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角間的接近程度［20］：

其中，θ1i為第一個定位點(diǎn)的第i個關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角度，θ2i為第二個定位點(diǎn)的第i個關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角度，i=1，2，…，6。

如 圖3所 示，Pj表 示 名 義 末 端 位 置、Pj′表 示實(shí)際末端位置、ΔPj=Q(θji)表示第j組關(guān)節(jié)角對應(yīng)的末端位置誤差，用|ΔP1-ΔP2|的大小來衡量P1點(diǎn)的位置誤差矢量ΔP1和P2點(diǎn)的位置誤差矢量ΔP2的接近程度，當(dāng)關(guān)節(jié)角θ1i與θ2i比較接近（即ρ比較?。r，|ΔP1-ΔP2|比較小，表明P1點(diǎn)和P2點(diǎn)之間的誤差相似度高。

圖3 位置誤差矢量相似度示意圖Fig.3 Diagram of similarity of the position error vector

上述討論了兩個定位點(diǎn)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角相近時，其末端位置誤差矢量也相似。對于n個定位點(diǎn)，若它們之間的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角比較接近，則n個定位點(diǎn)的位置誤差矢量也比較接近。若想求得在n個定位點(diǎn)之間的某個未知定位點(diǎn)的位置誤差矢量，可以通過n個已知定位點(diǎn)的誤差進(jìn)行預(yù)測，即通過已知定位點(diǎn)的誤差，利用誤差相似性建立數(shù)學(xué)模型來計(jì)算未知定位點(diǎn)的誤差。

3.2 反距離加權(quán)插值補(bǔ)償法

目前，通常采用空間插值的方法根據(jù)已知定位點(diǎn)誤差數(shù)據(jù)來預(yù)測未知點(diǎn)誤差，常用的空間插值方法有徑向基函數(shù)法、反距離加權(quán)法和克里金插值法［30］等，其中，反距離加權(quán)法因其形式簡單，插值精度高等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛使用。反距離加權(quán)法是當(dāng)前主流的空間插值補(bǔ)償方法，它是一種加權(quán)平均算法，以兩點(diǎn)之間的距離的倒數(shù)作為權(quán)值，即距離越近，相互影響的權(quán)值因子越大；距離越遠(yuǎn)，相互影響的權(quán)值因子就越小。當(dāng)參考點(diǎn)分布比較均勻時，插值點(diǎn)的逼近程度也比較好，且計(jì)算簡單、運(yùn)算速度快。但其存在以下問題：

（1）權(quán)值評價指標(biāo)選擇單一。通過圖3可以看出，若要通過P1點(diǎn)的誤差來計(jì)算P2點(diǎn)的誤差，除了距離之外，還應(yīng)考慮P2點(diǎn)和P1點(diǎn)各方向誤差相似性的差異。雖然在仿真中誤差具有很好的空間相似性，但實(shí)際應(yīng)用中采集的數(shù)據(jù)往往受到測量誤差、環(huán)境誤差等誤差的影響，使得誤差的空間相似性與仿真存在差異，同時導(dǎo)致坐標(biāo)各方向的誤差相似性也存在差異?；诖藛栴}，需要根據(jù)坐標(biāo)各方向的誤差相似性選擇不同的權(quán)值評價指標(biāo)進(jìn)行插值補(bǔ)償。

（2）分配到各網(wǎng)格參考點(diǎn)處的權(quán)值過于平均。根據(jù)反距離加權(quán)插值補(bǔ)償法的原理，通過仿真分析了距離與其權(quán)值之間的關(guān)系，仿真數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 反距離權(quán)值Tab.2 Inverse distance weights

由表2數(shù)據(jù)可知，即使距離定位點(diǎn)較近的網(wǎng)格參考點(diǎn)所分配到的權(quán)值也不會遠(yuǎn)大于其他網(wǎng)格參考點(diǎn)所分配到的權(quán)值，使得誤差相似性的特性不能充分發(fā)揮，同時，其他網(wǎng)格參考點(diǎn)分配到的權(quán)值相對較大，使得定位點(diǎn)的插值精度受到的影響過大。由此，需要構(gòu)建差異化較大的權(quán)值評價函數(shù)，即距離定位點(diǎn)較近的網(wǎng)格參考點(diǎn)所分配到的權(quán)值要遠(yuǎn)大于距離定位點(diǎn)較遠(yuǎn)的網(wǎng)格參考點(diǎn)所分配到的權(quán)值。

3.3 機(jī)器人位置誤差權(quán)值評價函數(shù)

針對反距離加權(quán)法存在的問題，本文提出一種各向異性的空間插值補(bǔ)償方法。在考慮了參考點(diǎn)到定位點(diǎn)距離的倒數(shù)作為權(quán)值評價指標(biāo)之外，本文提出一種以角度余弦值的倒數(shù)作為另一個權(quán)值評價指標(biāo)。為使得參考點(diǎn)在機(jī)器人的工作空間分布均勻，將機(jī)器人工作空間按照一定的步長劃分為一系列的立方體網(wǎng)格，如圖4所示，每個立方體網(wǎng)格的頂點(diǎn)誤差可以通過測量設(shè)備如激光跟蹤儀等測量得到。每個立方體網(wǎng)格有八個頂點(diǎn)Ki（Xi′，Yi′，Zi′）（i=1，2，…，8），如圖5所示，這八個頂點(diǎn)可以用來計(jì)算立方體內(nèi)任意一個定位點(diǎn)K（X，Y，Z）的誤差。圖5中K0（X0′，Y0′，Z0′）為網(wǎng)格中心點(diǎn)，其到各個網(wǎng)格頂點(diǎn)的距離一致，用di（i=1，2，…，8）表示八個網(wǎng)格參考點(diǎn)到定位點(diǎn)的距離，基于3.1節(jié)的分析可知距離相近的點(diǎn)其誤差也相近，因此，其距離的倒數(shù)可作為權(quán)值評價指標(biāo)，即距離評價函數(shù)。

圖4 機(jī)器人工作空間網(wǎng)格劃分Fig.4 Meshing of robot workspace

如圖5所示，K、K0和網(wǎng)格頂點(diǎn)Ki可構(gòu)成一個三角形，αi（i=1，2，…，8）表示三角形的邊K0K與KKi的夾角，di表示K點(diǎn)與各網(wǎng)格參考點(diǎn)之間的距離。當(dāng)K點(diǎn)位置變化時，di和αi隨之變化，如圖6所示，當(dāng)K點(diǎn)的位置變換到K′點(diǎn)時，di和αi也相應(yīng)轉(zhuǎn)變成di′和αi′，可以看出：d1變大了，而α1變小了，d2變小了，而α2變大了。

圖5 空間網(wǎng)格頂點(diǎn)和定位點(diǎn)關(guān)系Fig.5 Relationships of spatial mesh vertices and position?ing points

圖6 距離與夾角關(guān)系圖Fig.6 Relationship between distance and angle

由圖6，在△KK0Ki中，根據(jù)余弦定理可得：

由式（12）可以看出，當(dāng)|K0K|和|K0Ki|不變時，隨著di變小，夾角αi不斷增大，余弦值不斷減小。因?yàn)樵?0°到180°之間余弦值處于負(fù)值，為了方便比較大小，在夾角余弦值的基礎(chǔ)上加上整數(shù)τ，使函數(shù)值完全為正值，其中τ≥1，其值通常取1。將τ+cosαi的倒數(shù)ξ作為權(quán)值評價指標(biāo)，即方向評價函數(shù)。則考慮距離和方向的機(jī)器人末端位置誤差權(quán)值評價函數(shù)可以定義為：

其中：γi=1/di、ξi=1/（τ+cosαi）；μ1和μ2為權(quán)值系數(shù)，決定權(quán)值評價指標(biāo)γ和ξ在總權(quán)值中所占的 比 重，當(dāng)μ1=1、μ2=0時，距 離 評 價 函 數(shù) 起 作用，當(dāng)μ1=0、μ2=1時，方向評價函數(shù)起作用；r為加權(quán)冪指數(shù)，通常情況下r=1。

所構(gòu)建的插值補(bǔ)償方法可以用各參考點(diǎn)的位置誤差預(yù)測出立方體網(wǎng)格中任意定位點(diǎn)的位置誤差ΔP′=(ΔX′，ΔY′，ΔZ′)T：

由此，本文將機(jī)器人工作空間劃分為一系列立方體網(wǎng)格，在立方體網(wǎng)格中分析了定位點(diǎn)與各參考點(diǎn)之間距離和夾角的關(guān)系，構(gòu)建了距離評價函數(shù)和方向評價函數(shù)，從而綜合提出一種包含距離和方向的誤差相似度評價函數(shù)。

3.4 基于誤差相似度的位置誤差補(bǔ)償方法

由3.1節(jié)分析可知，在空間網(wǎng)格中，誤差具有相近相似原理，當(dāng)定位點(diǎn)和網(wǎng)格參考點(diǎn)比較接近時，其兩點(diǎn)之間的誤差更具有相似性，空間插值算法在此網(wǎng)格頂點(diǎn)處所占的權(quán)值也要比其他網(wǎng)格頂點(diǎn)處所占的權(quán)值要大。由3.2節(jié)分析可知，距離評價函數(shù)權(quán)值分配比較平均，而本文所提方法方向評價函數(shù)對于較近的定位點(diǎn)具有更大的權(quán)值，使得定位點(diǎn)能分配到距離較近的參考點(diǎn)更多的誤差，從而能得到比較好的插值效果。但是，在實(shí)際應(yīng)用中，機(jī)器人末端位置誤差的空間相似性在x、y、z三個方向上存在差異，并不能保證三個方向的誤差相似性都是一致的，因此可以使用式（16）計(jì)算網(wǎng)格各參考點(diǎn)的誤差加權(quán)平均和和 對應(yīng)網(wǎng)格定位點(diǎn)ΔP在x、y、z三個方向上的誤差相似度：

其中：qi1為γ構(gòu)建的權(quán)值，qi2為ξ構(gòu)建的權(quán)值。根據(jù)式（16）可知，若網(wǎng)格各參考點(diǎn)的誤差加權(quán)平均和與插值定位點(diǎn)的誤差差距越小，則誤差相似度ω越大；若網(wǎng)格各參考點(diǎn)的誤差加權(quán)平均和與插值定位點(diǎn)的誤差差距越大，則誤差相似度ω越小。比較x、y、z各方向誤差相似度ω1和ω2的大小，如式（17）所示：

在x、y、z三個方向上，若某個方向的誤差相似度ω1大于或等于ω2，則采用距離評價函數(shù)進(jìn)行插值補(bǔ)償；若某個方向的誤差相似度ω1小于ω2，則采用方向評價函數(shù)進(jìn)行插值補(bǔ)償；分情況使用使得兩種權(quán)值能夠發(fā)揮出本身的特性，即各網(wǎng)格參考點(diǎn)與插值定位點(diǎn)誤差相似性較好時，由于方向評價函數(shù)權(quán)值差異大，ω2將大于ω1，此時插值結(jié)果較好；若各網(wǎng)格參考點(diǎn)與插值定位點(diǎn)誤差相似性一般時，由于距離評價函數(shù)權(quán)值比較平均，ω1將大于ω2，此時插值結(jié)果較好。因此，兩種權(quán)值在不同的情況下使用將使得插值結(jié)果優(yōu)于單一權(quán)值的插值結(jié)果。同時需要注意的是，文中提出的兩定位點(diǎn)對應(yīng)的各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角較接近，機(jī)器人各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角通過較小的改變就可以從一點(diǎn)移動到下一點(diǎn)，則可以認(rèn)為當(dāng)兩點(diǎn)位置比較接近時，其末端位置誤差具有相似性。

通過3.3節(jié)提出的包含距離和方向的誤差相似度評價函數(shù)，本節(jié)在此基礎(chǔ)上考慮了實(shí)際應(yīng)用中坐標(biāo)軸各方向的誤差相似性存在差異，構(gòu)建了一種各向異性的誤差補(bǔ)償方法，該方法的有效性將在第4部分通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。

3.5 誤差補(bǔ)償方法

通過空間插值預(yù)測出定位點(diǎn)的位置誤差，將該誤差補(bǔ)償?shù)綑C(jī)器人末端名義位置上就可以得到補(bǔ)償值，用補(bǔ)償后的末端坐標(biāo)逆解出關(guān)節(jié)角，用該關(guān)節(jié)角驅(qū)動機(jī)器人就可以提高機(jī)器人的絕對定位精度。若想驗(yàn)證其補(bǔ)償后的精度，則用測量儀器測量該定位點(diǎn)的實(shí)際位置。機(jī)器人末端位置補(bǔ)償后為：

其中：P″為補(bǔ)償后的位置，P為名義位置，ΔP′為3.3節(jié)由式（15）插值得到的預(yù)測誤差。用實(shí)際值P′減去補(bǔ)償值P″即可得到補(bǔ)償后的誤差ε。

由式（19）可知，插值的精度為該定位點(diǎn)的實(shí)際誤差和預(yù)測誤差的差值，即殘差。

4 實(shí) 驗(yàn)

為驗(yàn)證本文所提補(bǔ)償方法，以某公司生產(chǎn)的六自由度EC66型機(jī)器人為實(shí)驗(yàn)對象，其末端最大負(fù)載為6 kg，重復(fù)定位精度為0.03 mm，工作半徑為914 mm；機(jī)器人運(yùn)動誤差的測量儀器為API激光跟蹤儀，測量精度為10μm+5μm/m。實(shí)驗(yàn)平臺如圖7所示。

圖7 實(shí)驗(yàn)平臺Fig.7 Experimental platform

本實(shí)驗(yàn)在邊長為200 mm的立方體工作空間中進(jìn)行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格的邊長為50 mm，網(wǎng)格數(shù)為64個。網(wǎng)格參考點(diǎn)為125個，為了說明文章所提方法的普遍適用性，在所選擇的工作空間中任意選取64個定位點(diǎn)進(jìn)行誤差預(yù)測和補(bǔ)償。

4.1 坐標(biāo)系參數(shù)預(yù)辨識

由于采集的網(wǎng)格參考點(diǎn)和定位點(diǎn)均是在激光跟蹤儀測量坐標(biāo)系下的位置，而采集的關(guān)節(jié)角通過2.1節(jié)建立的運(yùn)動學(xué)模型計(jì)算得到的機(jī)器人末端位置是在機(jī)器人基坐標(biāo)系下得到的，為了統(tǒng)一坐標(biāo)系，在進(jìn)行空間插值補(bǔ)償之前需要將兩個坐標(biāo)系對齊，找出機(jī)器人基坐標(biāo)系在激光跟蹤儀測量坐標(biāo)系下的位姿矩陣m0T，以及靶球中心相對于機(jī)器人末端法蘭中心的位姿矩陣6BT，由此可以得到機(jī)器人末端工具靶球反射中心相對于測量坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣mB T：

4.2 空間插值補(bǔ)償

按照規(guī)劃的工作空間網(wǎng)格，利用激光跟蹤儀測量各網(wǎng)格參考點(diǎn)的實(shí)際位置，計(jì)算位置誤差，隨機(jī)選取定位點(diǎn)，利用本文提出的方法對定位點(diǎn)的誤差進(jìn)行預(yù)測和補(bǔ)償，最后與現(xiàn)有的基于距離的插值補(bǔ)償方法進(jìn)行對比。具體如下：（1）使用激光跟蹤儀測量立方體網(wǎng)格各個參考點(diǎn)的實(shí)際位置并從機(jī)器人控制器中讀取相應(yīng)的關(guān)節(jié)角，將關(guān)節(jié)角帶入公式（2）中即可計(jì)算出機(jī)器人末端理論位置，將關(guān)節(jié)角和采集的實(shí)際末端坐標(biāo)帶入公式（6）中即可得到各個網(wǎng)格參考點(diǎn)的位置誤差；（2）在機(jī)器人工作空間中隨機(jī)選取64個定位點(diǎn)進(jìn)行測試，利用激光跟蹤儀測量這些點(diǎn)的實(shí)際末端位置和關(guān)節(jié)角，同步驟（1）即可得到定位點(diǎn)的末端理論位置和誤差，在這里將定位點(diǎn)的誤差稱為計(jì)算誤差；（3）采集每個網(wǎng)格的中心點(diǎn)坐標(biāo)并計(jì)算出理論位置；（4）利用公式（12）~（14）計(jì)算出|KK0|、|KKi|、|K0Ki|、距 離 評 價 函 數(shù) 和 方 向 評 價 函數(shù)，最后得到權(quán)值評價指標(biāo)qi；（5）根據(jù)前幾步計(jì)算得到的網(wǎng)格參考點(diǎn)誤差、定位點(diǎn)理論值、網(wǎng)格中心點(diǎn)坐標(biāo)和權(quán)值評價指標(biāo)qi，即可根據(jù)公式（15）預(yù)測出定位點(diǎn)的誤差，在這里將定位點(diǎn)的誤差稱為預(yù)測誤差；（6）將定位點(diǎn)的計(jì)算誤差和預(yù)測誤差做差即可計(jì)算出定位點(diǎn)殘差，即插值精度。

為了說明本文方法實(shí)現(xiàn)的步驟，從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中取出一個定位點(diǎn)，對比基于距離和基于夾角余弦值的兩種評價指標(biāo)計(jì)算的權(quán)值差異，從而研究兩種評價指標(biāo)分別在什么情況下起作用，該定位點(diǎn)到8個網(wǎng)格參考點(diǎn)的距離、夾角的余弦值、距離評價函數(shù)的權(quán)值和方向評價函數(shù)的權(quán)值如表3所示。

表3 評價函數(shù)權(quán)值Tab.3 Weights of evaluation functions

通過表3數(shù)據(jù)分析可以看出，定位點(diǎn)距離第七個網(wǎng)格參考點(diǎn)的距離比較近，夾角的余弦值也比較小，符合3.3節(jié)所提準(zhǔn)則。同時可以看出距離評價函數(shù)的權(quán)值在第七個網(wǎng)格參考點(diǎn)處比較大，權(quán)值比較大的網(wǎng)格參考點(diǎn)分配給定位點(diǎn)的誤差是最多的，因此，若第七個網(wǎng)格頂點(diǎn)的誤差相似性比較好時，該定位點(diǎn)的插值效果比較好，但是距離評價函數(shù)的權(quán)值在其他網(wǎng)格參考點(diǎn)處分配比較平均，使得定位點(diǎn)最終插值的結(jié)果受到其他網(wǎng)格參考點(diǎn)處的誤差影響比較大。而方向評價函數(shù)在第七個網(wǎng)格參考點(diǎn)處的權(quán)值比其他網(wǎng)格參考點(diǎn)處的權(quán)值都要大很多，使得該網(wǎng)格參考點(diǎn)分配到定位點(diǎn)的誤差最多，同時受到其他網(wǎng)格參考點(diǎn)的誤差影響比較小。因此，方向評價函數(shù)相比于距離評價函數(shù)在距離定位點(diǎn)較近的網(wǎng)格頂點(diǎn)處獲得的權(quán)值大，更能充分發(fā)揮出誤差相似性的優(yōu)勢。分別用距離評價函數(shù)和方向評價函數(shù)對該定位點(diǎn)補(bǔ)償后的結(jié)果如表4所示，距離評價函數(shù)插值補(bǔ)償后的誤差絕對值的最大值為0.09 mm，方向評價函數(shù)插值補(bǔ)償后的誤差絕對值的最大值為0.07 mm。

表4 兩種評價指標(biāo)插值結(jié)果Tab.4 Interpolation results of the two evaluation indexes

為了說明所提方法的普適性，將其余定位點(diǎn)分別使用距離評價函數(shù)和方向評價函數(shù)進(jìn)行插值補(bǔ)償，補(bǔ)償結(jié)果分別如圖8和9所示，補(bǔ)償后誤差絕對值的最大值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別如表5和表6所示。從圖表中可以看出，距離評價函數(shù)和方向評價函數(shù)補(bǔ)償后的誤差差別并不是很大，但是距離評價函數(shù)補(bǔ)償后的結(jié)果在部分點(diǎn)處優(yōu)于方向評價函數(shù)，方向評價函數(shù)在部分點(diǎn)處優(yōu)于距離評價函數(shù)。因此，網(wǎng)格中定位點(diǎn)的分布不同，誤差相似性也會有所變化，并且實(shí)際應(yīng)用中x、y、z各方向的誤差相似性也是不同的。由于方向評價函數(shù)的權(quán)值要大于距離評價函數(shù)，當(dāng)各網(wǎng)格參考點(diǎn)與插值定位點(diǎn)誤差相似性比較好時，誤差相似度ω2將大于ω1，采用方向評價函數(shù)可以使其發(fā)揮誤差相似性的優(yōu)勢，當(dāng)誤差相似性一般時，采用方向評價函數(shù)只會放大誤差；而距離評價函數(shù)權(quán)值分配比較平均，當(dāng)各網(wǎng)格參考點(diǎn)與插值定位點(diǎn)誤差相似性一般時，誤差相似度ω1將大于ω2，采用距離評價函數(shù)插值結(jié)果更好，當(dāng)誤差相似性比較好時，采用距離評價函數(shù)將不能充分發(fā)揮誤差相似性的特性。同時，由于x、y、z方向的誤差相似性也是不同的，對于誤差相似性ω2大于ω1的方向采用方向評價函數(shù)，對于誤差相似性ω1大于ω2的方向采用距離評價函數(shù)，綜合兩種評價指標(biāo)的優(yōu)勢，使定位點(diǎn)的插值結(jié)果變得更好，使用本文所提空間插值補(bǔ)償法插值補(bǔ)償后的結(jié)果如圖10和表7所示。

圖8 距離評價函數(shù)插值補(bǔ)償后誤差Fig.8 Post-compensation error with distance evaluation function interpolation

圖9 方向評價函數(shù)插值補(bǔ)償后誤差Fig.9 Post-compensation error with direction evaluation function interpolation

表5 距離評價函數(shù)插值補(bǔ)償后誤差Tab.5 Post-compensation error with distance evaluation function interpolation

表6 方向評價函數(shù)插值補(bǔ)償后誤差Tab.6 Post-compensation error with direction evaluation function interpolation

結(jié)果表明：距離評價函數(shù)和方向評價函數(shù)插值補(bǔ)償后誤差最大值分別為0.14 mm和0.15 mm，標(biāo)準(zhǔn)差均為0.05 mm，本文方法插值補(bǔ)償后誤差最大值為0.11 mm，標(biāo)準(zhǔn)差最大為0.04 mm，誤差最大值比前述方法分別降低了21.4%和26.7%，標(biāo)準(zhǔn)差比前述方法降低了20%。上述最大值和標(biāo)準(zhǔn)差均是描述x、y、z方向中誤差最大方向的誤差。由此可知，本文提出的各向異性空間插值補(bǔ)償方法相比于單一權(quán)值插值方法插值補(bǔ)償后的精度有了明顯的提高。

圖10 復(fù)合評價函數(shù)插值補(bǔ)償后誤差Fig.10 Post-compensation error with composite evalua?tion function interpolation

表7 考慮距離和方向的復(fù)合評價函數(shù)插值補(bǔ)償后誤差Tab.7 Post-compensation error with composite evalua?tion function interpolation considering distance and direction

5 結(jié) 論

本文提出一種包含距離和方向的機(jī)器人定位誤差預(yù)測和補(bǔ)償方法。首先，建立了機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上，通過剛體微分運(yùn)動學(xué)理論建立機(jī)器人位置誤差模型。通過對機(jī)器人工作空間中各定位點(diǎn)誤差關(guān)聯(lián)性的分析，構(gòu)建包含定位點(diǎn)和參考點(diǎn)距離與方向的相似度評價函數(shù)，并基于評價函數(shù)提出一種各向異性的空間插值補(bǔ)償方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：提出的空間插值補(bǔ)償方法相對于傳統(tǒng)的反距離加權(quán)插值方法補(bǔ)償精度更高、各方向更均勻，補(bǔ)償后機(jī)器人在x、y、z方向定位誤差最大值下降到0.07 mm、0.11 mm、0.07 mm，從而驗(yàn)證了該方法的有效性。