具有混合隔離策略的非線性計算機病毒傳播模型的Hopf分岔研究

楊芳芳，張子振

（安徽財經(jīng)大學 管理科學與工程學院，安徽 蚌埠 233030）

具有混合隔離策略的非線性計算機病毒傳播模型的Hopf分岔研究

楊芳芳，張子振*

（安徽財經(jīng)大學 管理科學與工程學院，安徽 蚌埠 233030）

建立了考慮潛伏期時滯和臨時免疫期時滯的具有混合隔離策略的非線性計算機病毒傳播模型，旨在幫助理解計算機病毒在網(wǎng)絡中的傳播規(guī)律。通過計算模型基本再生數(shù)，以不同時滯組合為分岔參數(shù)，研究了模型的局部漸近穩(wěn)定性；利用中心流形定理和規(guī)范型理論分析了Hopf分岔的方向和周期解的穩(wěn)定性，并通過數(shù)值模擬驗證了理論分析的正確性。研究結(jié)果可為計算機病毒治理提供理論依據(jù)。

混合隔離策略；時滯； Hopf分岔；數(shù)值模擬

據(jù)中國互聯(lián)網(wǎng)絡信息中心（CNNIC）發(fā)布的第49次《中國互聯(lián)網(wǎng)絡發(fā)展狀況統(tǒng)計報告》，截至2021年12月，我國網(wǎng)民規(guī)模達10.32億，互聯(lián)網(wǎng)普及率達73.0%［1］。互聯(lián)網(wǎng)的廣泛應用在方便人們工作生活的同時，也帶來了巨大的安全隱患。一些病毒以熱點信息為誘餌，攻擊企事業(yè)單位或個人的電腦，例如，以新冠肺炎疫情為題材傳播的DTLMiner病毒、以防疫為題材傳播的Sidewinder病毒等，嚴重威脅了用戶的網(wǎng)絡安全。近年來，計算機感染病毒事件層出不窮。國家信息中心聯(lián)合瑞星公司發(fā)布的《2021年中國網(wǎng)絡安全報告》指出，2021年瑞星“云安全”系統(tǒng)共截獲病毒樣本1.19億個，感染病毒2.59億次，病毒總數(shù)較2020年同期下降了19.66%［2］。雖然殺毒軟件在防御計算機病毒方面具有一定成效，但更新總是滯后于新病毒傳播，因此，建立合適的數(shù)學模型［1］研究計算機病毒的傳播規(guī)律十分必要。

自1991年KEPHART等［3］將生物病毒研究中的數(shù)學模型引入計算機病毒研究以來，已建立了各種數(shù)學模型，用以研究計算機病毒的傳播規(guī)律，較經(jīng)典的有易感-感染-易感（susceptible-infectious-susceptible，SIS）模型［4-7］、易感-感染-恢復-易感（susceptible-infectious-recovered-susceptible，SIRS）模型［8-11］、易感-潛伏-感染-恢復（susceptible-exposed-infectious-recovered，SEIR）模型［12-16］等。通過引入多種實際因素，建立了更加貼合實際的模型。如AMADOR等［17］考慮免疫計算機通過發(fā)送警告信號減少病毒傳播的特點，建立了隨機SIRS模型，并分析了模型感染后的傳播和持續(xù)性等主要指標，但未研究其穩(wěn)定性。YANG等［18］針對傳播網(wǎng)絡的異構(gòu)性，提出了一種基于異構(gòu)節(jié)點的SIRS模型，并詳細討論了模型的全局穩(wěn)定性，但在建模過程中沒有考慮病毒傳播的時滯因素。MADHUSUDANAN等［19］認為，計算機病毒與生物病毒類似，會隨時間不斷發(fā)展，最終感染系統(tǒng)或網(wǎng)絡中的資源，即潛伏期時滯，并基于此提出了新的時滯SIRS計算機病毒傳播模型，對模型局部漸進穩(wěn)定性進行了研究。

上述模型均忽略了潛伏期對計算機病毒傳播的影響。潛伏期是計算機病毒的顯著特征。實際上，某些計算機病毒需執(zhí)行一定的程序才會被激活，如果相關程序一直未被執(zhí)行，則計算機病毒可長期潛伏，因此，在研究計算機病毒的傳播規(guī)律時，應考慮潛伏期。另外，隔離策略作為預防計算機病毒傳播的一項重要措施，不僅可以隔離感染源，還有利于控制感染的計算機，因此在建模過程中也應考慮隔離策略。

處于潛伏狀態(tài)的病毒雖未爆發(fā)，但計算機某些程序會出現(xiàn)異常，如流量過大等。這些異?，F(xiàn)象會被檢測系統(tǒng)識別，因此病毒處于潛伏狀態(tài)的計算機存在一定的被隔離風險。在研究計算機病毒傳播的動力學原理時，有很多將時滯因素作為其重要影響因素，如MADHUSUDANAN等［19］在建模過程中考慮了潛伏期時滯，但忽略了臨時免疫期時滯。通常，殺毒軟件可使處于恢復狀態(tài)的計算機在短時間內(nèi)免受病毒感染，出現(xiàn)臨時免疫期時滯。

本文在文獻［19］的基礎上，提出一類新的非線性計算機病毒傳播模型，不僅考慮潛伏期和隔離策略，而且考慮臨時免疫期時滯和混合隔離策略，更加貼合實際。詳細探討不同時滯條件下模型的局部穩(wěn)定性及Hopf分岔，并采用仿真模擬對理論分析結(jié)果進行驗證。

1 模型的提出

在文獻［19］的基礎上，綜合考慮潛伏狀態(tài)、隔離狀態(tài)以及臨時免疫期時滯，建立了具有混合隔離策略的非線性計算機病毒傳播模型：

2 基本再生數(shù)

基本再生數(shù)是衡量系統(tǒng)中是否存在計算機病毒的重要閾值，由文獻［19-20］的方法計算式（1）的基本再生數(shù)，令

進而有

3 有毒平衡點的穩(wěn)定性和Hopf分岔存在性

其中，

相應的特征方程為

其中，

案例1當時，式（6）可轉(zhuǎn)化為

其中，

引理1［19］根據(jù)Routh-Hurwitz定理，當式（7）的所有根均有負實部，即，，，，且時，式（1）在有毒平衡點處局部漸近穩(wěn)定，其中，

案例2當時，式（6）可轉(zhuǎn)化為

其中，

其中，

進而可得

其中，

其中，

假設1至少存在1個正根，使式（11）成立，那么

其中，

為方便計算，令

其中，

假設2若，則有毒平衡點局部漸近穩(wěn)定［21］?？傻?/p>

定理1對于式（1），如果假設1和假設2成立，那么，當時，式（1）局部漸近穩(wěn)定；當時，式（1）在有毒平衡點處產(chǎn)生Hopf分岔。

案例3當時，式（6）可轉(zhuǎn)化為

其中，

其中，

將式（16）中兩個等式平方后相加，可得

假設3如果存在1個正根，使得式（17）成立，那么

通常取

假設4若，則有毒平衡點局部漸近穩(wěn)定［21］?？傻?/p>

定理2對于式（1），如果假設3和假設4成立，那么，當時，式（1）局部漸近穩(wěn)定；當時，式（1）在有毒平衡點處產(chǎn)生Hopf分岔。

案例4當時，與案例2相似，不再贅述推導過程，可得

定理3對于式（1），在給定條件下，當時，式（1）局部漸近穩(wěn)定；當時，式（1）在有毒平衡點處產(chǎn)生Hopf分岔。

5 Hopf分岔方向和周期解的穩(wěn)定性

根據(jù)文獻［22-23］，分析式（1）的Hopf分岔方向和周期解的穩(wěn)定性。當，時，假設，，令，，，，，，式（1）可轉(zhuǎn)化為

其中，

令

則式（1）可轉(zhuǎn)化為

定理4當時，式（1）產(chǎn)生超臨界Hopf分岔；當時，式（1）有穩(wěn)定的分岔周期解；當時，式（1）的分岔周期遞增。

6 數(shù)值模擬

基于MATLAB軟件的DDE23算法進行數(shù)值模擬。綜合考慮收斂速度及收斂結(jié)果的精度，固定步長設置為0.001。取，，，，，，，，，，，，，，示例模型為

圖1 當時，局部漸近穩(wěn)定

Fig.1 When，is local asymptotic stability

圖2 當時，示例模型產(chǎn)生Hopf分岔Fig.2 When ， the example model appears Hopf bifurcation

7 結(jié)論

基于文獻［19］，建立了考慮潛伏狀態(tài)和隔離狀態(tài)的具有混合隔離策略的非線性計算機病毒傳播模型。不僅考慮了潛伏期時滯和由殺毒軟件導致的臨時免疫期時滯，而且考慮了不同狀態(tài)計算機因受感染程度不同，其隔離率不同的情況。相比文獻［19］，本文模型引入了更多現(xiàn)實因素，更貼合實際。在討論模型的局部漸近穩(wěn)定時，將不同的時滯組合作為分岔參數(shù)，進行了較為全面的研究。

研究發(fā)現(xiàn)，在一定條件下，當時滯小于臨界值時，采取切實可行的措施可很好地控制計算機病毒；當時滯超過臨界值時，計算機病毒將失去控制。因此，在恰當?shù)臅r機采取措施，對控制計算機病毒十分必要。

利用中心流形定理和規(guī)范型理論分析了Hopf分岔方向和周期解的穩(wěn)定性。為驗證理論分析的正確性，用符合假設條件的示例進行數(shù)值模擬，確保了研究結(jié)果的有效性。在今后的工作中，將進一步探討模型的全局穩(wěn)定性。

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Hopf bifurcation of nonlinear computer virus propagation model with hybrid quarantine strategy

YANG Fangfang, ZHANG Zizhen

（School of Management Science and Engineering，Anhui University of Finance and Economics，Bengbu233030，Anhui Province，China）

The establishment of a nonlinear computer virus propagation model with hybrid isolation strategy is helpful for understanding the propagation law of computer virus in the network. This paper proposes a new model which considers latency delay and temporary immune delay. Firstly, the basic regeneration number of the model is calculated. Then, the local asymptotic stability of the model is studied by taking the combination of different time delays as bifurcation parameters. Afterwards, the direction of Hopf bifurcation and the stability of periodic solution are calculated by using the central manifold theorem and normal form theory. The theoretical analysis is verified by numerical simulation. The research results can provide a theoretical basis for the treatment of computer virus in the future.

hybrid quarantine strategy; time delay; Hopf bifurcation; numerical simulation

TP 309

A

1008?9497（2022）05?570?10

2021?03?15.

國家自然科學基金資助項目（12061033）.

楊芳芳（1997—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-5375-7133，女，碩士研究生，主要從事動力系統(tǒng)穩(wěn)定性、分岔研究.

通信作者，ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-2879-4434，E-mail：zzzhaida@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.008