一類具變指數(shù)的非線性橢圓方程在加權(quán)Sobolev空間中熵解的存在性

代麗麗

（通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 通化 134002）

一類具變指數(shù)的非線性橢圓方程在加權(quán)Sobolev空間中熵解的存在性

代麗麗

（通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 通化 134002）

運(yùn)用截?cái)嗪瘮?shù)方法以及變指數(shù)在加權(quán)Sobolev空間中的嵌入關(guān)系，通過(guò)選取適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)函數(shù)，證明了一類非線性橢圓方程熵解的存在性。

非線性橢圓方程；截?cái)嗪瘮?shù)；加權(quán)Sobolev空間；權(quán)函數(shù)

0 引言

在加權(quán)Sobolev空間中，考慮一般情形的非線性橢圓方程

（H1）為Carathéodory的向量值函數(shù)，對(duì)幾乎處處的，所有的，滿足

（H2）→R為Carathéodory函數(shù)，且對(duì)幾乎處處的和任意的，所有的，滿足

AHAROUCH等［1］研究了在常指數(shù)情形下，當(dāng)，且時(shí)，式（1）在Orlicz空間解的存在性結(jié)果。在變指數(shù)情形下，AZROUL等［2］研究了橢圓方程

并得到熵解的存在性結(jié)果。ZHANG等［3］在，，，且的情形下，證明了重整化解和熵解的存在性。BOCCARDO等［4］運(yùn)用截?cái)喾椒?，證明了當(dāng)為常函數(shù)，，時(shí)，式（1）在Sobolev空間中重整化解的存在性和正則性。此后，BOCCARDO等［5］繼續(xù)研究帶有非線性導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的非線性橢圓方程，并證明了其存在解。

以上研究均在不加權(quán)的Sobolev空間進(jìn)行。本文將在文獻(xiàn)［2-3］等的基礎(chǔ)上，引入權(quán)函數(shù)，擴(kuò)展為加權(quán)變指數(shù)的Sobolev空間，并在此框架下，研究式（1）解的存在性。首先，帶變指數(shù)的偏微分方程模型相較常指數(shù)優(yōu)勢(shì)顯著，其可更精確地描述擴(kuò)散過(guò)程，當(dāng)不是常函數(shù)時(shí)，研究相關(guān)加權(quán)的文獻(xiàn)較少，需特別關(guān)注空間的性質(zhì)及嵌入。其次，權(quán)函數(shù)的引入增加了研究的難度，尤為困難的是空間的嵌入。最后，函數(shù)無(wú)增加任何條件，即使作為一個(gè)分布，此項(xiàng)在方程中也可能無(wú)意義，且右端項(xiàng)可積性不高。因無(wú)法得到式（1）的弱能量解，所以考慮其熵解。本文主要借助截?cái)嗪瘮?shù)方法對(duì)逼近方程做估計(jì)，運(yùn)用加權(quán)變指數(shù)在Sobolev空間中的嵌入關(guān)系，選取合適的檢驗(yàn)函數(shù)，令強(qiáng)收斂，并通過(guò)取極限，得到式（1）的熵解。

1 相關(guān)知識(shí)

給出加權(quán)變指數(shù)在Sobolev空間的相關(guān)知識(shí)［6］。

賦予范數(shù)

（iii）常用關(guān)系。如果記

那么

（v）加權(quán)變指數(shù)在Sobolev空間中的連續(xù)嵌入定理。設(shè)滿足-連續(xù)性條件，若且，則有連續(xù)嵌入

圖1 Tk（s）Fig.1 Tk（s）

引理1設(shè)和是2個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，

引理2對(duì)任意的和，有

引理3假設(shè)和（）成立，設(shè)在中弱收斂于且滿足

2 熵解的存在性

定義1若，且對(duì)任意的，均有

定理1若成立，，則式（1）至少存在1個(gè)熵解。

證明 分5步完成證明過(guò)程［9-11］。

第1步 逼近問(wèn)題及先驗(yàn)估計(jì)。

建立關(guān)于式（1）的逼近方程

由文獻(xiàn)［12-13］的偽單調(diào)算子理論，可知式（10）至少存在1個(gè)弱解，即對(duì)任意的有

具體來(lái)看，一方面要在保證產(chǎn)品安全有效、質(zhì)量可控的前提下，改革審評(píng)審批機(jī)制，簡(jiǎn)化特殊食品變更注冊(cè)和延續(xù)注冊(cè)程序；另一方面，監(jiān)管部門要嚴(yán)格執(zhí)行特殊食品生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)許可相關(guān)規(guī)定，督促企業(yè)按照良好生產(chǎn)規(guī)范要求，建立生產(chǎn)質(zhì)量管理體系。

由式（3）、式（5）、式（19）及Young不等式，式（12）可整理為

即

由加權(quán)變指數(shù)在Sobolev空間的嵌入定理，有

其中，

第2步在上幾乎處處收斂。即證明是一個(gè)依測(cè)度收斂的柯西序列。

即

第3步在中強(qiáng)收斂。

于是可將式（18）整理為

方便起見(jiàn)，寫為

類似地，有

于是，

聯(lián)合式（14）和式（22），有

綜上，由式（23）和式（27），可將式（19）左端整理為

由引理1，取a=1，b=，結(jié)合式（28）～式（30），且當(dāng)時(shí)，對(duì)式（19）取極限，有

事實(shí)上，對(duì)于右端第1項(xiàng)，應(yīng)用Lebesgue控制收斂定理便可得到結(jié)果。

對(duì)于右端第2項(xiàng)，不妨設(shè)

用證明式（19）類似的方法，可得

由式（3）、式（5）及Young不等式，有

即

由引理3，有

第4步 非線性項(xiàng)在中強(qiáng)收斂。

由符號(hào)條件式（5），可知

用證明式（19）類似的方法，可得

由式（3）和Young不等式，可得

移項(xiàng)后去掉非負(fù)項(xiàng)，可得

于是，有

由式（35）和式（37），可知當(dāng)m充分大時(shí)，至少存在1個(gè)，使得當(dāng)時(shí)，有

第5步 取極限。

由Fatou引理，有

且

于是有

定理1得證。

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The existence of entropy solutions for the nonlinear elliptic problems with variable exponents in weighted Sobolev space

DAI Lili

（Institute of Mathematics，Tonghua Normal University，Tonghua134002，Jilin Province，China）

In this paper, we utilize truncation method and some embedding of weighted Sobolev space with variable exponent to investigate the existence of entropy solutions for the nonlinear elliptic problems.

the nonlinear elliptic equation; truncation function; weighted Sobolev space; weighted functions

O 175.2

A

1008?9497（2022）05?540?09

2020?12?02.

吉林省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目（JJKH20210537KJ）.

代麗麗（1982—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-6376-6949，女，博士，副教授，主要從事偏微分方程及其應(yīng)用研究，E-mail：drx820115@126.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.004