直覺折線模糊數(shù)空間的完備可分性和逼近性

李丹，王貴君

(1.三亞學院 理工學院, 海南 三亞 572000; 2.天津師范大學 數(shù)學科學學院,天津 300387)

直覺折線模糊數(shù)空間的完備可分性和逼近性

李丹1，王貴君2

(1.三亞學院 理工學院, 海南 三亞 572000; 2.天津師范大學 數(shù)學科學學院,天津 300387)

折線模糊數(shù)可借助一組實數(shù)的有序表示確定模糊信息，不僅可以實現(xiàn)一般模糊數(shù)之間的近似線性運算，而且克服了基于Zadeh擴展原理的模糊數(shù)四則運算復雜問題?；谥庇X模糊數(shù)和折線模糊數(shù)，提出了直覺折線模糊數(shù)的概念。通過引入距離公式，證明了直覺折線模糊數(shù)可構(gòu)建完備可分的度量空間，給出了直覺折線模糊數(shù)的逼近定理。進一步用實例驗證了直覺折線模糊數(shù)對直覺模糊數(shù)具有逼近性。

直覺模糊數(shù)；折線模糊數(shù)；直覺折線模糊數(shù)；逼近性

0 引言

事實上，在直覺模糊集中，除約束條件（兩個函數(shù)之和≤1）外，隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)是相對獨立的，若將兩函數(shù)n-折線化，便可實現(xiàn)直覺模糊數(shù)的近似線性運算。基于直覺模糊數(shù)和折線模糊數(shù)，提出直覺折線模糊數(shù)的概念，通過引入距離公式，證明了直覺折線模糊數(shù)可構(gòu)建完備可分的度量空間，給出直覺折線模糊數(shù)的逼近定理，并進一步用實例驗證直覺折線模糊數(shù)對直覺模糊數(shù)具有逼近性。

1 預備知識

一般模糊數(shù)不能簡單地進行線性運算，只能依賴復雜的Zadeh擴展原理進行算術運算，阻礙了模糊數(shù)理論的發(fā)展。折線模糊數(shù)由一組有限個有序?qū)崝?shù)表示，其在處理模糊信息時具有明顯優(yōu)勢。記R為實數(shù)集，為有理數(shù)集。首先，引入模糊數(shù)、直覺模糊數(shù)和折線模糊數(shù)的概念。

定義1設是R中的模糊集，若滿足：

1994年，DIAMOND等［11］提出模糊距離的定義，即在模糊數(shù)空間中，對任意的，界定，證明了二元映射僅滿足距離公理的對稱性和三點不等式，稱為模糊距離，并證明了為一個完備的度量空間。

定義2設為給定非空集合，若模糊集和，且滿足，，則稱為中的直覺模糊集，其中和分別表示的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)。

定義3設為直覺模糊集，若和均為模糊數(shù)，則稱為直覺模糊數(shù)，簡記為，其中模糊數(shù)的隸屬函數(shù)定義為

定義4設模糊數(shù)，給定，現(xiàn)將縱軸上閉區(qū)間等分為個小區(qū)間，分點為，。若存在一組個有序?qū)崝?shù)：，且滿足，使得隸屬函數(shù)在區(qū)間和均取直線段。對于任意的，定義的隸屬函數(shù)為

圖1 -折線模糊數(shù)的隸屬函數(shù)圖像Fig.1 Function image of -polygonal fuzzy number A

圖2 模糊數(shù)與對應的隸屬函數(shù)圖像Fig.2 Function image of fuzzy number and -polygonal fuzzy number

引理1給定，若，，則

引理2給定，則是完備可分的度量空間。

引理3設一般模糊數(shù)，給定，且，，則

直覺模糊數(shù)和折線模糊數(shù)雖然各具特色，但均存在一定缺陷，例如，直覺模糊數(shù)需2個有界函數(shù)刻畫，折線模糊數(shù)隨著的增大變得越來越復雜。為此，將二者結(jié)合，提出直覺折線模糊數(shù)概念，在直覺折線模糊數(shù)空間上討論完備性、可分性和逼近性，擴大了直覺模糊集的應用范圍。

定義5設直覺模糊數(shù)，給定，若和均為-折線模糊數(shù)，且滿足，則稱為直覺折線模糊數(shù)，記為，其中模糊數(shù)的隸屬函數(shù)定義為

定理1設，，為如引理1（1）所示的距離，令

則

證明由空間中距離的性質(zhì)，（1）和（2）顯然成立。

分別將兩式完全平方，可得

將兩式相加，由式（1）可得

兩邊同時開方，有

故（3）得證。

定理2對任意的，是完備可分的度量空間。

實際上，式（2）等價于

因此必有：

由引理1，可寫為

則有

或?qū)憺?/p>

證畢。

實際上，直覺折線模糊數(shù)的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)形狀規(guī)則，均可由若干個小梯形疊加而成，且直覺折線模糊數(shù)空間關于度量可構(gòu)建完備可分的度量空間。該結(jié)論為進一步研究直覺折線模糊數(shù)奠定了基礎。

3 逼近定理

定理3設，，為確定的-折線模糊數(shù)，對任意的，令，且左函數(shù)和右函數(shù)在上連續(xù)可導，則

證明 令

解得

經(jīng)配方及整理，得

（5）

類似地，有

令

由式（7），式（5）可改寫為

進一步可得

類似地，由式（6）和式（7），可得

結(jié)合式（8）和式（9），可得

定理4設一般模糊數(shù)，給定，令為由確定的-直覺折線模糊數(shù)，其中，，，。若左函數(shù)，和右函數(shù)，在上均連續(xù)可導，則在空間中距離滿足。

4 實例分析

例1設直覺模糊數(shù)，隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)分別定義為：

圖3 的直覺折線模糊數(shù)函數(shù)圖Fig.3 Function image of intuitionistic polygonal fuzzy number A

顯然，非隸屬函數(shù)部分可表示為

根據(jù)n的取值，令

且

因此，有

表1 隨機選取的5個誤差對應的剖分數(shù)的估計值Table 1 The estimations of corresponding to 5 random error values

表1 隨機選取的5個誤差對應的剖分數(shù)的估計值Table 1 The estimations of corresponding to 5 random error values

的估計值0.730.540.1200.05100.001200

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Complete separability and approximation of the intuitionistic polygonal fuzzy number space

（1.School of Science and Technology，University of Sanya，Sanya572000，Hainan Province，China；2. School of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin300387，China）

The polygonal fuzzy number can determine fuzzy information by means of the ordered representation of a group of real numbers. It can not only approximately realize the linear operations among general fuzzy numbers, but also get rid of the complexity of the arithmetic operations of fuzzy numbers based on Zadehapos;s extension principle. In this paper, the concept of the intuitionistic polygonal fuzzy number is first proposed based on the characteristics of the intuitionistic fuzzy number and polygonal fuzzy number, and its distance formula is introduced. Secondly, it is proved that intuitionistic polygonal fuzzy numbers constitute a complete separable metric space through the distance formula, and the approximation theorem is obtained. Finally, we verify by an example that the intuitionistic polygonal fuzzy number can approximate to an intuitionistic fuzzy number.

intuitionistic fuzzy number; polygonal fuzzy number; intuitionistic polygonal fuzzy number; approximation

O 159

A

1008?9497（2022）05?532?08

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.003

2021?10?08.

國家自然科學基金資助項目（61374009）.

李丹（1985—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-9903-4408，女，碩士，講師，主要從事模糊神經(jīng)網(wǎng)絡和模糊信息處理研究，E-mail：422629487@qq.com.