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    與叢管子相關(guān)的代數(shù)的剛性模

    2022-09-17 05:37:24龍婷謝云麗
    關(guān)鍵詞:箭頭等價(jià)管子

    龍婷,謝云麗

    (西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 成都 611756)

    與叢管子相關(guān)的代數(shù)的剛性模

    龍婷,謝云麗*

    (西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 成都 611756)

    設(shè)是叢管子,是中的極大剛性對(duì)象,是T對(duì)應(yīng)的自同態(tài)代數(shù),由函子誘導(dǎo)的的某個(gè)滿子范疇的商范疇等價(jià)于有限生成-模范疇,基于此,通過中的對(duì)象刻畫了的不可分解剛性模,并給出一個(gè)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臈l件。

    叢管子;極大剛性對(duì)象;剛性模

    0 引言

    2001年,F(xiàn)OMIN等[1]提出了叢代數(shù)概念,并對(duì)叢變量有限的叢代數(shù)進(jìn)行了分類[2],將有限型叢代數(shù)分為反對(duì)稱的,,,,型和可反對(duì)稱化的,,,型。此后,利用代數(shù)表示論中豐富的范疇結(jié)構(gòu)研究叢代數(shù)成為熱點(diǎn),如BUAN等[3]利用叢范疇和叢傾斜對(duì)象將,,,,型叢代數(shù)范疇化;BUAN等[4]、ZHOU等[5]、FU等[6]利用叢管子中的極大剛性對(duì)象及其自同態(tài)代數(shù)將,型叢代數(shù)范疇化。叢管子最早被看作管子(某種特殊的遺傳阿貝爾范疇)的叢范疇。與一般的叢范疇不同,叢管子中沒有叢傾斜對(duì)象[7],BUAN等[4]證明了叢管子具有叢結(jié)構(gòu),其中的極大剛性對(duì)象與叢代數(shù)中相應(yīng)的叢對(duì)應(yīng)。IYAMA等[8]證明了存在叢管子的某個(gè)滿子范疇,其商范疇等價(jià)于極大剛性對(duì)象的自同態(tài)代數(shù)的有限生成模范疇。文獻(xiàn)[9-10]證明了在叢管子中極大剛性對(duì)象的自同態(tài)代數(shù)的支撐-傾斜模與極大剛性對(duì)象對(duì)應(yīng)。

    在上述研究基礎(chǔ)上,本文研究叢管子中極大剛性對(duì)象的自同態(tài)代數(shù)的剛性表示。結(jié)構(gòu)如下:第1節(jié)介紹叢管子和叢管子中極大剛性對(duì)象的自同態(tài)代數(shù),第2節(jié)利用Iyama-Yoshino等價(jià)刻畫叢管子中極大剛性對(duì)象的自同態(tài)代數(shù)的剛性模。

    1 叢管子及其極大剛性對(duì)象的基本性質(zhì)

    圖1 秩為的管子的-箭圖Fig.1 The -quiver of a tube of rank

    引理1[12]設(shè)是中的對(duì)象,的長(zhǎng)度為。若態(tài)射在的-箭圖中對(duì)應(yīng)的路含有不少于個(gè)向下的箭頭,則。

    引理2[12](1)當(dāng)時(shí),;

    定義1設(shè)是叢管子中的對(duì)象,

    關(guān)于叢管子和叢管子中的極大剛性對(duì)象,有[4,6]

    引理3設(shè)是中的不可分解對(duì)象,則

    引理4設(shè)是中的不可分解對(duì)象且。若,則。

    引理5(1)是中的不可分解剛性對(duì)象當(dāng)且僅當(dāng);

    關(guān)于叢管子中極大剛性對(duì)象的自同態(tài)代數(shù),給出以下具體例子。

    例1設(shè)是秩為4的叢管子,對(duì)象在叢管子中的具體位置如圖2所示。

    圖2 在叢管子中的具體位置Fig.2 The specific position of in cluster tube

    圖3 代數(shù)的Gabriel箭圖Fig.3 The Gabriel quiver of algebra

    2 叢管子中極大剛性對(duì)象的自同態(tài)代數(shù)的剛性模

    定義2設(shè)是一個(gè)-模,

    引理6設(shè)為叢管子中的對(duì)象,為對(duì)應(yīng)的-模,則為剛性的充分必要條件是

    為方便敘述,引入記號(hào):

    注1由叢管子中不可分解剛性對(duì)象、和3個(gè)集合組成,且3個(gè)集合兩兩互不相交。文獻(xiàn)[15]中定理4.8指出,函子給出了與由不可分解-模組成的集合一一對(duì)應(yīng)。文獻(xiàn)[12]中命題3.7證明了對(duì)中不可分解對(duì)象而言,如果態(tài)射在的-箭圖中對(duì)應(yīng)的是從出發(fā),經(jīng)過個(gè)向下的箭頭映至,再合成個(gè)向上的箭頭指向的路,則通過分解的充分必要條件是

    引理7當(dāng)時(shí),是剛性-模。

    可得長(zhǎng)正合列:

    所以滿射

    引理8當(dāng)時(shí),不是剛性-模。

    所以

    綜上,可得

    定理1設(shè)是秩為的叢管子,是的極大剛性對(duì)象,是對(duì)應(yīng)的自同態(tài)代數(shù)。若是中不屬于的不可分解對(duì)象,為對(duì)應(yīng)的-模,則為剛性-模的充分必要條件是滿足:

    例2延續(xù)例1,的剛性模如圖4所示,其中,○表示中的不可分解模,?表示映至中的是剛性模而不是-剛性模,●表示-剛性模,表示-箭圖中的間隙。

    圖4 中的剛性模Fig.4 The rigid modules of

    [1]FOMIN S, ZELEVINSKY A. Cluster algebras I:Foundations[J]. Journal of the American Mathematical Society, 2001, 15(2):497-529. DOI:10.1090/S0894-0347-01-00385-X

    [2]FOMIN S, ZELEVINSKY A. Cluster algebras II:Finite type classification[J]. Inventiones Mathematicae, 2003,154(1): 63-121. DOI:10.1007/S00222-003-0302-Y

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    Rigid modules of the algebras arising from cluster tubes

    LONG Ting, XIE Yunli

    (School of Mathematics,Southwest Jiaotong University,Chengdu611756,China)

    Letbe a cluster tube,be a maximal rigid object of,be the endomorphism algebra of.induces an equivalence between some quotient category and the category of finitely generated-modules. This note uses this equivalence to characterize the indecomposable rigid modules over,and gives an if and only if condition for this indecomposable rigid modules.

    cluster tube; maximal rigid object; rigid module

    O 154.1

    A

    1008?9497(2022)05?527?05

    2021?05?25.

    國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(12171397).

    龍婷(1996—),ORCID:https://orcid.org/0000-0003-4905-8329,女,碩士研究生,主要從事代數(shù)表示論的研究.

    通信作者,ORCID:https://orcid.org/0000-0003-1514-7403,E-mail:xieyunli@swjtu.edu.cn.

    10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.002

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