非齊次樹(shù)上馬氏鏈基于韋伯分布的一個(gè)強(qiáng)偏差定理

任雙雙 蘭曉博

(鄭州科技學(xué)院基礎(chǔ)部 河南鄭州 450064)

近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程的研究至今方興未艾，其中關(guān)于強(qiáng)偏差定理的研究也一直頗受青睞。文獻(xiàn)[1]主要研究并給出了馬氏環(huán)境中關(guān)于齊次樹(shù)指標(biāo)的馬氏鏈的漸進(jìn)均分性，文獻(xiàn)[2]研究并給出了樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈關(guān)于廣義幾何分布的一個(gè)強(qiáng)偏差定理，文獻(xiàn)[3]給出了關(guān)于樹(shù)指標(biāo)非齊次馬氏鏈的廣義熵遍歷定理。該文通過(guò)引入滑動(dòng)相對(duì)熵的概念，構(gòu)造適當(dāng)?shù)膖n(λ,ω)，將Doob鞅收斂定理和上、下極限性質(zhì)應(yīng)用到定理中，研究并給出了關(guān)于韋伯分布的強(qiáng)偏差定理,使該方面的內(nèi)容得到了擴(kuò)充。

1 基本概念

定義1 定義{Xσ,σ∈T}是概率空間{Ω,F,P}上，且在連續(xù)狀態(tài)(R+,β(R+))取值的隨機(jī)變量族，設(shè)

是隨機(jī)變量族{Xσ,σ∈T}的初始分布，且正則條件概率族[4]記為

則稱f(σ,S(σ);Xσ,XS(σ))為轉(zhuǎn)移密度函數(shù)，記

定義fS(σ)(Xσ,XS(σ))是初始分布{Xσ,σ∈T}的一列轉(zhuǎn)移密度函數(shù)，將f0定義為{Xσ,σ∈T}對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)，于是稱為具有式（1）和式（2）的在R+上取值的連續(xù)狀態(tài)樹(shù)指標(biāo)非齊次Markov鏈[5]。

則定義的樹(shù)T上聯(lián)合分布密度函數(shù)[6]為

設(shè)(Ω,F)上的另一概率測(cè)度為Q，{Xσ,σ∈T}在Q下的聯(lián)合分布密度函數(shù)記為

也就是{Xσ,σ∈T}在Q下互相獨(dú)立，并且服從的韋伯分布，其中,λξk＞0,α＞0,xξk∈R+,ξk∈Lk。

定義2{Xσ,σ∈T}在P和Q下的聯(lián)合分布密度函數(shù)均如上式所定義，設(shè)0 ≤a1≤a2≤…是一列整數(shù)值，分別記

定義3 設(shè)f(x)是隨機(jī)變量X的密度函數(shù),如果存在0 ＜δ＜1使

存在，則稱(s)是隨機(jī)變量X的s-矩變換。

由式（10）知，對(duì)于服從分布g(xξk,λξk)的隨機(jī)變量Xξk的s-矩變換為

2 強(qiáng)偏差性質(zhì)

引理1 設(shè){Xσ,σ∈T}為如上定義的連續(xù)狀態(tài)樹(shù)指標(biāo)非齊次Markov 鏈，其中0 ≤a1≤a2≤…是一列整數(shù)值，s為一實(shí)數(shù)，f(X Tn)，g(X Tn)，(s,λξk)如前定義，令

則{tn(s,ω),σ(Xξal+1,Xξal+2,…,Xξal+n),n≥1}在概率測(cè)度P下是一非負(fù)鞅。

證明由式（5），有

由式（11）、式（12）、式（13）與式（14），有

由式（15）與式（16），有

由（16）式和（17）式，有

則{tn(s,ω),σ(Xξal+1,Xξal+2,…,Xξal+n),n≥1}在概率測(cè)度P下是一非負(fù)鞅[7]。

定理1 設(shè){Xσ,σ∈T}為如上述定義的連續(xù)狀態(tài)樹(shù)指標(biāo)非齊次Markov鏈，其在Q下的聯(lián)合分布密度函數(shù)如式（6）所定義，實(shí)數(shù)s∈(-1,1)，正整值數(shù)列{al,l≥1}如前定義。設(shè)存在M＞0，使得

證明 由引理1 及Doob 鞅收斂定理[8]知，存在A(s) ∈F，P(A(s))=1，使得

由式（7）、式（11）、式（12）、式（13）與式（14），有

由（25）式，有

由式（8）、式（9）、式（21）、式（24）及式（26），有

取0 ＜s＜1，將（27）式兩端同除以s，有

由不等式lnx≤x-1(x＞0)及式（11）、式（19）、式（29）可知

由式（31），有式（22）成立。

取-1 ＜s＜0，將式（27）兩端同除以s，有

由式（32）及下極限的性質(zhì)

由式（35），有式（23）成立。