上三角算子矩陣的Browder譜和Drazin譜

青梅

（呼和浩特民族學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051）

0 引言

Hilbert空間H=H1⊕H2上的有界線性算子T可表示為2×2的算子矩陣形式其中Tij：Hj→Hi，i，j=1，2。特別地，若H1是T的不變子空間，則T21=0。此時，T是上三角算子矩陣。近年來，很多學(xué)者研究Hilbert空間H⊕K上三角算子矩陣各類譜性質(zhì)。文獻(xiàn)［1-7］利用局部譜理論估計了集合Dσ*：=(σ*(A)∪σ*(B))σ*(MC)，并刻畫了對任意的C∈B(K，H)等式

成立的充分條件，其中σ*包含譜、本質(zhì)譜、Weyl譜、Browder譜和Drazin譜等。文獻(xiàn)［8］利用Fredholm理論和譜集分類，更精細(xì)地刻畫了集合Dσ*的分布范圍，并給出了等式（1）成立的充要條件，其中σ*={σe，σw，σb}。文獻(xiàn)［9］中得到的是無界上三角算子矩陣的譜，近似點譜和虧譜的類似性質(zhì)。注意到，這些充要條件不僅與對角算子有關(guān)，也與算子矩陣本身有關(guān)。進(jìn)一步，文獻(xiàn)［10］將有界情形結(jié)論推廣至無界情形，利用擾動理論和譜集分類描述了集合Dσe，Dσw的分布，并刻畫了無界上三角算子矩陣的本質(zhì)譜和Weyl譜的并集等于對角算子相應(yīng)譜并集的充要條件。值得注意的是，這些充要條件只與對角算子有關(guān)。然而，未見有界或無界情形的Browder譜和Drazin譜類似結(jié)論。

本文主要研究有界上三角算子矩陣MC的Browder譜和Drazin譜性質(zhì)。利用Fredholm理論和譜集分類估計集合Dσb、DσD的分布范圍，再利用擾動理論給出MC的Browder譜和Drazin譜滿足等式（1）的充要條件，進(jìn)而推廣前人的結(jié)論。此外，結(jié)合文獻(xiàn)［9］的結(jié)論和擾動理論得到了MC的譜滿足等式（1）的充要條件。本文中刻畫的這些充要條件都只與對角算子A和B有關(guān)。

先給出文中涉及的符號和定義。設(shè)H和K均為無窮維復(fù)可分的Hilbert空間，B(H，K)表示從H到K的所有有界線性算子集合。若K=H，則通常簡記為B(H)。一般T∈B(H)的共軛算子，零空間和值域分別記為T*，N(T)，R(T)。將零空間N(T)和商空間H/R(T)的維數(shù)分別記為α(T)和β(T)。若R(T)是閉集且α(T)＜∞（β(T)＜∞），則稱T是左（右）Fredholm算子；若T是左或右（左且右）Fredholm算子則稱T是半Fredholm（Fredholm）算子。當(dāng)α(T)和β(T)至少有一個有限時，可定義T的指標(biāo)ind(T)：=α(T)-β(T)。若T是Fredholm算子且ind(T)=0，則稱T是Weyl算子。T的升標(biāo)和降標(biāo)記為

若下確界不存在，則升標(biāo)asc(T)或降標(biāo)dsc(T)為無窮大。若T是左（右）Fredholm算子且asc(T)＜∞(des(T)＜∞)，則稱T是左（右）Browder算子；若T是左且右Browder算子，則稱T是Browder算子。若存在正整數(shù)k和算子S∈B(H)滿足TkST=Tk，STS=S，TS=ST，則稱T是Drazin可逆算子。不難發(fā)現(xiàn)，T是Drazin可逆算子當(dāng)且僅當(dāng)asc(T)＜∞且des(T)＜∞。若asc(T)＜∞且R(Tasc(T)+1)是閉集，則稱T是左Drazin可逆算子；若des(T)＜∞且R(Tdec(T))是閉集，則稱T是右Drazin可逆算子。

T的左Browder譜、右Browder譜、Browder譜、左Drazin譜、右Drazin譜、Drazin譜分別定義為

記T的譜，近 似點 譜和 虧譜 分別 為σ(T)，σap(T)，σδ(T)。此外，引入點譜σp(T)和剩余譜σr(T)的子集［9，11］：

顯然σ(T)=σap(T)∪σr，1(T)=σδ(T)∪σp，1(T)，且σp，1(T)?σp+(T)?σp(T)，σr，1(T)?σr(T)。

文中將復(fù)平面C內(nèi)的集合S的孤立點集、聚點集、內(nèi)部、邊界分別記為isoS，accS，intS，?S。

1 主要結(jié)論及其證明

給出主要結(jié)論之前先列出所用到的一些引理。

引理1［12］設(shè)T∈B(H)，則如下結(jié)論成立：

(1)若asc(T)＜∞，則α(T)≤β(T)；(2)若dsc(T)＜∞，則β(T)≤α(T)；(3)若asc(T)=dsc(T)＜∞，則α(T)=β(T)；(4)若α(T)=β(T)＜∞且asc(T)＜∞或dsc(T)＜∞是有限的，則asc(T)=dsc(T)。

引理2［6，13］設(shè)∈B(H⊕K)，則如下結(jié)論成立：

(1)若A、B、MC三者中任意兩者是Browder算子，則第三者也是Browder算子；(2)若A、B、MC三者中任意兩者是Drazin可逆算子，則第三者也是Drazin可逆算子。

1.1 MC的Browder譜性質(zhì)

定理1設(shè)A∈B(H)和B∈B(K)是給定算子，則對任意的C∈B(K，H)成立等式

證明先證明等式（2）左邊包含于右邊。設(shè)λ?σb(MC)∪(σp+(A*)*∩σp+(B))，則λ?σb(MC)∪σp+(A*)*或λ?σb(MC)∪σp+(B)。若λ?σb(MC)∪σp+(A*)*，則A-λI是 左Fredholm算 子，asc(A-λI)＜∞，且α(A-λI)≥β(A-λI)。由引理1，可得α(A-λI)≤β(A-λI)。于是α(A-λI)=β(A-λI)＜∞。再由引理1，可知A-λI是Browder算子。進(jìn)一步，根據(jù)引理2，可得B-λI也是Browder算子。因此λ?σb(A)∪σb(B)。若λ?σb(MC)∪σp+(B)，則同理可證λ?σb(A)∪σb(B)。

反之，設(shè)λ?σb(A)∪σb(B)，即A-λI和B-λI都是Browder算子。由引理1，可知ind(A-λI)=ind(B-λI)=0。因此λ?σp+(A*)*∩σp+(B))。再由引理2，可得λ?σb(MC)。于是等式（2）左邊包含右邊。

注1由定理1的證明可知，等式（2）可改寫為

定理2設(shè)A∈B(H)和B∈B(K)給定算子，則對任意的C∈B(K，H)成立等式

當(dāng)且僅當(dāng)λ∈(σp+(A*)*σlb(A))∩(σp+(B)σrb(B))，蘊含α(A-λI)+α(B-λI)≠β(A-λI)+β(B-λI)。

證明設(shè)(σp+(A*)*σlb(A))∩(σp+(B)σrb(B))≠。由推論1可得，等式（3）成立當(dāng)且僅當(dāng)對任意的C∈B(K，H)，有(σp+(A*)*σlb(A))∩(σp+(B)σrb(B))?σb(MC)，即

再由固有Browder譜的表達(dá)式［14］

可易推出結(jié)論成立。

注2定理1更精細(xì)地刻畫了集合Dσb的分布。而定理2中所描述的等式（3）成立的充要條件僅僅與MC的對角算子有關(guān)。顯然，這些結(jié)論是文獻(xiàn)［8］中定理3.3的推廣。

結(jié)合文獻(xiàn)［9］中的推論2和固有譜集合，可得到MC的譜滿足等式（1）的充要條件。

定理3設(shè)A∈B(H)和B∈B(K)是給定的算子，則對任意的C∈B(K，H)成立等式

當(dāng)且僅當(dāng)λ∈σp，1(B)∩σr，1(A)蘊含α(B-λI)≠β(A-λI)。

證 明由 文 獻(xiàn)［9］推 論2可 知，對 任 意 的C∈B(K，H)等 式（4）成 立 當(dāng) 且 僅 當(dāng)

1.2 MC的Drazin譜性質(zhì)

定理4設(shè)A∈B(H)和B∈B(K)是給定的算子，則對任意的C∈B(K，H)成立等式

證明由引理2和包含關(guān)系σp，1(B)?σD(B)，σr，1(A)?σD(A)，可知等式（5）的左邊包含于右邊。

反之，設(shè)0∈(σD(A)∪σD(B))σD(MC)，則MC為Drazin可逆算子。于是存在ε＞0，對任意的滿足的0＜∣λ∣＜ε的λ，可 推 出MC-λI是 可 逆 算 子。從 而A-λI是 左 可 逆 算 子 且B-λI是 右 可 逆 算 子，即λ?σap(A)∪σδ(B)。于是0?accσap(A)且0?accσδ(B)。假設(shè)0?σp，1(B)∩σr，1(A)，則需考慮如下兩個情形。

情形I若0?σp，1(B)，則0∈ρ(B)∪σδ(B)。(i)若0∈ρ(B)，可推出B是Drazin可逆算子，再由引理2，可 得A也 是Drazin可 逆 算 子，與0∈σD(A)∪σD(B)矛 盾；(ii)若0∈σδ(B)，則0∈isoσδ(B)。由isoσ(B)??σ(B)?σδ(B)∩σap(B)，可知0∈isoσ(B)。又因為des(B)＜∞，根據(jù)文獻(xiàn)［15］定理10.5，可得B是Drazin可逆算子。進(jìn)而可知A也是Drazin可逆算子，與0∈σD(A)∪σD(B)矛盾。

情 形II當(dāng)0?σr，1(A)時，由σr，1(A)=σp，1(A*)*，σap(A)=σδ(A*)*以 及A和A*的Drazin可 逆 等 價性，同理可得出與0∈σD(A)∪σD(B)矛盾的結(jié)論。故等式（5）的左邊包含右邊。

注3定理4更精確地刻畫了集合DσD的分布范圍。不難發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)［7］中定理2.1和推論2.2—2.4是該結(jié)論的推論。下面給出文獻(xiàn)［7］中推論2.5的推廣形式。

推論1設(shè)A∈B(H)和B∈B(K)是給定的算子，則

其 中ρD(A)=CσD(A)，ρD(B)=CσD(B)。特 別 地，若5個 等 式σp，1(B)∩σr，1(A)=，σp，1(B)=，σr，1(A)=，intσp，1(B)=，intσr，1(A)=之一成立，則

該推論證明類似于文獻(xiàn)［7］推論2.5的證明，略證。進(jìn)一步，文獻(xiàn)［16-17］更精細(xì)地估計了固有Drazin譜的分布范圍

下面給出MC的Drazin譜滿足等式（1）的充要條件。

定理5設(shè)A∈B(H)和B∈B(K)是給定的算子，則對任意的C∈B(K，H)成立等式

當(dāng)且僅當(dāng)λ∈σp，1(B)∩σr，1(A)蘊含α(B-λI)≠β(A-λI)。

證 明先 證 明 必 要 性。若 等 式（6）成 立，則 根 據(jù) 定 理4，可 得 對 任 意 的C∈B(K，H)有σp，1(B)∩σr，1(A)?σD(MC)，即。再根據(jù)固有Drazin譜的分布，有

再證充分性。若λ∈σp，1(B)∩σr，1(A)，可推導(dǎo)出α(B-λI)≠β(A-λI)，則對任意的C∈B(K，H)，等式（4）成立。再根據(jù)文獻(xiàn)［7］推論2.4可知，等式（6）也成立。根據(jù)上述定理可得出等式（3），（4）和（6）之間的關(guān)系。

定理6設(shè)A∈B(H)和B∈B(K)是給定算子。則

(1)下列3個條件等價：

(2)若σb(MC)=σb(A)∪σb(B)，則σ(MC)=σ(A)∪σ(B)且σD(MC)=σD(A)∪σD(B)。

證明(1)證明顯然。

(2)若λ∈σp，1(B)∩σr，1(A)，則λ∈(σp+(A*)*σlb(A))∩(σp+(B)σrb(B))。由 已 知 條 件 和 定 理2，可 知α(A-λI)+α(B-λI)≠β(A-λI)+β(B-λI)。因 為α(A-λI)=0且β(B-λI)=0，于 是α(BλI)≠β(A-λI)。再根據(jù)本定理結(jié)論（1），結(jié)果顯然。

2 例子

例1定 義 算 子A，B，C∈B(l2)為：A(x1，x2，x3，…)=(x1，0，x2，0，x3，…)，B(x1，x2，x3，…)=(x2，x4，x6，…)，C(x1，x2，x3，…)=(0，x1，0，x3，0，x5，…)。

容 易 驗 證R(A)和R(B)都 是 閉 集 且α(A)=0，β(A)=∞，α(B)=∞，β(B)=0。則0∈σp，1(B)∩σr，1(A)且0∈(σp+(B)σlb(B))∩(σp+(A*)*σrb(A))。但 是α(A)+α(B)=α(B)=β(A)=β(A)+β(B)。根據(jù)定理2，3和5，可知等式（3），（4）和（6）不成立。

另一方面，不難驗證MC是雙射，從而0?σ*(MC)。但是0∈σ*(A)∪σ*(B)。其中σ*∈{σb，σD，σ}。因此σ*(MC)≠σ*(A)∪σ*(B)。

例2定義算子A，B，C∈B(l2)為：A(x1，x2，x3，…)=(0，x1，x2，x3，…)，B(x1，x2，x3，…)=(x2，x3，x4，…)，C(x1，x2，x3，…)=(x1，0，0，…)。

注意到MC是雙射。從而0?σ*(MC)，其中σ*∈{σb，σD，σ}。而R(A)和R(B)都是閉集且α(A)=0，β(A)=1，α(B)=1，β(B)=0。于是可推導(dǎo)出0∈σ*(A)∪σ*(B)。根據(jù)定理2，3和5，可知存在λ1，λ2，滿 足λ1∈(σp+(B)σlb(B))∩(σp+(A*)*σrb(A))，λ2∈σp，1(B)∩σr，1(A)，但 是α(A-λ1I)+α(B-λ1I)=β(A-λ1I)+β(B-λ1I)，α(B-λ2I)=β(A-λ2I)。

另一方面，取λ1=λ2=0即可。易驗證0∈σp，1(B)∩σr，1(A)且0∈(σp+(B)σlb(B))∩(σp+(A*)*σrb(A))，但成立如下等式α(A)+α(B)=α(B)=β(A)=β(A)+β(B)=1。