基于再生核的樣條插值求解積分方程

張瑞敏，林迎珍，張嬌霞

（北京理工大學(xué)珠海學(xué)院數(shù)理與土木工程學(xué)院，廣東 珠海 519088）

0 引言

近年來(lái)，求解第二類(lèi)積分方程的數(shù)值解受到了許多學(xué)者的關(guān)注。這些方法可分為兩種類(lèi)型：一種類(lèi)型是直接對(duì)解析解進(jìn)行近似。如逐次逼近法、變分迭代法、Adomian分解法、Simpson公式和Gauss型求積公式等[1-5]；另一種類(lèi)型是通過(guò)將方程轉(zhuǎn)換為比原始方程更容易求解的形式。例如，泰勒展開(kāi)配置法用于求解中的積分方程［6-8］。這些方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，而不斷尋找更加有效、簡(jiǎn)單的方法是學(xué)者們一直關(guān)注的問(wèn)題。

積分方程在力學(xué)、氣象預(yù)報(bào)、振動(dòng)理論、博弈論和粒子物理等學(xué)科中有著廣泛應(yīng)用。一次樣條函數(shù)是工程技術(shù)中應(yīng)用十分廣泛的插值函數(shù)，具有高階收斂性。文獻(xiàn)［9-10］研究了樣條插值在微分方程中的應(yīng)用。本文算法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行，并且近似解的精度較高。

本文主要研究如下積分問(wèn)題

其中積分核K(x，t)是[0，1]×[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，f(x)是已知函數(shù)。利用再生核函數(shù)非常簡(jiǎn)便地構(gòu)造了一次樣條函數(shù)空間的一組基底，該基底適合于求解第二類(lèi)積分方程；若是其他方程可選擇不同的樣條。

1 積分方程的樣條插值法

提出一種求解第二類(lèi)積分方程新的算法。

定義1[11]再生核空間W1[0，1]={u|u在[0，1]上絕對(duì)連續(xù)，u′∈L2[0，1]}，其內(nèi)積為

其再生核函數(shù)為

定義2設(shè)函數(shù)S(x)∈W1[0，1]，π：0=x1＜x2＜…＜xn=1，若S(x)在每個(gè)小區(qū)間[xi，xi+1]上為不超過(guò)一次的多項(xiàng)式，則稱(chēng)S(x)為區(qū)間[0，1]上的一次樣條函數(shù)[12]。

定義3記Snπ={S(x)|S(x)為一次樣條函數(shù)，其中π：0=x1＜x2＜…＜xn=1}，稱(chēng)Snπ為一次樣條函數(shù)空間。

定理1一次樣條函數(shù)空間Snπ為n維空間。

證明一次樣條函數(shù)S(x)在每個(gè)小區(qū)間[xi，xi+1]上有2個(gè)待定系數(shù)，在（n-1）個(gè)這樣的小區(qū)間上共有[ 2(n-1)]個(gè)待定系數(shù)。由于S(x)∈W1[0，1]，故滿足下式的（n-2）個(gè)條件：因此，S(x)的自由度為2(n-1)-(n-2)=n，即一次樣條函數(shù)空間Snπ為n維空間。

定理2{Rx1(x)，Rx2(x)，…，Rxn(x)}為一次樣條函數(shù)空間Snπ的一組基底。

證明根據(jù)定理1，只需證明Rx1(x)，Rx2(x)，…，Rxn(x)線性無(wú)關(guān)。設(shè)

下證C1=C2=…=Cn=0。

取gk(x)∈W1[0，1]，滿 足gk(xk)=1，gk(xj)=0(k≠j)，1≤k，j≤n。式（4）兩邊 同 時(shí) 與gk(x)做內(nèi)積，因?yàn)镽y(x)是W1[0，1]的再生核，由再生核函數(shù)的再生性，可得

得證。

定義4對(duì)定義在區(qū)間[0，1]上的函數(shù)u(x)，如果存在一次樣條函數(shù)S(x)，有u(xi)=S(xi)(1≤i≤n)，則稱(chēng)S(x)為插值函數(shù)，u(x)為被插函數(shù)。

為了求解問(wèn)題（1），以下將區(qū)間[0，1]做n等分，即。由定理2可知，一次樣條插值函數(shù)S(x)可由空間Snπ的基底線性表示，即

把式（5）代入式（1），可得

令式（6）中x=xj(1≤j≤n)，得

求解式（8）可得C1，C2，…，Cn，從而可求得u(x)的插值解S(x)。

定 義 算 子L：W1[0，1]→W1[0，1]為則 式（1）等價(jià)于

引理1對(duì)于式（9），當(dāng)式（9）的解存在唯一，可知(I-K)-1存在且有界[13]，故由式（8）得到的數(shù)值解S(x)是唯一的。

定理3設(shè)u(x)∈W1[0，1]為式（1）的解，S(x)為u(x)的一次樣條插值函數(shù)，則S(x)是二階收斂的，即

證明一次插值余項(xiàng)記由于將區(qū)間[0，1]分為n等分，故。

2 數(shù)值算例

本文利用再生核函數(shù)巧妙地構(gòu)造了一次樣條函數(shù)空間的一組基底，從而可以利用再生核方法解決一次樣條函數(shù)空間的問(wèn)題。下面給出用這種巧妙方法的一些算例。

例1考慮積分問(wèn)題

表1 真解u(x)與近似解S(x)的最大絕對(duì)誤差（例1）Tab.1 Maximum absolute error of true solution［u（x）］and approximate solution［S（x）］（Example 1）

例2考慮積分方程

其解析解為u(x)=sin(πx2)，最大絕對(duì)誤差和收斂階見(jiàn)表2。文獻(xiàn)［16］是基于模糊劃分的逆模糊變換與搭配技術(shù)相結(jié)合的方法求解的例2，從表2可知本研究計(jì)算結(jié)果優(yōu)于文獻(xiàn)［16］。

表2 真解u(x)與近似解S(x)的最大絕對(duì)誤差和收斂階（例2）Tab.2 Maximum absolute error and convergence order of true solution and approximate solution（Example 2）

3 結(jié)論

由再生核函數(shù)構(gòu)造了一次樣條空間的一組基底，在這個(gè)基底下研究了第二類(lèi)積分方程的算法。該算法原理簡(jiǎn)單。通過(guò)兩個(gè)數(shù)值算例，展示了該算法相比其他一些算法，收斂結(jié)果更好。因?yàn)檠芯繉?duì)象為積分方程，所以本文選用的是一次樣條插值。若是其他方程，可選擇不同的樣條。