具有慣性項(xiàng)的粘性Cahn-Hilliard方程的指數(shù)吸引子

張曉雨， 姜金平， 王小霞， 黃厚曾

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

引言

本文研究的是如下具有慣性項(xiàng)的粘性Cahn-Hilliard方程的指數(shù)吸引子問(wèn)題：

(1)

其中Ω∈R2，g∈L2(Ω)，粘性系數(shù)α≥0，非線(xiàn)性項(xiàng)f滿(mǎn)足如下條件：

f∈C(R,R)，|f″(s|≤k0(1+|s|p),?s∈R,P<1,

(2)

(3)

1 預(yù)備知識(shí)

定義如下Hilbert空間并賦予范數(shù)

定義1[5]設(shè){S(t)}t≥0為完備度量空間X中的半群，集合M?X稱(chēng)為半群{S(t)}t≥0的指數(shù)吸引子，如果滿(mǎn)足：

(ⅰ)正不變性：S(t)M?M,?t≥0;

(ⅱ)有限維數(shù)：M有有限分形維數(shù)，即dimFM<∞;

(ⅲ)集合M?X為半群{S(t)}t≥0的指數(shù)吸引集，即對(duì)每一個(gè)有界集B?X,存在常數(shù)k=k(B),l>0，使得

dist(S(t),B)≤ke-lt。

引理1[6]設(shè)χ?H是不變緊子集，且W是H的緊嵌入，存在時(shí)間t*>0，使得：

(ⅰ)映射(t,z0)→S(t)z0，即[0，t*]×χ→χ是Lipschitz連續(xù)的；

(ⅱ)映射S(t*):χ→χ有如下分解形式：

S(t*)=S0+S1，S0:χ→H，S1:χ→W,

其中S0滿(mǎn)足

S1滿(mǎn)足

‖S1(z1)-S1(z2)‖W≤C*‖z1-z2‖H，

其中C*>0,則半群{S(t)}存在指數(shù)吸引子。

引理2[3]假設(shè)條件(2)和(3)成立，g∈L2(Ω)，u0∈V2，u1∈H，則問(wèn)題(1)存在唯一解u(t)滿(mǎn)足

u(t)∈C([0,T],V2)，ut(t)∈C([0,T],H)，

并且{u0,u1}→{u(t),ut(t)}在H上連續(xù)。

2 有界吸收集

定理1假設(shè)非線(xiàn)性項(xiàng)f滿(mǎn)足條件(2)和(3),g∈L2(Ω)，則問(wèn)題(1)生成的解半群{S(t)}t≥0在H中存在有界吸收集B=BH(0,ρ1)。

證明選0<ε<1，用v=ut+εu與(1)式做內(nèi)積，得

+ε‖Δu‖2-α(Δut,ut)-(Δf(u),v)=(g,v)。

(4)

結(jié)合H?lder不等式，Young不等式，得

ε2(u,v)-α(Δut,ut)=ε2(u,v)-α‖?v‖2-αε2‖?u‖2+2εα(?v,?u)

≥-ε2‖u‖‖v‖-2αε‖?u‖‖?v‖-α‖?v‖2-αε2‖?u‖2

根據(jù)條件(2)和(3),利用Sobolev嵌入定理可知，存在K>0，使得

‖f(u)‖L∞

所以

(5)

且

所以(4)式可記為

令

E(t)=‖v‖2+‖Δu‖2-ε‖u‖2-α‖?u‖2-(g,u)，

則

則有

則

使用Gronwall引理，有

‖v‖2+‖Δu‖2+‖u‖2+‖?u‖2≤(‖u1+εu0‖2+‖Δu0‖2+‖u0‖2+‖?u0‖2)e-2t

其中

‖v‖2+‖Δu‖2+‖u‖2+‖?u‖2≤ρ2，

所以若u是(1)式的解，令B=∪t≥0S(t)B′，其中

B′={(u0,u1)∈H:‖u1+εu0‖2+‖Δu0‖2+‖u0‖2+‖?u0‖2≤ρ2}。

則B為(1)式的解半群在H中的有界吸收集。

3 指數(shù)吸引子

定理2對(duì)任意R>0和任意z1=(u10,u11),z2=(u20,u21)∈H，使得‖zi‖H≤R(i=1,2),則存在常數(shù)Q>0，有

‖S(t)z1-S(t)z2‖≤eQt‖z1-z2‖H，?t∈(0,∞)，

(6)

其中Q是與ε,α,K有關(guān)的常數(shù)。

wtt+wt+Δ2w-Δ(αwt)-Δ(f(u1)-f(u2))=0。

(7)

用wt與(7)式做內(nèi)積，得

(8)

且

(9)

把(9)式代入(8)式，得

進(jìn)一步放縮，可得

其中Q是與ε,α,K有關(guān)的常數(shù)。

再利用Gronwall引理，可得(6)式。

定理3存在常數(shù)M>0，使得

其中z0=(u0,u1),z(t)=(u(t),ut(t))。

(10)

(11)

結(jié)合(5)式，H?lder不等式，Young不等式及定理1，得

(12)

(13)

把(12)式，(13)式代入(11)式，得

(14)

由定理3的有界性及范數(shù)的等價(jià)性，可得

(15)

對(duì)(14)式使用Gronwall引理并結(jié)合(15)式，有

其中C3,C4,C5都為正常數(shù)。

通過(guò)比較，可得出utt和Δut的有界性，則有

即

定理4對(duì)?T>0,映射(t,u0)→S(t)u0，即[0，T]×χ→χ是Lipschitz連續(xù)的。

證明對(duì)u0,u1∈χ,t1,t2∈[0,T]，有

‖S(t1)u0-S(t2)u1‖H≤‖S(t1)u0-S(t1)u1‖H+‖S(t1)u1-S(t2)u1‖H。

由定理3可得

因此

‖S(t1)u0-S(t2)u1‖H≤L[|t1-t2|+‖u0-u1‖H]。

其中L=L(T)≥0。

定理5設(shè)χ∈H是不變緊子集，且W到H是緊嵌入，則映射S(t*):χ→χ有如下分解形式：

S(t*)=S0+S1，S0:χ→H，S1:χ→W。

并且S0和S1滿(mǎn)足下列不等式：

(16)

(17)

(18)

使用Poincaré不等式，有

引入泛函

由范數(shù)的等價(jià)性，當(dāng)ε足夠小時(shí)，有

(19)

其中c是正常數(shù)。

記θ1=1-ε，有

結(jié)合(19)式，得

利用Gronwall引理和(19)式，有

結(jié)合(5)式及定理3的有界性，有

則

(20)

則有

在(0,t*)上積分，結(jié)合初值條件，有

其中

因此，

定理6設(shè)非線(xiàn)性項(xiàng)f滿(mǎn)足條件(2)和(3)，g∈L2(Ω)，則問(wèn)題(1)生成的解半群{S(t)}t≥0在χ上存在指數(shù)吸引子。

證明可由定理4和定理5得到指數(shù)吸引子的存在性。