半對稱2SPU-2RPC并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計與運(yùn)動學(xué)分析

盧月紅，徐彩蓮

(1.廈門華廈學(xué)院信息與智能機(jī)電學(xué)院，福建廈門 363100；2.廈門工學(xué)院機(jī)械與制造工程學(xué)院， 福建廈門 363100)

0 前言

三維平動和一維轉(zhuǎn)動(3T1R)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在水平方向上具有較好的順應(yīng)性，在豎直方向具有良好的剛性，廣泛應(yīng)用于分揀、包裝、搬運(yùn)以及裝配等工業(yè)領(lǐng)域。3T1R按照動平臺轉(zhuǎn)動軸線可分為3種：3T1Rx、3T1Ry、3T1Rz。由平行四邊形支鏈構(gòu)成的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)(H4、I4、Par4和Heli4等)具有運(yùn)動靈活、剛度大、加速度大的操作性能，即可實(shí)現(xiàn)三維移動和繞軸轉(zhuǎn)動。近年來，越來越多的學(xué)者在3T1R機(jī)器人方面進(jìn)行了很多創(chuàng)新性工作。文獻(xiàn)[5]提出一種3T1R的四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，根據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計原理分析自由度特性，同時建立運(yùn)動學(xué)方程，推導(dǎo)得到正逆解；利用數(shù)值法分析工作空間形狀和大小，基于雅克比矩陣分析奇異位形以規(guī)避內(nèi)部正解奇異。文獻(xiàn)[6]設(shè)計了一種結(jié)構(gòu)簡單、構(gòu)型對稱、工作空間大的3T1R 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)，根據(jù)螺旋理論驗(yàn)證其運(yùn)動特性；建立運(yùn)動學(xué)正逆解數(shù)學(xué)模型，分別分析機(jī)構(gòu)的奇異性和操作空間等特性，給出了幾種典型的奇異構(gòu)型；最后，研究了可達(dá)工作空間的形狀和幾何約束條件之間的關(guān)系。文獻(xiàn)[7]利用螺旋理論和約束螺旋綜合法對3T1R完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行構(gòu)型綜合，根據(jù)螺旋理論構(gòu)造所期望的正逆雅克比矩陣，通過支鏈驅(qū)動副布置得到支鏈的所有可能構(gòu)型；綜合得到一類由支鏈上獨(dú)立輸入驅(qū)動的完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[8]根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計理論設(shè)計一種單自由度輸入的新型三平移一轉(zhuǎn)動輸出(3T1R)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過方位特征集分析機(jī)構(gòu)的運(yùn)動特性，建立運(yùn)動學(xué)方程模型，同時通過數(shù)值解進(jìn)行互驗(yàn)；利用仿真軟件得到輸出速度及加速度變化規(guī)律曲線；通過ADAMS軟件進(jìn)行運(yùn)動仿真，得出位置點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。文獻(xiàn)[9]設(shè)計一種完全對稱的4RPUR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，根據(jù)螺旋理論推導(dǎo)出機(jī)構(gòu)的自由度和運(yùn)動性質(zhì)；通過桿長約束條件建立數(shù)學(xué)模型，分析運(yùn)動學(xué)正逆解；采用差分進(jìn)化算法解決無約束優(yōu)化問題(位置正解計算問題)，并提出一種新型的矢量變異策略簡化算法以提高優(yōu)化效率；最后，通過與其他算法對比，證明其高效性。

受文獻(xiàn)[10]啟發(fā)，提出一種可實(shí)現(xiàn)三維移動和繞軸轉(zhuǎn)動的3T1Ry并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)。通過方位特征集計算機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性，驗(yàn)證機(jī)構(gòu)具有三平移一轉(zhuǎn)動的運(yùn)行性能。根據(jù)幾何約束條件建立運(yùn)動學(xué)數(shù)學(xué)方程模型，同時選擇一組數(shù)值驗(yàn)證正逆解有效性?；诖耍治霾僮骺臻g和奇異性等運(yùn)動特性，給出正解和逆解奇異的存在條件。另外，分析參數(shù)對工作空間體積的影響，建立數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，完成機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)的最優(yōu)化設(shè)計。

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計

1.1 機(jī)構(gòu)模型描述

2SPU-2RPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖如圖1 所示。機(jī)構(gòu)為半對稱機(jī)構(gòu)，其中支鏈可描述為

圖1 機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖

1⊥2⊥3(1∥3)=1,2

1⊥2⊥()=3,4

該機(jī)構(gòu)的支鏈1、2相同且對稱分布，支鏈3、4相同且對稱分布。動、靜平臺外切圓半徑為、。根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)分布特點(diǎn)，移動副作為驅(qū)動副，移動副的位移定義為(=1,2,3,4)，定義移動副的驅(qū)動范圍為[,]。

圖2 2SPU-2RPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型

1.2 機(jī)構(gòu)的方位特征集分析

根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)計算支鏈末端構(gòu)件的方位特征集，經(jīng)計算4條支路構(gòu)件的方位特征集為

(1)

(2)

(1-2-3-4)=1∩2∩3∩4=

(3)

1.3 機(jī)構(gòu)的自由度計算

自由度的計算公式有很多種，根據(jù)方位特征集的方法計算自由度，如公式所述:

(4)

(5)

根據(jù)公式(4)、(5)計算得到自由度：

(6)

綜上分析,機(jī)構(gòu)的自由度為4，該機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)三維移動且繞軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動。

2 位置分析

2.1 位置逆解分析

機(jī)構(gòu)的主動副是和靜平臺相連的移動副，動平臺執(zhí)行末端的位姿(,,,)，位置逆解可描述為根據(jù)位姿推導(dǎo)得到移動副的位移方程。在靜、動平臺的中心建立靜坐標(biāo)系{-}、動坐標(biāo)系{-}， 具體分析過程如下：

根據(jù)參數(shù)定義得到靜平臺上轉(zhuǎn)動副1坐標(biāo)分別為(,0,0)、(-,0,0)、(0,-,0)、(0,,0)，機(jī)構(gòu)動平臺上的點(diǎn)與點(diǎn)在動坐標(biāo)系{-}中表示為

(7)

為動平臺繞定坐標(biāo)系軸旋轉(zhuǎn)角度，則旋轉(zhuǎn)矩陣：

(8)

因此，根據(jù)坐標(biāo)變換原理，可得點(diǎn)、在靜坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為

(9)

根據(jù)桿長約束條件可得如下等式：

(10)

另外，在△和△中，運(yùn)用向量之間的外積，可得到如下等式：

(11)

通過等式(10)(11)，將變量(=1,2,3,4)進(jìn)行分離，推導(dǎo)可得運(yùn)動學(xué)逆解(=1,2,3,4)表達(dá)式:

(12)

根據(jù)上述動平臺的位置姿態(tài)，可由公式(12)得到位置逆解。

2.2 位置正解分析

位置正解是指根據(jù)輸入求輸出，即通過(=1,2,3,4)得到動平臺末端的位姿(,,,)。根據(jù)等式(12)，分離變量得到有關(guān)于(,,,)的方程組:

(13)

針對高次非線性方程組，可用Newton-Raphson方法進(jìn)行計算。

2.3 位置正解逆解算例

根據(jù)公式(13)，解高次非線性方程組，可得4組正解數(shù)值解，如表1所示。其中,=1 m、=0.8 m。

表1 部分正解算例

根據(jù)公式(12)，得到部分逆解算例，如表2所示。

表2 部分逆解算例

由表1、表2可知：逆解的值能夠完全匹配正解的值，驗(yàn)證了運(yùn)動學(xué)正逆解計算的正確性。

3 奇異性分析

(14)

其中：為逆雅克比矩陣；為正雅克比矩陣。

若非奇異，則:

(15)

若非奇異，則:

(16)

其中:

=2(+cos-)

=2(-cos+)

===

=2(-sin)

=2(+sin)

=-2(sin-sin+cos)

=2(sin+sin+cos)

==2

=2(+-)，=2(-+)

==2

3.1 逆解奇異性分析

機(jī)構(gòu)逆解奇異條件為det()=0且det()≠0，計算整理可得：det()=，則要求det()=0。

因此，存在以下情況，當(dāng)任意支鏈的移動副驅(qū)動副位移為0，則存在逆解奇異。工程實(shí)際應(yīng)用過程中可通過設(shè)置移動副的移動位移范圍不包括極限位置，規(guī)避運(yùn)動過程中存在逆解奇異的可能。

3.2 正解奇異性分析

機(jī)構(gòu)正解奇異條件為det()=0且det()≠0，整理計算可得det()的表達(dá)式:

det()=16sin(-)(4cos-4-4sin)

令det()=0，因此，存在以下3種情況：

情況一：=0，即動平臺的轉(zhuǎn)角為0，調(diào)整位置姿態(tài)轉(zhuǎn)動范圍，可使得轉(zhuǎn)動過程中避免這類情況出現(xiàn)；

情況二：=π/2且=()，控制參數(shù)的設(shè)置可以規(guī)避這類奇異出現(xiàn);

情況三：=，機(jī)構(gòu)選擇過程中應(yīng)使得動平臺和靜平臺半徑不同。

4 機(jī)構(gòu)的工作空間分析

4.1 定姿態(tài)工作空間

表3所示為機(jī)構(gòu)的一組尺寸參數(shù)，現(xiàn)在根據(jù)此參數(shù)進(jìn)行定姿態(tài)工作空間的研究。

表3 機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)

圖3所示為在表3參數(shù)下的定姿態(tài)的工作空間?？芍?0°姿態(tài)角的工作空間最大，總體呈現(xiàn)圓柱包形狀，底部是 “M”形掏空狀態(tài)；30°姿態(tài)角下工作空間呈現(xiàn)“馬桶”狀，且工作空間體積逐漸減??；60°下工作空間更小，為不規(guī)則圖形。90°～180°以上不存在工作空間，考慮對稱性，360°與0°一致，不再贅述。

圖3 不同姿態(tài)角下工作空間形狀

為進(jìn)一步研究姿態(tài)角對工作空間的影響，在不同姿態(tài)角下，對500個不同參數(shù)下工作空間體積的分布進(jìn)行計算，結(jié)果如圖4所示。

由圖4可知：定姿態(tài)角工作空間體積大致按照180°呈對稱分布，從0°到100°，工作空間體積分布越來越窄，最大值越來越??；在100°～250°姿態(tài)角內(nèi)，工作空間體積都為0，即機(jī)構(gòu)在較高的姿態(tài)角度內(nèi)工作空間不存在。因此，此并聯(lián)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用設(shè)計應(yīng)盡量選擇低姿態(tài)角。

圖4 姿態(tài)角對工作空間體積的影響

4.2 可達(dá)工作空間

根據(jù)表3的機(jī)構(gòu)參數(shù)，計算得到該參數(shù)下的工作空間三維形狀，如圖5所示。該參數(shù)下，可達(dá)工作空間呈現(xiàn)“窩窩頭”形狀，內(nèi)部有“M”形拱門空洞，工作空間連續(xù)光滑，體積較大，約為0.97 m。

續(xù) 表1

圖5 機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間(按表3參數(shù))

5 參數(shù)對工作空間的影響

研究機(jī)構(gòu)參數(shù)對可達(dá)工作空間體積的影響對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用設(shè)計具有重要意義。為便于分析，選擇單一變量法研究參數(shù)對可達(dá)工作空間的影響，即固定某一參數(shù)，其余參數(shù)變化，得到最大的可達(dá)工作空間體積，結(jié)果如圖6所示。

圖6 結(jié)構(gòu)參數(shù)對工作空間體積的影響

由圖6可知：隨的增大，可達(dá)工作空間逐漸減小，在=1 m時取得最大值；隨的增大，可達(dá)工作空間逐步增大，在=1 m后，趨于穩(wěn)定；隨的增大,最大可達(dá)工作空間反而減小，但降幅較小，約2 m;隨的增大，最大可達(dá)工作空間相應(yīng)增加。從體積變化幅度看，的影響較小，其余參數(shù)影響較大，并且分析可得，最大可達(dá)工作空間的參數(shù)很可能在=1 m、=03 m、=15 m、≥09 m處產(chǎn)生。

6 工作空間的優(yōu)化

6.1 優(yōu)化模型的建立

在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計過程中，期望機(jī)構(gòu)的操作空間盡可能大。但考慮到并不是結(jié)構(gòu)尺寸越大越好，建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間最大化的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，以得到一組最優(yōu)參數(shù)解。

目標(biāo)函數(shù)為：Max{(,,,)}

6.2 優(yōu)化算法的選擇

鯨魚優(yōu)化算法(Whale Optimization Algorithm，WOA)是一種元啟發(fā)式優(yōu)化算法，用隨機(jī)個體或最優(yōu)個體模擬座頭鯨的捕獵行為，并用螺旋線模擬座頭鯨的泡泡網(wǎng)攻擊機(jī)制。

6.3 優(yōu)化設(shè)計算例

選擇如表4所示的鯨魚優(yōu)化參數(shù)，進(jìn)行最大可達(dá)工作空間體積的優(yōu)化，得到圖7所示的優(yōu)化過程。

表4 鯨魚優(yōu)化算法參數(shù)

圖7 鯨魚算法最優(yōu)化過程

由圖7可知：迭代約23次時基本已收斂找到最大值。最大可達(dá)工作空間下的參數(shù)如表5所示。該參數(shù)基本和第5節(jié)的分析一致，≈1 m。圖8所示為該參數(shù)下的可達(dá)工作空間的三維圖，該可達(dá)工作空間體積較大，底部有一個半圓柱形小孔，體積約為6.67 m。

表5 WOA優(yōu)化的機(jī)構(gòu)參數(shù)

圖8 最大可達(dá)工作空間的三維圖

7 結(jié)論

(1)提出一種可實(shí)現(xiàn)三平移一轉(zhuǎn)動的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，利用方位特征集理論驗(yàn)證機(jī)構(gòu)的運(yùn)動性質(zhì)。

(2)根據(jù)向量的外積和矢量法推導(dǎo)得到機(jī)構(gòu)的運(yùn)行學(xué)逆解方程，并根據(jù)Newton-Raphson方法計算機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)正解方程的數(shù)值解。分別分析機(jī)構(gòu)的奇異性和工作空間的運(yùn)動學(xué)特性。運(yùn)動過程中應(yīng)避免運(yùn)動到極限位置，以避免逆解奇異，同時應(yīng)盡量避免姿態(tài)角等于0或=π2或=的情況出現(xiàn)，導(dǎo)致運(yùn)動學(xué)正解奇異。

(3)分析了姿態(tài)角對工作空間體積的影響，結(jié)果表明：姿態(tài)角越大，工作空間的運(yùn)動范圍越小。因此，應(yīng)盡量選擇低姿態(tài)角下工作。

(4)分析了參數(shù)對工作空間的影響，結(jié)果表明：、越大，機(jī)構(gòu)的操作空間越大；、參數(shù)值越大，機(jī)構(gòu)的操作空間范圍越小。