基于區(qū)域規(guī)劃法的泵車臂架系統(tǒng)反解算法及自動澆筑軌跡

劉凱磊，劉榮升，康紹鵬，強紅賓,2，陶揚

(1.江蘇理工學院機械工程學院，江蘇常州 213001；2.國機重工集團常林有限公司，江蘇常州 213136；3.江蘇大學國家水泵及系統(tǒng)工程技術研究中心，江蘇鎮(zhèn)江 212013；4.河南工學院智能工程學院，河南新鄉(xiāng) 453000)

0 前言

混凝土泵車是一種利用壓力將混凝土沿管道連續(xù)輸送的工程機械，廣泛應用于國家基礎設施及軍工國防建設。目前，混凝土泵車的使用主要由人工操作來完成，操作者的操作水平直接影響澆筑精度，加之長時間的重復操作容易引起疲勞，會進一步影響到澆筑精度進而使工作效率降低。因此，為了提高澆筑效率、改善工作環(huán)境以及減輕操作者勞動強度，智能化自動澆筑作業(yè)已成為該領域國內外研究的熱點。

國外內學者主要從操控系統(tǒng)設計、運動學分析、柔性動力學分析、臂架振動機制、電液技術開發(fā)等方面展開研究，并取得了一定成果。為實現智能化自動澆筑作業(yè)，必須對混凝土泵車臂架系統(tǒng)進行運動學分析，然后對澆筑軌跡進行規(guī)劃，從而為后續(xù)澆筑軌跡運動控制提供理論支撐。然而，混凝土泵車臂架系統(tǒng)是一組多自由度的串聯機構，一般多自由度串聯機器人的運動學反解是機器人領域研究的難點。LEE和LIANG利用14個運動學反解方程和解析方法，得到一般6R機器人的16組反解。RAGHAVAN和ROTH利用分離變量消元的方法將運動學反解問題轉化為關節(jié)變量半角正切的一元十六次方程求根問題等。對于混凝土泵車臂架而言，運動學反解是實現自動澆筑的最基本前提，現階段的研究多采用反變換法、幾何法、最小關節(jié)范數法等。反變換法是機器人研究領域常用的反解算法，即左乘逆矩陣代數法直接求解6個一元方程，求得多組逆解，需要反復左乘逆矩陣，尋求合適的求解方程，其計算過程復雜，耗時長。澆筑過程中，只有臂架末端位置已知，姿態(tài)未知，因此更增大了求解的難度，而且根據通用方法反解出的角度隨意性大，短時間內變化跨度大，使得臂架跟蹤性能差，易產生振動。

因此，為克服目前串聯機器人反解算法計算過程復雜、耗時長，不適于工程應用的困難，以五節(jié)臂混凝土泵車為研究對象，對混凝土泵車臂架系統(tǒng)進行運動學分析。利用區(qū)域軌跡規(guī)劃法將臂架系統(tǒng)的工作空間進行細分，研究基于區(qū)域規(guī)劃法的泵車臂架系統(tǒng)反解算法；利用插補算法，根據實際澆筑工況，對典型的自動澆筑軌跡進行規(guī)劃，從而為后續(xù)自動澆筑軌跡運動控制提供參考。

1 運動學正解分析

1.1 混凝土泵車臂架系統(tǒng)坐標模型

混凝土泵車臂架系統(tǒng)是一組空間六自由度開環(huán)串聯機構。根據D-H法建立混凝土泵車臂架機構關節(jié)坐標系，如圖1所示。

圖1 混凝土泵車臂架機構關節(jié)坐標系

結合各節(jié)臂架的結構尺寸，可以得到D-H矩陣的連桿參數，如表1所示。其中，表示從到+1沿測量的距離；表示從到+1繞旋轉的角度；表示從-1到沿測量的距離；表示-1到繞旋轉的角度。

表1 混凝土泵車臂架系統(tǒng)的連桿參數

1.2 運動學正解

(1)

(2)

式中:=cos;=sin;=cos;=sin;=cos(+);=sin(+)，以此類推。

由式(2)可以看出臂架末端點的坐標(，，)是關于、、、、、的函數。因此，確定關節(jié)變量～，可以確定臂架末端點在基坐標系中的位置，所以針對關節(jié)變量的精確控制可實現在機械機構允許范圍內的任意澆筑軌跡。

2 基于區(qū)域規(guī)劃法的運動學反解

2.1 運動學反解工況分析

五節(jié)臂泵車臂架系統(tǒng)是一組空間六自由度串聯機構，根據空間機構學原理，該機構有2個或3個冗余自由度，所以當澆筑軌跡確定時，會有很多冗余反解。一般的求解方法不能求解出唯一的各相對轉角，因而無法實現智能化自動澆筑。為解決這一問題，將凝土泵車臂架系統(tǒng)的工作空間進行分區(qū)域規(guī)劃，根據臂架位姿及其運動狀態(tài)，在區(qū)域內設定相關臂架的關節(jié)變量，可使運動學反解具有唯一性，從而為泵車臂架系統(tǒng)的實時控制奠定基礎。分析混凝土泵車臂架結構，可知混凝土泵車臂架末端的可達區(qū)域是一個空間半球形區(qū)域，如圖2所示。

圖2 混凝土泵車臂架末端空間半球形可達區(qū)域

回轉角可根據公式(3)推導求出：

(3)

由式(3)可知，回轉角是關于末端位置點坐標和的函數，當點位置確定時，可以求出唯一回轉角。

基于的唯一性，在區(qū)域劃分時，可將回轉角忽略，即將半球刨切成平面，將空間逆解問題限定為平面逆解問題。在平面區(qū)域上僅有和坐標，從而簡化逆解計算過程。

在唯一確定后，尚有～5個未知數待解，而已知參數只有點的和坐標，仍無法唯一確定各相對轉角，實現自動軌跡控制。

根據臂架結構特性，在確定的情況下，若確定～，則僅剩下和兩個未知數，進而可根據坐標和，求出唯一解和。

在、、、、和確定時，根據公式(1)和(2)，可求出和：

(4)

式中:、、和為簡化公式所定義的參數，其他參數定義與式(2)相同。

2.2 臂架運動學反解的區(qū)域軌跡規(guī)劃原理

根據上述求解思想，本文作者提出基于區(qū)域規(guī)劃的反解算法，其核心是將整個平面操作區(qū)域劃分為多個規(guī)則的求解區(qū)域。為快速、準確求得唯一解，每個區(qū)域有固定的坐標和關節(jié)參數、、供查詢，對于澆筑軌跡上的任何一點都可快速求得一組目標關節(jié)變量，避免了繁瑣、費時的多次迭代。

澆筑過程中，臂架結構若呈現如圖3所示的“非正包絡”形式，各臂連接處在混凝土泵送時容易受到沖擊而造成臂架振動。相反，若呈現如圖4所示的“正包絡”形式，可以大大減小臂架振動。

圖3 泵車臂架“非 圖4 泵車臂架“正正包絡”形式 包絡”形式

因此，將“正包絡”引入到區(qū)域規(guī)劃法中。以“正包絡”澆筑形式確定每一組關節(jié)變量～及、的變化范圍，則臂架末端點在平面中的可達區(qū)域可由正解公式(2)求得。例如，選取出一組關節(jié)變量=0°、=75°、=165°、=160°、=160°～ 240°、=30°～ 170°，經計算，臂架末端點的可達區(qū)域如圖5所示。

圖5 特定角度時臂架末端點P可達區(qū)域

按上述方法，將臂架的整個工作空間進行區(qū)域規(guī)劃：

(1)把臂架工作空間等分成若干個正方形區(qū)域，依據實際澆筑工況及臂架結構特性確定正方形區(qū)域邊長為5 m；

(2)通過選取不同關節(jié)變量、、的值，按照前面所述方法確定臂架末端的可達區(qū)域，但每個區(qū)域并不是規(guī)則的幾何圖形，如圖5所示，不符合正方形的條件，所以對可達區(qū)域所能完全覆蓋的正方形進行標記，并記錄當前關節(jié)變量、、的值，依此類推，規(guī)劃出每一個新區(qū)域；

(3)臂架在跨區(qū)域運動時，由于不同區(qū)域關節(jié)變量、、的值不同，瞬間的角度變化會導致臂架控制不穩(wěn)定，控制精度變差并出現振動，因此在相鄰正方形區(qū)域內，各自設置1 m的過渡區(qū)，、、以連續(xù)性變化實現過渡；

(4) 由于臂架結構的缺陷及“正包絡”的限制，臂架自動澆筑的工作空間即上述區(qū)域規(guī)劃的范圍，略小于臂架系統(tǒng)可達空間，但滿足澆筑工況需求。

通過上述規(guī)劃方法可將臂架自動澆筑的工作空間劃分為42個區(qū)域，如圖6所示。

圖6 泵車臂架末端可達區(qū)域平面劃分圖

依據劃分的區(qū)域，結合實際澆筑軌跡，可快速計算出澆筑軌跡上各臂架的相對轉角，為臂架的智能控制建立基礎。

3 自動澆筑軌跡規(guī)劃

3.1 自動澆筑軌跡實現

依據區(qū)域劃分，建立臂架澆筑末端坐標與各關節(jié)變量之間的一一對應關系。在澆筑軌跡已知的情況下，運用插補算法將軌跡曲線離散成一系列的澆筑點。利用區(qū)域規(guī)劃法求出每個澆筑點所對應的一組關節(jié)變量，當求出相鄰兩個澆筑點所對應關節(jié)變量以后，利用控制系統(tǒng)驅動各臂架的執(zhí)行液壓缸，使得各臂同步達到同一組關節(jié)變量，使臂架澆筑末端從軌跡的一個離散點運動到下一個離散點，依次循環(huán)，臂架澆筑末端從軌跡的起點運動到終點，實現自動澆筑功能。

3.2 直線軌跡實時插補算法

為保證澆筑過程的平穩(wěn)性，在澆筑起點與終點之間采用插補算法，插入中間點，再用運動學反解算法求出各個關節(jié)的角度，通過控制系統(tǒng)對泵車臂架進行實時控制，具體流程如圖7 所示。

圖7 直線軌跡控制流程

空間直線插補是串聯機構理論中不可缺少的基本插補算法，在已知該直線始末兩點的位置和姿態(tài)下，求各軌跡插補點的位置和姿態(tài)。當給定直線始末兩點的坐標為(，，)和(，，)，臂架末端從點勻速運動到點，在固定插補步長Δ的條件下，確定插補次數，進而算出插補點的坐標。

綜合考慮澆筑過程的穩(wěn)定性與控制器計算精度，取插補步長Δ為100 mm，則插補直線長度為

(5)

插補總步數為

(6)

則可以實時計算出各插補點的坐標：

(7)

式中：為插補次數，在0～之間變化；、、為第次插補點的坐標值。

3.3 自動澆筑直線軌跡控制流程

混凝土泵車由于其露天工況，控制系統(tǒng)采用的是16位工程機械運動控制器，控制器的CPU、內存等參數遠低于工業(yè)控制器，但是工作溫度、防護等級均高于工業(yè)控制器，因此，其計算能力有限。為滿足控制系統(tǒng)自動澆筑直線過程中實時性自動控制的要求，設計基于插補算法的控制流程圖，如圖8所示。

具體步驟如下：

(1)確定直線運動軌跡。在當前狀態(tài)，通過裝在回轉機構之間、臂架與臂架之間的6個角度傳感器在線實時測量6個關節(jié)變量，通過公式(2)計算出臂架末端點當前坐標，根據直線軌跡的終點坐標，判斷它是否超出臂架末端點工作范圍，若沒有超出則確定該點為直接軌跡終點坐標；若超出范圍，則以臂架末端點的最遠點為終點坐標。

(2)直線運動軌跡離散。通過直線軌跡的起點和終點坐標，計算直線長度，根據插補步長Δ，利用式(5)—(7)計算直線軌跡上的插補點，最終確定每個離散點的坐標。

(3)運動學反解計算與實時控制。確定臂架末端點當前坐標后，根據下一離散點的坐標，判斷它是否處于過渡區(qū)，若不處于過渡區(qū)，根據所在區(qū)域標號，查出關節(jié)變量、和，并根據式(3)(4)反解計算出、和；如處于過渡區(qū)，則根據兩個相鄰區(qū)域標號的關節(jié)變量、和進行插值,計算出、和，并根據式(3)(4)反解計算出、和；然后將下一個離散點作為目標點，通過對各個關節(jié)實施閉環(huán)反饋控制，完成每個離散點跟蹤控制，進而完成臂架末端直線澆筑軌跡控制。

圖8 直線軌跡控制流程

3.4 典型運動軌跡規(guī)劃

選取兩種典型的直線軌跡進行運動仿真，分析驗證直線軌跡控制流程。在實際澆筑過程中，垂直平面內的水平直線和水平面內的斜直線澆筑軌跡最為典型。因此，選取水平直線、斜直線進行軌跡規(guī)劃，分別如圖9、圖10所示。

圖9 垂直平面內的水平直線軌跡

圖10 水平面內的斜直線軌跡

當泵車臂架末端的運動軌跡如圖9和圖10所示時，各個臂架相對轉角均呈現連續(xù)性變化，分別如圖11和圖12所示。

圖11 垂直平面內水平直線軌跡時臂架末端相對轉角變化曲線 圖12 水平平面內斜直線軌跡的相對轉角變化曲線

兩種典型直線計算結果表明：

(1)泵車臂架末端在垂直平面內運動時，沒有回轉運動，不變化，為恒定值；在水平面內運動時，有回轉運動，、和均發(fā)生連續(xù)性變化。

(2)泵車臂架末端在非過渡區(qū)域內運動時，相對轉角、和不發(fā)生變化，其值為非過渡區(qū)域內設定的相轉角值。

(3)泵車臂架末端在過渡區(qū)域內運動時，相對轉角～均發(fā)生連續(xù)性變化，變化趨勢比較明顯。

上述計算結果符合所設計的直線軌跡控制流程，達到了泵車臂架澆筑末端直線行走的目的，并且具有反解唯一、計算量小、實時性高等特點，能夠在16位工程機械運動控制器實現。

5 結論

(1)針對混凝土泵車臂架系統(tǒng)臂架末端的反解算法計算量大、耗時長等特點，提出了基于區(qū)域規(guī)劃法的泵車臂架系統(tǒng)反解算法，簡化了臂架反解運算過程，使反解具有唯一性，從而提高了在線反解計算速度，適于工程應用。

(2)在泵車臂架末端直線澆筑軌跡的起點和終點之間，采用了插補算法，有效提高了澆筑過程的平穩(wěn)性，并兼顧了控制器的計算與儲存能力。

(3)根據混凝土泵車工況需求，提出了混凝土泵車智能化自動軌跡澆筑實施方法，對兩種典型的直線運動軌跡進行了反解計算，驗證了該方法的可行性。