基于光滑急動(dòng)S曲線的激光鋼坯標(biāo)識(shí)機(jī)構(gòu)軌跡規(guī)劃

趙忠祥，潘存海，張帥鵬,李嘉文

(1.天津科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300222；2.天津市輕工與食品工程機(jī)械裝備集成設(shè)計(jì)與在線監(jiān)控重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300222)

0 前言

傳統(tǒng)的鋼坯標(biāo)識(shí)設(shè)備主要有撞號(hào)機(jī)、涂料噴涂標(biāo)識(shí)設(shè)備、電弧噴涂設(shè)備和高能束噴涂標(biāo)識(shí)設(shè)備等。而激光直接零部件標(biāo)識(shí)(Laser Direct Part Marking)技術(shù)是一種在工業(yè)環(huán)境中證實(shí)可行、可實(shí)現(xiàn)高度自動(dòng)化且綠色環(huán)保的標(biāo)識(shí)技術(shù)，已經(jīng)成為工業(yè)產(chǎn)品追溯中產(chǎn)品標(biāo)識(shí)的重要手段。新型鋼坯標(biāo)識(shí)設(shè)備以多軸機(jī)械手為傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、激光打標(biāo)機(jī)為核心部件對(duì)鋼坯進(jìn)行準(zhǔn)確標(biāo)識(shí)。

根據(jù)標(biāo)識(shí)運(yùn)動(dòng)過程的不同，標(biāo)識(shí)模式分為固定標(biāo)識(shí)和飛行標(biāo)識(shí)。固定標(biāo)識(shí)即將標(biāo)識(shí)設(shè)備運(yùn)動(dòng)到某一點(diǎn)后進(jìn)行靜態(tài)打標(biāo)，要求運(yùn)動(dòng)結(jié)束后標(biāo)識(shí)設(shè)備定位準(zhǔn)確，并且殘余振動(dòng)小、在運(yùn)動(dòng)結(jié)束后能立刻進(jìn)行標(biāo)識(shí)而不需要額外的等待時(shí)間。飛行標(biāo)識(shí)是標(biāo)識(shí)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)多個(gè)分立的產(chǎn)品進(jìn)行動(dòng)態(tài)打標(biāo)，要求飛行過程中，標(biāo)識(shí)機(jī)構(gòu)快速進(jìn)入運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)階段，沒有晃動(dòng)，因此需要快速達(dá)到勻速段，即要求加速和減速時(shí)間短。同時(shí)，要保證機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中急動(dòng)曲線的連續(xù)，以免產(chǎn)生較大的啟停振動(dòng)，但倍福PLC內(nèi)置的梯形加減速曲線明顯不能滿足上述要求。因此，基于倍福PLC開發(fā)適合鋼坯標(biāo)識(shí)過程的軌跡規(guī)劃算法很有必要。

標(biāo)識(shí)機(jī)構(gòu)軌跡規(guī)劃算法直接影響最終的標(biāo)識(shí)結(jié)果。梯形速度剖面雖然可達(dá)到時(shí)間最優(yōu)，但它在理論上具有無限大沖擊峰值的缺點(diǎn)，并且加速度曲線并不連續(xù)。S速度剖面曲線被限制在有限的加速度和沖擊范圍內(nèi)，沖擊曲線不連續(xù)，容易在結(jié)束位置產(chǎn)生殘余振動(dòng)。而高階多項(xiàng)式S曲線、正弦S曲線和諧波S曲線具有連續(xù)且光滑的急動(dòng)曲線，能保證開始和結(jié)束時(shí)刻急動(dòng)值為0，即殘余振動(dòng)更小，適合此研究平穩(wěn)、準(zhǔn)確的要求。

本文作者介紹激光鋼坯標(biāo)識(shí)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，比較正弦和諧波2種不同類型急動(dòng)剖面的特點(diǎn)；給出諧波AS曲線的時(shí)間參數(shù)確定算法，并引入加速段和減速段的比率參數(shù)以簡化模型；進(jìn)一步比較兩類存在勻速段的正弦S曲線，以找出勻速段占比更大的適合飛行標(biāo)識(shí)任務(wù)的曲線類型；給出PLC程序數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換時(shí)對(duì)精度的三次補(bǔ)償策略，并在直角坐標(biāo)機(jī)械手上進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。

1 直角坐標(biāo)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

采用滾珠絲杠結(jié)構(gòu)將直角坐標(biāo)機(jī)械手3個(gè)關(guān)節(jié)的平動(dòng)轉(zhuǎn)換成3個(gè)伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)，并通過倍福PLC帶動(dòng)伺服驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制。其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如圖1所示。固定標(biāo)識(shí)時(shí)3個(gè)軸同時(shí)運(yùn)動(dòng)，在對(duì)每個(gè)軸分別進(jìn)行軌跡規(guī)劃后需要進(jìn)行三軸同步，以保證同時(shí)到達(dá)指定位置。激光打標(biāo)器有一定的標(biāo)識(shí)工作范圍，因此在飛行標(biāo)識(shí)時(shí)應(yīng)保證激光打標(biāo)器與鋼坯端面距離恒定。基于上述任務(wù)要求，飛行標(biāo)識(shí)時(shí)軸1運(yùn)動(dòng)到方向某一位置后，軸2、軸3同時(shí)運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)安裝在工具坐標(biāo)系的激光打標(biāo)機(jī)對(duì)平面上多個(gè)鋼坯端面進(jìn)行平動(dòng)標(biāo)識(shí)。

圖1 直角坐標(biāo)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

2 正弦和諧波急動(dòng)輪廓比較

正弦和諧波S曲線不僅克服了高階多項(xiàng)式S曲線表達(dá)式復(fù)雜、難以實(shí)時(shí)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制的缺點(diǎn)，同時(shí)具有曲線無限可微、急動(dòng)輪廓與高階多項(xiàng)式S曲線急動(dòng)輪廓一樣光滑的優(yōu)點(diǎn)。典型的正弦和諧波S曲線急動(dòng)輪廓的表達(dá)式分別為

(1)

(2)

如圖2所示,正弦和諧波S曲線的急動(dòng)輪廓具有不同的分布特性，因此得到的軌跡規(guī)劃曲線適用于不同的運(yùn)動(dòng)場合。

圖2 正弦和諧波S曲線沖擊輪廓比較

由圖2可知：當(dāng)兩種曲線以相同的急動(dòng)限制值達(dá)到相同的加速度限制值時(shí)，顯然諧波S曲線更加平緩但付出了更多的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和運(yùn)動(dòng)距離。因此諧波S曲線更適合于要求啟停平穩(wěn)尤其是停止時(shí)殘余振動(dòng)小的固定標(biāo)識(shí)任務(wù)，而正弦S曲線適合于要求有較小加速、減速時(shí)間和距離的飛行標(biāo)識(shí)任務(wù)。

3 諧波AS曲線的時(shí)間參數(shù)確定

為獲得具有低殘余振動(dòng)強(qiáng)度的精確定位，期望執(zhí)行機(jī)構(gòu)具有快速啟動(dòng)和緩慢、平滑的停止。因此，在設(shè)計(jì)具有這種運(yùn)動(dòng)學(xué)特征的輸入時(shí)，需要不對(duì)稱的速度剖面。典型的不對(duì)稱諧波AS曲線如圖3所示，軌跡規(guī)劃重點(diǎn)在于在給定的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束范圍內(nèi)合理規(guī)劃各時(shí)間段參數(shù)以及找出產(chǎn)生各類曲線的位移邊界值。為簡化軌跡規(guī)劃模型，引入加速段和減速段的比率參數(shù)，其中、、和中有3個(gè)獨(dú)立參數(shù)和1個(gè)相關(guān)參數(shù)，相關(guān)參數(shù)可由獨(dú)立參數(shù)確定。

(3)

(1)能達(dá)到速度最大值，同時(shí)達(dá)到加速度最大值和時(shí)，則有：

(4)

其中:能達(dá)到這種情況的最小位移

(5)

圖3 不對(duì)稱諧波AS曲線

(2)不能達(dá)到速度最大值，能達(dá)到加速度最大值和時(shí)，則有：

(6)

其中，能達(dá)到這種情況的最小位移值

(7)

(3)能達(dá)到速度的最大值，不能達(dá)到加速度最大值和時(shí)，則有：

(8)

其中，能達(dá)到這種情況的最小位移值

(9)

(4)不能達(dá)到速度的最大值，不能達(dá)到加速度最大值和時(shí)，則有：

(10)

為保證所有軸同時(shí)到達(dá)目標(biāo)位置，需要以最慢的軸為基礎(chǔ)進(jìn)行時(shí)間尺度同步。=max{,,}為3個(gè)軸中的最大運(yùn)動(dòng)時(shí)間。除最慢的軸外其他兩軸需要重新進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)限制。同步因子利用式(11)進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)重新生成的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)允許值由式(12)確定。

(11)

(12)

4 正弦S曲線類型選擇及參數(shù)確定

激光器的標(biāo)識(shí)工作狀態(tài)應(yīng)處于勻速以確保在相同時(shí)間延遲后達(dá)到下一鋼坯端面的相同位置進(jìn)行打標(biāo)，如果速度變化會(huì)導(dǎo)致每個(gè)鋼坯端面的標(biāo)識(shí)位置不同，甚至不能成功打標(biāo)。因此,軸2和軸3應(yīng)在同一時(shí)刻開始和結(jié)束勻速段。

與諧波S曲線類似，正弦S曲線同樣由于運(yùn)動(dòng)距離的長短會(huì)產(chǎn)生4種不同情況?？紤]存在勻速段的2種情況，如圖4所示。時(shí)間參數(shù)的確定與第3節(jié)諧波S曲線類似，此節(jié)側(cè)重進(jìn)一步比較2種情況的勻速段在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的占比，以選擇勻速段占比更多的曲線類型。

圖4 存在勻速段的2種正弦S曲線

(13)

(14)

顯然，在各時(shí)間段取值相同的情況下>，即不存在勻加速度段正弦S曲線的勻速區(qū)間在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的占比更大，所以飛行打標(biāo)過程的運(yùn)動(dòng)曲線選擇不存在勻加速段的正弦S曲線。激光飛行打標(biāo)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度取決于直角坐標(biāo)機(jī)械手軸2和軸3各自關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)合成笛卡爾空間運(yùn)動(dòng)后的精度。它要求軸2和軸3在同一時(shí)刻開始和結(jié)束勻速段。考慮對(duì)排列在斜面上的圓鋼端面進(jìn)行標(biāo)識(shí)，設(shè)斜面傾角為，則軸2關(guān)節(jié)空間的位移和軸3關(guān)節(jié)空間的位移有以下關(guān)系式：

(15)

5 三次精度補(bǔ)償

在實(shí)際工程應(yīng)用中，上述算法都需要經(jīng)過離散化才能在數(shù)字控制器上實(shí)現(xiàn)。因此，必須將、和全部轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)采樣周期的整數(shù)倍，以保證同步、提高精度。以第3節(jié)的諧波AS曲線為例進(jìn)行說明，值得注意的是此補(bǔ)償方法對(duì)第3節(jié)的4種情況都適應(yīng)。

(1)根據(jù)給定約束條件，按照第3節(jié)算法計(jì)算各時(shí)間段、和的值，轉(zhuǎn)換為采樣周期整數(shù)倍后如式(16)所示，其中[]表示不超過某個(gè)數(shù)的最大整數(shù)，為采樣周期。

(16)

將重新計(jì)算后的、和代入算法得到補(bǔ)償前的位移和能達(dá)到的最大速度。與目標(biāo)位移之間的差值通過增加最大速度的持續(xù)時(shí)間進(jìn)行第一次精度補(bǔ)償。則需要增加的最大速度持續(xù)時(shí)間為

(17)

轉(zhuǎn)換為采樣周期的整數(shù)倍后：

(18)

(19)

轉(zhuǎn)換為采樣周期的整數(shù)倍后：

(20)

(21)

轉(zhuǎn)換為采樣周期的整數(shù)倍后：

(22)

6 試驗(yàn)驗(yàn)證

在基于倍福PLC搭建的直角坐標(biāo)機(jī)械手上分別對(duì)第3節(jié)和第4節(jié)的兩類曲線進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。以在平面上運(yùn)動(dòng)的軸2和軸3為研究對(duì)象，諧波AS曲線在兩次不同運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)限制條件下的運(yùn)動(dòng)曲線分別如圖5—圖8所示。正弦S曲線在達(dá)到最大許用運(yùn)動(dòng)學(xué)限制的條件下剛好能產(chǎn)生勻速段的極限運(yùn)動(dòng)情況，如圖9和圖10所示。當(dāng)進(jìn)一步提高運(yùn)動(dòng)距離或降低急動(dòng)、加速度限制值時(shí)勻速段持續(xù)時(shí)間將會(huì)增加。

圖5 第一次試驗(yàn)時(shí)x方向軸2的運(yùn)動(dòng)曲線(不能達(dá)到速度和加速度許可限制值)

圖6 第一次試驗(yàn)時(shí)y方向軸3的運(yùn)動(dòng)曲線(能達(dá)到速度許可限制值，不能達(dá)到加速度許可限制值)

圖7 第二次試驗(yàn)時(shí)x方向軸2的運(yùn)動(dòng)曲線(不能達(dá)到速度和加速度許可限制值)

圖8 第二次試驗(yàn)時(shí)y方向軸3的運(yùn)動(dòng)曲線(不能達(dá)到速度和加速度許可限制值)

圖9 x方向軸2能產(chǎn)生勻速段的極限運(yùn)動(dòng)情況

圖10 y方向軸3能產(chǎn)生勻速段的極限運(yùn)動(dòng)情況

試驗(yàn)結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的諧波AS曲線和正弦S曲線在直角坐標(biāo)機(jī)械手上運(yùn)行狀況良好，能滿足激光鋼坯標(biāo)識(shí)過程中不同標(biāo)識(shí)任務(wù)的要求。

使用不同的運(yùn)動(dòng)學(xué)限制進(jìn)行多次試驗(yàn)，前兩次試驗(yàn)時(shí)軸2和軸3精度補(bǔ)償前后的終點(diǎn)位置如表1所示，多次試驗(yàn)后補(bǔ)償前后的相對(duì)位置誤差如圖11所示。顯然，進(jìn)行三次精度補(bǔ)償能有效縮小與目標(biāo)終點(diǎn)位置之間的相對(duì)位置誤差，驗(yàn)證了三次精度補(bǔ)償算法的有效性。

表1 諧波AS曲線三次精度補(bǔ)償?shù)脑囼?yàn)驗(yàn)證 單位:mm

圖11 軸2和軸3精度補(bǔ)償前后的相對(duì)位置誤差

7 結(jié)論

本文作者以運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)、精確為目標(biāo)對(duì)激光鋼坯標(biāo)識(shí)設(shè)備運(yùn)行過程中的固定標(biāo)識(shí)、飛行標(biāo)識(shí)兩種不同的標(biāo)識(shí)類型進(jìn)行軌跡規(guī)劃。

(1)成功開發(fā)出了替代PLC內(nèi)置梯形加減速的光滑急動(dòng)S曲線運(yùn)動(dòng)控制功能塊。使用該功能塊時(shí)只需在對(duì)應(yīng)的輸入接口處填寫運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，即可得到規(guī)劃好的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線。

(2)對(duì)PLC在數(shù)值轉(zhuǎn)換過程中引起的精度損失進(jìn)行三次精度補(bǔ)償，通過增加勻速段運(yùn)行時(shí)間對(duì)產(chǎn)生的位置誤差進(jìn)行補(bǔ)償。

試驗(yàn)結(jié)果表明：標(biāo)識(shí)設(shè)備各軸運(yùn)行過程平穩(wěn)，經(jīng)過補(bǔ)償后的終點(diǎn)位置準(zhǔn)確。研究成果也可應(yīng)用于高精度機(jī)床的平穩(wěn)啟停和精確定位場合中。