彈性邊界下局部涂覆約束阻尼梁的振動特性研究*

林 麗,謝宇航

(大連交通大學(xué) 機(jī)車車輛工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)

0 引 言

振動現(xiàn)象廣泛存在于人們的生產(chǎn)生活中，振動與噪聲能夠影響結(jié)構(gòu)的安全性、耐久性、舒適度以及人體的健康，因此結(jié)構(gòu)的減振降噪已成為研究的熱點(diǎn)問題[1]。粘彈性材料應(yīng)用于減振、降噪技術(shù)已經(jīng)有幾十年的發(fā)展歷史，由于它在減振降噪方面表現(xiàn)出的良好效果，因此受到了廣泛重視。但是粘彈性材料的彈性模量都比較小，通常要比常見金屬彈性材料要低四個數(shù)量級以上，所以一般不能單獨(dú)成為工程中的結(jié)構(gòu)材料，而是將它粘附在需要作減振降噪處理的機(jī)械結(jié)構(gòu)或工程結(jié)構(gòu)構(gòu)件上，常用措施是在粘彈性材料上面再附加一層彈性材料(稱為約束層)，一起構(gòu)造約束阻尼結(jié)構(gòu)[2]。粘彈性材料由高分子聚合物組成，它有較高的耗能模量，能在相當(dāng)寬的頻帶內(nèi)抑制振動和噪聲。當(dāng)粘彈性層隨基本結(jié)構(gòu)一起產(chǎn)生彎曲振動而使粘彈性層產(chǎn)生拉壓變形時，在粘彈阻尼材料內(nèi)部會產(chǎn)生剪切應(yīng)變，從而將振動能轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮芎纳⒌?。而約束層的加入會增大粘彈性層的剪切變形從而耗散更多的振動能量[3-4]。對于梁結(jié)構(gòu)，很適合用約束阻尼結(jié)構(gòu)的方式來進(jìn)行減振降噪處理，如果約束層的材料為普通彈性材料(一般為金屬)，則這種夾層梁結(jié)構(gòu)被稱為被動約束層阻尼(PCLD)梁[5]。

由于考慮到阻尼材料成本、重量和耗能效率，同時也為了增強(qiáng)工程實(shí)用性，因此，只有部分基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)被PCLD覆蓋的地方使用阻尼處理顯然更實(shí)用。關(guān)于局部約束阻尼的研究最早可追溯到1968年，由Nokes和Nelson給出了有關(guān)解決部分覆蓋的約束阻尼梁問題的研究[6]。1988年，Lall等人[7]探討了部分覆蓋夾層粱對固有頻率與損耗因子的影響。Ravi等[8]應(yīng)用模態(tài)疊加法研究了兩端固定的局部或全部敷設(shè)自由阻尼層和約束阻尼層梁的動態(tài)響應(yīng)。石慧榮[9]針對局部敷設(shè)被動約束阻尼簡支梁進(jìn)行力學(xué)分析。

從文獻(xiàn)中不難看出這些研究大都基于經(jīng)典邊界，即簡支、固支、自由邊界以及他們的組合。但是由于實(shí)際的梁結(jié)構(gòu)邊界約束條件相對復(fù)雜，導(dǎo)致梁結(jié)構(gòu)的阻尼特性及其對結(jié)構(gòu)振動特性的預(yù)測與實(shí)際性能存在一定的差距。因此，筆者基于一階剪切變形理論的基礎(chǔ)上，提出了一種簡單、便捷、有效的評估彈性邊界下局部涂覆約束阻尼梁振動特性的分析模型。并通過文中計算結(jié)果與現(xiàn)有公開文獻(xiàn)數(shù)據(jù)和有限元計算結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證文中方法的正確性和可靠性。并對涂覆率對減振性能的影響進(jìn)行討論。

1 理論與方法

1.1 基本假設(shè)

為了便于計算分析，提出下列基本假設(shè)條件。

(1) 基梁和約束層按Timoshenko梁處理。

(2) 不考慮垂直于板面方向的壓縮變形，認(rèn)為基層、阻尼層、約束層有相同的撓度函數(shù)。

(4) 忽略各層轉(zhuǎn)動慣量的影響。

(5) 粘彈性層僅在線粘彈性范圍內(nèi)討論。

(6) 各層材料之間完美粘貼，層間無相對滑移。

1.2 模型介紹

局部涂敷被動約束阻尼(PCLD)梁結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中，基梁長度為L，寬度為B。以基梁左端中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系OXZ，基梁、粘彈性層和約束層的位移可表示為：ui(x,z,t)，wi(x,z,t)；截面轉(zhuǎn)角為：φi(x,z,t),(i=b,v,c)。坐標(biāo)歸一化η=x/L。

圖1 局部涂敷PCLD梁結(jié)構(gòu)示意圖

基于一階剪切變形理論，軸向位移u和橫向位移w可表示為：

(1)

式中：ui和w分別是梁域中任意點(diǎn)沿x和z方向的位移；ui,0被定義為在中間表面的位移。根據(jù)上述位移場，結(jié)構(gòu)應(yīng)變位移關(guān)系表示為：

(2)

則應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表示為：

(3)

式中：κi為剪切系數(shù)，對于矩形截面梁，由以下公式表示：

(4)

式中：μ為泊松比。

對于粘彈性材料，其位移場可通過基梁和約束層的位移表示出來。圖2為各層變形示意圖，由位移連續(xù)性條件，對于截面1和2，可分別得到如下等式：

圖2 層間位移連續(xù)性條件

(5)

式中：hb,hv,hc分別為基梁、粘彈性層和約束層的厚度，由上式可以解得：

(6)

基梁的應(yīng)變能和動能為：

(7)

約束層的應(yīng)變能和動能為：

(8)

阻尼層應(yīng)變能和動能：

(9)

文中通過引入邊界彈簧技術(shù)來模擬一般彈性邊界條件，因此在計算時要將儲存在這些彈簧中的彈性勢能考慮在內(nèi)。此處針對滿鋪情況，考慮在三層結(jié)構(gòu)上都加彈簧，若為局部涂覆PCLD梁，邊界彈簧應(yīng)僅施加到基梁上，此時只需考慮式中的前兩項：

(10)

外力作用的虛功為：

(11)

1.3 容許函數(shù)

在瑞利-里茨方法中，選擇合適的容許函數(shù)是至關(guān)重要的，因?yàn)槿菰S函數(shù)的選擇決定了精度和收斂性解決方案的重要性。在這里選用正交多項式，正交多項式形式的縱向模態(tài)函數(shù)可表示為：

(12)

1.4 動力學(xué)方程

根據(jù)得到的能量表達(dá)式和容許函數(shù)，構(gòu)建拉格朗日量：

L=T-U=(Tb+Tv+Tc)-(Uε,b+Uε,v+

Uε,c+Usp)

(13)

帶入拉格朗日方程：

(14)

可得到動力學(xué)方程：

多數(shù)黃瓜品種在8～11 h的短日照條件下生長良好。適宜的溫度是保證黃瓜生長的基礎(chǔ)與前提，黃瓜喜溫暖，不耐寒冷，最適宜地溫為20～25℃，最低為15℃左右。黃瓜喜歡潮濕的環(huán)境，栽培過程中要求保持水分充足，適宜土壤濕度為60～90%，適宜的空氣相對濕度為60～90%，光照充足條件下可以適時提升土壤濕度。另外，黃瓜喜肥而不耐肥，要求結(jié)合黃瓜生長狀態(tài)選擇施肥，宜選擇富含有機(jī)質(zhì)的肥沃土壤。同時合理控制土壤的pH值，通常pH值控制在6.5為宜，以保證黃瓜健康生長。

(15)

其中：

q={(qub)T,(qφb)T,(quc)T,(qφc)T,(qw)T}T

(16)

1.4.1 固有特性求解

令公式(15)右側(cè)為0，設(shè)q=q0eiωt，得到特征值方程：

(-ω2M+K)q0=0

(17)

(18)

1.4.2 諧響應(yīng)求解

在施加橫向定頻點(diǎn)激勵的情況下，式中的fw(η,t)可表示為：

(19)

式中：η*為激勵點(diǎn)位置；Ω為激勵頻率。

則此時廣義力的虛功為：

=ejΩtδw(η*,t)

(20)

廣義力：

(21)

(22)

(23)

2 數(shù)值分析

2.1 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證文中方法的正確性，引入一個算例[10]，將文中的計算方法、算例文獻(xiàn)計算結(jié)果和基于有限元分析的計算結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)對比。算例中材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所列。

表1 PCLD梁結(jié)構(gòu)的材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)

文中通過引入邊界彈簧技術(shù)來模擬復(fù)雜邊界條件，通過對邊界彈簧的剛度賦予適當(dāng)?shù)闹?，可以很容易地?shí)現(xiàn)經(jīng)常遇到的各種邊界條件。除了經(jīng)典邊界外文中又考慮了四種復(fù)雜邊界條件，分別用符號E1、E2、E3和E4表示。表2所列給出了經(jīng)典邊界和彈性邊界的相應(yīng)彈簧剛度值。

表2 不同邊界條件下對應(yīng)的彈簧剛度值

表3和表4分別列出了本方法對固支-自由邊界的PCLD梁結(jié)構(gòu)前6階固有頻率和損耗因子的預(yù)測結(jié)果及算例文獻(xiàn)計算結(jié)果和基于有限元分析的計算結(jié)果的數(shù)據(jù)對比。為了確保結(jié)果的可靠性，分別對粘彈性材料損耗因子取值0.1和1.5兩種情況下的結(jié)果進(jìn)行對比。通過對比分析發(fā)現(xiàn)，采用文中方法所得的計算結(jié)果與相關(guān)文獻(xiàn)吻合度十分良好。因此證明了文中方法具有良好的預(yù)測精度。通過本小節(jié)的研究也證明了該方法具備處理彈性邊界局部涂覆約束阻尼梁振動特性的能力。

表3 C-F邊界PCLD梁固有頻率對比

表4 C-F邊界PCLD梁損耗因子計算值對比

2.2 參數(shù)化研究

為了探究涂覆率對減振性能的影響，以固支-自由邊界的PCLD梁為研究對象，其材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。激勵點(diǎn)設(shè)置在x=L/2處，分別求出涂覆率為50%，75%，100%時，在x=L處w方向位移幅頻曲線。敷設(shè)形式采取按以梁中點(diǎn)對稱敷設(shè)，簡諧力載荷振幅為1 N，頻率在1～800 Hz范圍內(nèi)變化。

綜合圖3～5可以觀察到，減振效果總是隨著PCLD梁涂覆長度的增加而增加。但是，當(dāng)涂覆長度增加到一定程度后，進(jìn)一步增加覆蓋面積則會降低減振效果。也進(jìn)一步說明了，局部涂覆的PCLD梁更具有實(shí)際工程意義。

圖3 50%涂覆率的PCLD梁位移幅頻

3 結(jié) 論

(1) 文中在能量法的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了局部涂覆約束阻尼梁振的運(yùn)動控制方程，并采用假設(shè)模態(tài)法求解。通過模型驗(yàn)證，證明了該方法具有良好的收斂特性和計算精度。

(2) 當(dāng)邊界條件發(fā)生變化時，僅僅修改邊界參數(shù)即可，而不需要重新推導(dǎo)；同時，通過對x1,x2賦予不同的值可以輕松改變涂覆的位置和面積，總體而言該模型簡潔又高效。

(3) 減振效果隨著涂覆率先增大后減小，也說明了局部約束阻尼結(jié)構(gòu)可以減輕構(gòu)件質(zhì)量，達(dá)到更好的減振效果，降低了成本，應(yīng)用靈活。