基于多項式響應面算法的斜拉橋靜動力模型修正研究

曹亦純，鮮 賓

（1.南昌市公路路網運行監(jiān)測中心，江西 南昌 330218；2.江西省公路科研設計院有限公司，江西 南昌 330000）

0 引言

有限元模型作為橋梁設計分析的常規(guī)手段現(xiàn)階段已得到了廣泛應用，但數(shù)值模型難免會引起誤差，誤差主要包括：有限元單元階次誤差，模型結構誤差，以及建模參數(shù)誤差等，即使通過選取高階單元，優(yōu)化數(shù)學假設等手段，參照原始設計圖紙建立的有限元模型與橋梁實際服役狀態(tài)是不同的。因此采用有限元手段對橋梁結構進行數(shù)值分析，誤差是不可避免的，對結構模型進行修正能夠增加模型的契合程度，降低模型的不確定性，使其更加接近結構實際服役狀態(tài)。國內外學者也開展了一部分工作，主要成果如下：田仲初[1]等人以東平大橋為例，建立了等權重的靜動力目標函數(shù)，采用ANSYS軟件作為優(yōu)化平臺對模型的靜動力特性進行修正。魏錦輝[2]等人以某公園虹橋為例，結合實測結構靜載位移和頻率信息構造目標函數(shù)，采用響應面方法對有限元模型進行修正，最終結果吻合程度較好。于振剛[3]等人，采用元模型理論，對結構進行子結構劃分，克服了采用模型靜動力修正時，靜動力修正權重難以量化確定的問題。范立礎[4]等人結合一座懸索橋試驗數(shù)據(jù)，提出基于特征值敏感性分析方法，將目標優(yōu)化問題轉化為不等式約束問題求解，來證明此修正方法的可行性。QG Fei[5]等人采用RBF神經網絡系統(tǒng)基于結構頻率作為有限元模型訓練依據(jù)，研究靜定懸臂結構和柔性框架結構的非線性特性，為非線性有限元模型修正提供了新的思路。Mares[6]等人根據(jù)結構的動力特性模態(tài)殘值誤差，通過遺傳算法對目標函數(shù)進行優(yōu)化，表明其結果具有良好的可靠性。但是，這些模型修正方法分析效果欠佳，目標函數(shù)的建立還存在一定的主觀性，因此本文提出了一種基于多項式響應面算法的橋梁靜動力模型修正算法。

1 多項式響應面優(yōu)化算法流程

橋梁模型在每次修正過程中均要經歷一次完整的計算，過程中會產生大量的數(shù)據(jù)冗余，采用響應面法可以較好地解決這一問題，多項式響應面優(yōu)化算法本質為統(tǒng)計理論和模型修正技術的結合，在采用建立試驗樣本的條件下，對修正變量和目標函數(shù)之間建立響應面模型，通過響應面模型代替有限元計算，從而提高修正效率，其建立流程如圖1所示。

圖1 多項式響應面優(yōu)化算法流程

1.1 中心復合設計

對初始試驗樣本進行擴充，采用中心復合設計法（CCD），其方法是通過中心點且平行于各個坐標軸的直線，在±1或者±的條件下，選取設計點，其中F為部分因子試驗設計的樣本點數(shù)。以±1為例，采用中心復合設計的試驗點數(shù)見圖2示，其中α值為設計的旋轉系數(shù)，其α取值原則為使設計點與設計中心距離相同的所有點方差均相等，保證每一個設計點在單獨的方向存在一致精度的估計。

圖2 中心復合設計試驗點取值

1.2 參數(shù)顯著性水平檢驗

對橋梁模型的靜動力特性進行顯著性水平檢驗是為了確定各參數(shù)對于建立數(shù)學模型的合理性，采用概率論方差分析F來對參數(shù)的顯著水平進行檢驗，其基本思想是將樣本數(shù)據(jù)的總偏差分解為組間誤差平方和與組內誤差平方和效應平方和兩部分，分別進行校驗：

式中：Xij表示二維樣本數(shù)據(jù)；表示第j列樣本數(shù)據(jù)的均值；表示樣本數(shù)據(jù)的均值。

則樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和為：SST=SSE+SSA.

1.3 二次型響應面擬合

根據(jù)實際工程經驗選擇含交叉項的二次型響應面形式：

式中：y表示擬合的二次響應面函數(shù)；α0表示二次型擬合函數(shù)待定常數(shù)；αj表示二次型擬合函數(shù)一次待定常數(shù)；αij表示二次型擬合函數(shù)二次待定常數(shù)。

對于得到的帶交叉項的二次型響應面多項式公式，需要對其進行擬合相關性校驗，得到相關系數(shù)指標，來對回歸數(shù)學模型的精度進行判別。通常引入相關系數(shù)R進行判別，其中R的計算公式如下：

式中：SSR表示總平方和；SST表示回歸平方和。

判定系數(shù)R的取值范圍為0～1之間，相關系數(shù)R越接近1表示得到的響應面模型精度越高，若R值過小就需要對模型試驗進行重新設計。

2 修正結果相關性分析

2.1 靜動力修正函數(shù)

橋梁的靜力特性一般指在一定荷載下結構控制截面產生的響應，動力特性通常指頻率，振型等，兩者均對模型修正起指導意義，因此建立符合基于橋梁靜動力特性的結構有限元模型修正問題可歸結為以下的優(yōu)化問題[7]：

式中：fi(x)為各個初始目標函數(shù)；F(x)是轉化為多目標函數(shù)后的目標函數(shù)；g(x)表示約束函數(shù)，實測橋梁結構靜動力屬于與理論有限元模型靜動力數(shù)據(jù)差值。通常多目標優(yōu)化很難同時達到多個目標的最優(yōu)解，因而想要完成橋梁靜動力模型的修正，需要對目標函數(shù)引入非裂解的概念，在設定好的限定函數(shù)條件下，通過引用權重值將多目標函數(shù)轉化為單目標優(yōu)化問題。

2.2 靜動力相對誤差準則確認

相對誤差準則：Y=(yf-yt)/yt，

式中：yf表示修正后的有限元模型位移響應值；yt表示實際測量出的結構響應值。

為避免出現(xiàn)僅修正頻率值不考慮振型向量匹配的情況，引入模態(tài)保證準則用于識別振型是否匹配，采用此準則來對橋梁某一模態(tài)的相關性進行評估，其定義如下所示：

式中：φf表示修正后的有限元模型模態(tài)振型向量；φt表示實際測量出的橋梁結構模態(tài)振型向量。

與判定系數(shù)R類似，Mac為一個無量綱的量，其值介于0和1之間，表示兩個振型模態(tài)的相關度，當Mac越接近1，表示兩個振型模態(tài)的相關度越高，反之越低。

3 工程實例

某斜拉橋跨徑布置形式為（115+224+115）m雙塔雙索面斜拉橋，塔梁之間通過豎向支座相連形成半漂浮體系，主梁斷面為分離式鋼箱截面，主梁高度為2.5 m。橋塔采用“A”型橋塔，材料為C40混凝土，斜拉索采用直徑7 mm的平行鋼絲斜拉索纏繞而成，單邊橋塔28根斜拉索，采用扇形截面布置，索距沿縱橋向為8 m。以該橋荷載試驗報告作為原始數(shù)據(jù)，其靜動力測點布置見圖3所示。

圖3 斜拉橋靜動力儀器測點布置示意圖（單位：m）

采用有限元軟件ANSYS作為分析平臺，斜拉橋主梁建模采用魚骨梁模型，有限元模型建立采用高階單元來模擬，減少模型階次誤差，主梁采用Beam189單元進行模擬，索單元采用Link10單元進行模擬，節(jié)點劃分時將靜動力荷載數(shù)據(jù)采集點作為控制點進行節(jié)段劃分，便于荷載的加載和計算結果對比。斜拉索考慮其垂度效應影響對彈性模量進行修正，建模忽略附屬結構的剛度。橋梁結構關鍵參數(shù)見表1所示。

表1 斜拉橋初始建模參數(shù)

該次實施的靜動力荷載試驗主要包含對已建成橋梁的靜載數(shù)據(jù)和模態(tài)數(shù)據(jù)進行采集，靜載數(shù)據(jù)主要包括主梁跨中處的位移，單跨偏載作用下的主塔偏位以及對應工況下索力的測試，實際加載采用300 kN（車重+荷重）載重車30輛。試驗前要保證每輛車的重量和軸重分布與圖4加載車輛相匹配。

圖4 加載車輛平面示意圖

修正參數(shù)若選擇過多則會造成模型運算過于復雜，通常計算結果難以收斂。修正參數(shù)的確立是通過對影響模型計算結果的參數(shù)進行靈敏度分析，根據(jù)分析結果對修正參數(shù)進行篩選。通過靈敏度分析可以篩選出對模型計算結果影響較大的參數(shù)，從而避免采用靈敏度較小的參數(shù)進行修正，導致結構剛度矩陣奇異，標示結果錯誤。根據(jù)實際工程經驗和相關理論研究[8-9]，選取靈敏度較大的3個參數(shù)：主梁彈性模量、斜拉索彈性模量、斜拉索密度來進行后續(xù)響應面數(shù)學模型分析，分別對各項參數(shù)在初始設計值的基礎上進行中心復合設計，α值取10%，對參數(shù)進行顯著性分析試驗，3種因素對橋梁靜動力特性的顯著性分析結果圖5、圖6所示。

圖5 參數(shù)對跨中節(jié)點撓度顯著性分析

圖6 參數(shù)對一階縱飄頻率顯著性分析

從圖5、圖6可以看出，當關注點為橋梁靜力特性即跨中節(jié)點最不利工況下?lián)隙葧r，斜拉索的密度和斜拉索彈性模量的顯著性分析水平較高，而當關注點為橋梁動力特性即自振頻率中一階縱飄振型頻率時主梁彈性模量和斜拉索彈性模量的顯著性分析指標較高。對其進行擬合二次型響應面，得到含有交叉項的二次型響應面形式，對于擬合得到的二次型響應面多項式公式，采用相關系數(shù)進行校驗，其校驗系數(shù)計算結果見表2所示。

表2 各個響應面模型校驗系數(shù)

其響應面函數(shù)見圖7、圖8所示。

圖7 參數(shù)對跨中節(jié)點撓度的響應面函數(shù)

圖8 參數(shù)對一階縱飄振型的響應面函數(shù)

通過基于橋梁靜力測試數(shù)據(jù)和動力測試數(shù)據(jù)建立的響應面函數(shù)進行回歸分析，對模型中主梁彈性模量、斜拉索彈性模量、斜拉索密度進行最優(yōu)化設計，修正前后的參數(shù)偏差結果見表3所示。

表3 修正前后參數(shù)偏差表

其中主梁彈性模量波動較大，原因在于成橋后鋼主梁在工廠施工其彈性模量一般施工質量較好的情況下，均比設計均值高，以及在建模時未考慮橋面鋪裝、附屬結構對主梁剛度的提升，也有一定程度的影響。

模型代入修正后取值，計算有限元模型靜動力特性見圖9、圖10所示，修正后的有限元模型與現(xiàn)場荷載試驗的一階頻率誤差減少10%，跨中撓度誤差減少32%，可見修正效果較好。修正后的有限元模型更能準確全面地反映結構的實際受力狀態(tài)。

圖9 修正后模型靜力特性值

圖10 修正后模型動力特性值

4 結語

結合靜動力荷載報告數(shù)據(jù)，以某三跨斜拉橋工程為背景，建立采用響應面分析法對有限元模型進行靜動力的修正框架，根據(jù)工程經驗，選用主梁彈性模量、斜拉索彈性模量、斜拉索密度3種建模參數(shù)進行中心復合設計，并對其進行參數(shù)顯著性水平分析，擬合帶相關項的靜動力二次型響應面函數(shù)，通過對響應面模型進行求最優(yōu)解，最終得到修正后的有限元模型。其分析結果表明，在建模時如果未考慮到橋面附屬結構對主梁結構剛度的提升，應對主梁彈性模量進行修正，考慮其實際對剛度的影響，斜拉索彈性模量修正主要與成橋索力有關，可通過拉索彈性模量和斜拉索密度進行修正。且采用響應面法對參數(shù)之間復雜的隱式關系可以達到較好的擬合效果，優(yōu)化過程的計算工作量有所減少，可為相似工程優(yōu)化提供借鑒參考。