多種初條件下朗道-齊納轉(zhuǎn)化動力學(xué)的變分法研究

王 璐，宿淑晶，韓向剛

(內(nèi)蒙古科技大學(xué)理學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010)

朗道-齊納模型描述了一個被隨時間線性變化的外場驅(qū)動的二能級系統(tǒng) (自旋或量子比特).由于存在線性改變的驅(qū)動外場，自旋上態(tài)和下態(tài)間將發(fā)生能級回避(avoided crossing)[1-2].人們對于朗道-齊納模型在時間趨于無窮時的行為已進行了許多研究.H?nggi及其合作者[3-4]系統(tǒng)地研究了朗道-齊納轉(zhuǎn)化概率在時間無窮遠(yuǎn)處的漸近行為.Nalbach等[5-7]人研究了熱漲落對朗道-齊納轉(zhuǎn)化概率漸近行為的影響.由于絕熱量子計算的興起，近年來朗道-齊納模型又開始受到重視[8-9].人們開始關(guān)注朗道-齊納模型在中等時間區(qū)域的動力學(xué)行為[10].在這一時間區(qū)域，初始條件的影響是重要的.至今，初始條件如何影響朗道-齊納模型的動力學(xué)行為還沒有被很好地理解.

本文研究的是與光子庫相互作用的朗道-齊納模型.對這一模型，解析求解是困難的.據(jù)作者所知，尚沒有一個方法可以解析求出與光子庫相互作用的朗道-齊納模型的動力學(xué)行為.因此，各種用于求解朗道-齊納模型的半解析或數(shù)值計算方法就被發(fā)展起來[5,10].本文將使用基于多重達(dá)維多夫D2試探態(tài) (Multiple Davydov D2Ansatz) 的變分法求解朗道-齊納模型[10-11].這一方法的特點是可以一致地處理自旋與光子庫的運動.運用這一方法，不僅可以求得自旋的動力學(xué)，還可以求得光子庫的動力學(xué).

1 模型與方法

1.1 模型

原始的朗道-齊納模型為一個二能級系統(tǒng)，哈密頓量(采用?=1的自然單位制)為

(1)

式中,σx，σz是泡利矩陣.σz的本征態(tài) |↑〉 和|↓〉 被稱為非絕熱態(tài) (diabatic states).這兩個態(tài)滿足σz|↑〉=|↑〉 和σz|↓〉=-|↓〉.Δ表示隧穿強度，刻畫了系統(tǒng)在非絕熱態(tài)間隧穿的強度.v是能級交叉速度，表示兩個非絕熱態(tài)間能隙改變的相對速度.朗道-齊納模型可以用于描述受外場控制的自旋.在量子光學(xué)中，自旋要與腔中的電磁場或共面?zhèn)鬏斁€諧振器產(chǎn)生的電磁波相互作用.研究這兩類模型的物理分支常被分別稱為腔量子電動力學(xué)[12]和電路量子電動力學(xué)[13-15].

考慮了電磁場后，總哈密頓量為

H=HS+HB+HSB,

(2)

式中：HB是光子庫的哈密頓量，HSB是自旋與光子庫的耦合哈密頓量.

光子庫哈密頓量為

HB=ωb?b,

(3)

式中,ω是光子的頻率，b?(b) 是光子庫的產(chǎn)生 (湮滅) 算符.自旋與電磁場間的耦合為線性非對角耦合

(4)

式中：γ是自旋與光子庫的耦合強度.需要指出，自旋與光子庫的耦合方式并不唯一，還有對角耦合或同時考慮對角與非對角的耦合等[10-11].之前人們較多考慮對角耦合，但對非對角耦合的考慮還不夠.因此，文中考慮非對角耦合情況.本文選擇光子能量ω為能量單位，即令ω=1.

1.2 計算方法

原始的朗道-齊納模型可以被解析求解[2].在考慮自旋與光子庫的耦合后，至今沒有找到一般的解析求解方法.文中將采用基于多重達(dá)維多夫D2試探態(tài)的動力學(xué)變分方法 (以下簡稱變分法) 求解這一問題.變分法的試探態(tài)可以寫為

(5)

式中，|0〉 是光子庫的真空態(tài)，H.c.表示厄米共軛，Ai(t)，Bi(t)，fi(t) 是含時變分參數(shù)，M稱為達(dá)維多夫試探態(tài)的多重度 (或重數(shù)).當(dāng)M=1即為傳統(tǒng)的單重達(dá)維多夫D2試探態(tài)(single DavydovAnsatz).M>1的情況為近年來發(fā)展起來的多重達(dá)維多夫D2試探態(tài) (以下的試探態(tài)均指D2試探態(tài)).變分法的目標(biāo)就是求出Ai(t)，Bi(t)，fi(t)這組變分參數(shù)的時間演化方程.為利用含時變分原理 (time dependent variational principle)，引入拉格朗日函數(shù)

(6)

(7)

式中,ui指代變分參數(shù)Ai(t)，Bi(t)，fi(t)，*表示復(fù)共軛.顯式的變分參數(shù)演化方程可參考文獻(xiàn)[10].

1.3 可觀測量

(8)

為了探究光子庫的演化，將計算光子庫在自旋處于上態(tài)或下態(tài)時的概率

(9)

及

(10)

(11)

計算這兩個概率.

2 結(jié)果與討論

2.1 初始態(tài)

在模擬的開始，令自旋處于上態(tài) |↑〉，光子庫處于真空態(tài) |0〉 或薛定諤貓態(tài)|α〉θ.為使用達(dá)維多夫試探態(tài)表示真空態(tài)，可以令A(yù)1=1，B1=0，f1=0，Am=Bm=0，fm=0 (m=2，3，…，M,其中m標(biāo)記了公式(5)中i的不同取值).薛定諤貓態(tài)，

(12)

由兩個相干態(tài)疊加而成.θ是薛定諤貓態(tài)中的疊加相位，

(13)

是薛定諤貓態(tài)的歸一化因子.相干態(tài) |α〉 是最接近經(jīng)典態(tài)的量子態(tài)，具有最小的不確定度.薛定諤貓態(tài)是兩個最接近經(jīng)典態(tài)的量子態(tài)的疊加.當(dāng)θ為零時，薛定諤貓態(tài) |α〉0是偶宇稱態(tài)，稱為偶態(tài) (even states).當(dāng)θ為π時，態(tài) |α〉π是奇宇稱態(tài)，稱為奇態(tài) (odd states).當(dāng)θ為π/2時，態(tài) |α〉π/2沒有確定的宇稱，稱為YS (Yurke-Stoler) 態(tài)[16].由公式(5)可知，可以用達(dá)維多夫試探態(tài)近似表達(dá)薛定諤貓態(tài).令A(yù)1=1，A2=eiθ，B1=B2=0，f1=α，f2=-α，A2m-1=A2m=B2m-1=B2m=0，f2m-1=f1，f2m=f2(m=2，3，…，M/2),就可以給出與薛定諤貓態(tài) |α〉θ相等的達(dá)維多夫試探態(tài).

為了求解過程中保持?jǐn)?shù)值穩(wěn)定性，對于真空態(tài)，向Am=Bm=0 (m=2，3，…，M)加入了絕對值上限為10-4的噪音，向fm=0 (m=2，3，…，M)加入了絕對值上限為10-2的噪音.對于薛定諤貓態(tài)，向A2m-1，A2m，B2m-1，B2m入絕對值上限為10-4的噪音，對f2m-1，f2m加入絕對值上限為10-2的噪音.為簡單起見，文中將α限定為實數(shù).

2.2 數(shù)值結(jié)果與討論

(a)轉(zhuǎn)化概率的演化.(b)-(d)下態(tài)所對應(yīng)的光子庫演化.計算參數(shù)v/ω2= 0.01，γ/ω= 0.05，Δ/ω= 0.(b)和(d)中的數(shù)據(jù)的輻度很小，可以認(rèn)為是零.圖中虛線標(biāo)記了發(fā)生朗道-齊納轉(zhuǎn)化的時刻t/ω-1=100圖2 從真空態(tài)出發(fā)的朗道-齊納動力學(xué)Fig.2 The Landau-Zener dynamics starting from the vacuum state

為討論本文的數(shù)值結(jié)果，將哈密頓量(2)對角化，得到一系列隨時間改變的本征值.因為光子部分自由度和自旋部分自由度相互耦合，所以能量本征值和光子的個數(shù)及自旋的z方向投影有關(guān).以與 |0〉 有關(guān)的態(tài)為例，說明能級如何隨時間變化.在時間t<0時，|0,↑〉 的能量低于 |0,↓〉 的能量.隨著時間的增加，|0,↑〉 的能量逐漸增加，而 |0,↓〉的能量逐漸減少.在t/ω-1=ω2/v處，|0,↑〉與|1,↓〉交叉，在t/ω-1=-ω2/v處，|1,↑〉與|0,↓〉交叉.如圖1所示，用豎直的虛線將能級交叉點標(biāo)示出來了.在遠(yuǎn)離交叉點處，能量耦合項的系數(shù)γ/2遠(yuǎn)小于σz前的系數(shù)vt/2.因此，除了在交叉點附近，耦合項的貢獻(xiàn)可以略去，系統(tǒng)在非絕熱態(tài)表象中是近似對角的.在能級交叉處，耦合項相當(dāng)于給出了一個動態(tài)的非對角元.故在這些地方能級將發(fā)生分裂，即發(fā)生能級回避.在時間等于零時，對角化的結(jié)果顯示并不會發(fā)生能級分裂.在能級回避點附近，將可能發(fā)生朗道-齊納轉(zhuǎn)化.是否在這些點發(fā)生朗道-齊納轉(zhuǎn)化，和速度的大小是有關(guān)的.若從某一能級出發(fā)，當(dāng)v趨近于零時，系統(tǒng)只會一直處于能量較低的態(tài)中.在這種情況下，不會發(fā)生朗道-齊納轉(zhuǎn)化.當(dāng)v為有限大時，將可能發(fā)生朗道-齊納轉(zhuǎn)化.對于中等時間區(qū)域，動力學(xué)行為將與初始態(tài)有關(guān).后文將討論不同初始條件對動力學(xué)行為的影響.

首先討論從真空態(tài)出發(fā)的朗道-齊納問題.選取速度v/ω2= 0.01，耦合強度γ/ω= 0.05.如圖2(a)所示，轉(zhuǎn)化概率PLZ從t/ω-1=-300到60的值一直接近于零.在t/ω-1=100處，PLZ迅速增大，達(dá)到大約0.4左右，之后在平衡位置附近振蕩.最終振蕩趨近于PLZ=0.33.當(dāng)γ?ω系統(tǒng)接近弱耦合區(qū)域，當(dāng)v≤γ2外場變化接近絕熱的.對于弱耦合情形，可以用微擾論處理.對由真空態(tài)出發(fā)的朗道-齊納問題，前人基于微擾論的理論結(jié)果顯示當(dāng)t/ω-1→∞時[3,17]，有

(14)

數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果是相符的，這表明計算是可靠的.在外場變化接近絕熱時，可以利用圖1的能級圖理解.在能級回避點附近，系統(tǒng)將處于自旋上態(tài)|0,↑〉和下態(tài)|1,↓〉的疊加態(tài)c(v)|0,↑〉+d(v)|1,↓〉.因此在t/ω-1=100附近可以觀察到自旋處于上態(tài)的概率迅速增大.由于處于疊加態(tài)，可以觀察到自旋的期望值隨時間振蕩.

以往，人們研究朗道-齊納問題，多僅關(guān)注自旋的動力學(xué).變分法不僅可以準(zhǔn)確計算自旋的動力學(xué)，還可以處理光子庫的動力學(xué).如圖2(b)-(d)所示，計算了光子庫Pn,↓的動力學(xué).如圖2(b)和(d)所示，P0,↓和P2,↓非常小，在數(shù)值誤差內(nèi)，可以認(rèn)為P0,↓和P2,↓等于零.對于從真空態(tài)出發(fā)的情況，僅有光子庫的概率P1,↓是非零的.如圖2(c)所示，在t/ω-1=100附近，P1,↓迅速增大.光子庫的行為與圖2(a)中轉(zhuǎn)化概率的行為相似.更重要的是，如圖1的能級圖所示，轉(zhuǎn)化是在|0,↑〉和|1,↓〉間發(fā)生的.從光子庫的動力學(xué)，清晰地觀察到P1,↓在t/ω-1=100附近增大.這一行為符合能級圖的預(yù)言.這表明變分法可準(zhǔn)確提取出朗道-齊納轉(zhuǎn)化與哪些光子態(tài)有關(guān).

從真空態(tài)出發(fā)的動力學(xué)是較為簡單的.僅從能級圖就可以分析出轉(zhuǎn)化和哪些能級有關(guān).但如果初始態(tài)更加復(fù)雜，僅憑能級圖將難以分析出參與轉(zhuǎn)化的能級.下面使用更復(fù)雜的薛定諤貓態(tài)作為初始條件.

(a)轉(zhuǎn)化概率的演化.(b)-(g)上態(tài)或下態(tài)所對應(yīng)的光子庫演化.計算參數(shù)v/ω2= 0.01，γ/ω= 0.05，Δ/ω= 0.圖中箭頭標(biāo)記了從|1,↑〉和|2,↑〉態(tài)出發(fā)所經(jīng)歷的轉(zhuǎn)變的時刻t/ω-1=100圖3 從α=2的YS態(tài)出發(fā)的動力學(xué)Fig.3 The dynamics starting from α=2

首先利用能級圖定性理解從薛定諤貓態(tài)初始的朗道-齊納問題.相干態(tài)可以寫為[18]

(15)

根據(jù)薛定諤貓態(tài)的定義(12)，對于YS態(tài)，θ=π/2，在演化開始時(t/ω-1=-300)，系統(tǒng)有一定的概率處于各個?？藨B(tài)上.并且這些態(tài)彼此間并非是按照經(jīng)典概率相互疊加的.

為進一步定量理解動力學(xué)過程，如圖3所示，計算了從 |α|2=2 的薛定諤貓態(tài)出發(fā)的朗道-齊納轉(zhuǎn)化概率及處于光子態(tài)的概率.除了初始態(tài)，其他參數(shù)與圖2相同.在圖3(a)中，轉(zhuǎn)化概率在t/ω-1=-140前約等于零.在t/ω-1=-100附近迅速上升，之后轉(zhuǎn)化概率穩(wěn)定在PLZ≈0.7.在t/ω-1=100附近，轉(zhuǎn)化概率迅速下降，最終轉(zhuǎn)化概率穩(wěn)定到PLZ(∞)≈0.09.由于初始時系統(tǒng)有一定概率處于各?？藨B(tài)上，故在圖2中發(fā)生能級回避的時間點t/ω-1=±100處都會發(fā)生轉(zhuǎn)化.由前人的理論工作[19]，中間段的轉(zhuǎn)化概率可利用旋轉(zhuǎn)波近似解出.文獻(xiàn)[19]由一個與本文稍有不同的，具有常偏置ω0σz/2的哈密頓量出發(fā)，給出t/ω-1處于-ω2/v至ω2/v之間的轉(zhuǎn)化概率為，

(16)

式中，P↑,0=exp (-πγ2/(2v))是若系統(tǒng)開始處于|0,↑〉態(tài)，在t/ω-1→∞時自旋處于|↑〉的概率.公式(16)僅適用于較短時間的區(qū)域，在t/ω-1→∞的行為不能用旋轉(zhuǎn)波近似得到.這是因為，旋轉(zhuǎn)波近似僅考慮了|n,↑〉到|n+1,↓〉的轉(zhuǎn)化.而在長時間區(qū)域反旋項的貢獻(xiàn)不能忽略.在t/ω-1=100附近，轉(zhuǎn)化概率又回落到接近零.這一特征與從真空態(tài)出發(fā)的朗道-齊納轉(zhuǎn)化概率的特征很不同.造成這一現(xiàn)象的原因是高激發(fā)態(tài)參與了動力學(xué)過程.

為了分析參與轉(zhuǎn)化的能級，將最低幾個能級的光子庫的演化畫在了圖3(b)-(g)中.將分析從|1,↑〉和|2,↑〉兩個態(tài)出發(fā)，系統(tǒng)所經(jīng)歷的動力學(xué)過程.這兩個態(tài)分別可以作為一次轉(zhuǎn)化與二次轉(zhuǎn)化的例子.如圖3(e)所示，從|1,↑〉出發(fā)，光子庫在t/ω-1=-100出現(xiàn)下降，系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到了圖3(b)所示的|0,↓〉態(tài)中.經(jīng)過這次轉(zhuǎn)化后，|0,↓〉態(tài)將不發(fā)生能級回避，故而圖3(b)中的概率P0,↓將不再發(fā)生轉(zhuǎn)化.圖3及圖1中，將從|1,↑〉到|0,↓〉的轉(zhuǎn)化用細(xì)線箭頭標(biāo)出了.如圖3(g)所示，P2,↑在t/ω-1=-100處發(fā)生了下降，狀態(tài)由|2,↑〉轉(zhuǎn)化到了|1,↓〉(圖3(d)).P1,↓在t/ω-1=100處發(fā)生下降，|1,↓〉轉(zhuǎn)化到了|0,↑〉(圖3(c)).|2,↑〉→|1,↓〉→|0,↑〉的轉(zhuǎn)化，使用粗線箭頭在圖3和圖1中標(biāo)出了.除最低的能級|0,↑〉和|1,↑〉，其他能級有類似的轉(zhuǎn)化方式:|n,↑〉→|n-1,↓〉→|n-2,↑〉.

由上面的分析，在筆者使用的參數(shù)下，系統(tǒng)的動力學(xué)基本是由哈密頓量的瞬時本征值控制的.這是因為v≤γ2，外場變化接近絕熱變化.需要注意的是，從|0,↑〉出發(fā)，類似真空態(tài)出發(fā)的情況，圖3(d)中，在t/ω-1=100處本應(yīng)發(fā)生P1,↓的上升.但由于存在|1,↓〉→|0,↑〉的轉(zhuǎn)化，P1,↓在t/ω-1=100處實際是下降的.從上面的分析，可以看出，利用光子庫的演化，人們可以更細(xì)致地理解多能級的朗道-齊納轉(zhuǎn)化具體與哪些能級有關(guān)及具體的轉(zhuǎn)化路徑.

(a)中段轉(zhuǎn)化概率PLZ,1隨薛定諤貓態(tài)的相位的變化.(b)最終轉(zhuǎn)化概率PLZ(∞)隨薛定諤貓態(tài)的相位變化.圓圈為公式(12)中薛定諤貓態(tài)的|α|2=1，三角為|α|2=2，方塊為|α|2=3.計算參數(shù)v/ω2= 0.01，γ/ω= 0.05，Δ/ω= 0.圖中穿起符號的虛線是由公式(17)擬合而得到的圖4 不同相位θ的薛定諤貓態(tài)對相繼兩個轉(zhuǎn)化概率的影響Fig.4 The average height of transition probabilities of the two consecutive transitions as functions of phase θ of the Schr?dinger-cat states

下面研究不同的薛定諤貓態(tài)的相位θ對動力學(xué)漸近行為的影響.由圖3所示，系統(tǒng)由于在t/ω-1=±ω2/v處有能級回避點，故會發(fā)生兩次轉(zhuǎn)化.將第一次轉(zhuǎn)化后的平均位置稱為中段轉(zhuǎn)化概率PLZ,1，將第二次轉(zhuǎn)化后的平均位置稱為最終轉(zhuǎn)化概率PLZ(∞).對|α|2等于1，2和3的薛定諤貓態(tài)進行了模擬.從θ=0至2π的區(qū)間上，均勻取出20個點進行了模擬，以研究不同的薛定諤貓態(tài)的疊加相位對動力學(xué)漸近行為的影響.分別測量了這些初條件下的PLZ,1和PLZ(∞)，并將它們作為θ函數(shù)(見圖4).

圖4(a)展示了不同|α|2的中段轉(zhuǎn)化概率PLZ,1如何隨θ變化.對于相同的|α|2，中段轉(zhuǎn)化概率從θ=0開始隨θ增大而增大，直到達(dá)到θ=π，之后PLZ,1隨θ增大而減小.PLZ,1作為θ的函數(shù)關(guān)于θ=π對稱.如前文所述，θ=0和π分別稱為偶態(tài)和奇態(tài).數(shù)值表明，奇態(tài)更有利于中段轉(zhuǎn)化概率的增大.對相同的θ，PLZ,1隨|α|2的增大而增大.根據(jù)前文所述，由旋轉(zhuǎn)波近似，文獻(xiàn)[19]導(dǎo)出了公式(16).由公式(16)可以看出，隨|α|2的增大，PLZ,1將會增大.另外，對于|α|2=3，可以觀察到，中段轉(zhuǎn)化概率隨θ的改變較|α|2=1或2時小得多.

圖4(b)展示了不同|α|2的最終轉(zhuǎn)化概率隨θ改變的變化規(guī)律.與中段轉(zhuǎn)化概率相似，對相同的|α|2，PLZ(∞)隨|α|2的增大而增大，直到達(dá)到θ=π，之后PLZ(∞)隨θ增大而減小.PLZ(∞)關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)于θ=π對稱.對于相同的θ，PLZ(∞)隨著|α|2的增大而減小.出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因是，隨著|α|2的增大，在更高的?？藨B(tài)上，光子將具有更大的概率.而在高激發(fā)態(tài)，如圖1所示，能級間的能隙更大.前文分析了，在t/ω-1=100處的轉(zhuǎn)化主要是|n,↓〉→|n-1,↑〉的轉(zhuǎn)化.事實上，這一轉(zhuǎn)化的概率一般不是1.能隙越大，這一轉(zhuǎn)化的概率越接近1.按定義，PLZ(∞)是自旋處于下態(tài)的概率.轉(zhuǎn)化向上態(tài)的概率增大自然會減小自旋處于下態(tài)的概率PLZ(∞).

圖4不同相位θ的薛定諤貓態(tài)對相繼兩個轉(zhuǎn)化概率的影響.(a)中段轉(zhuǎn)化概率PLZ,1隨薛定諤貓態(tài)的相位的變化.(b)最終轉(zhuǎn)化概率PLZ(∞)隨薛定諤貓態(tài)的相位變化.圓圈為公式(12)中薛定諤貓態(tài)的|α|2=1，三角為|α|2=2，方塊為|α|2=3.計算參數(shù)v/ω2= 0.01，γ/ω= 0.05，Δ/ω= 0.圖4穿起符號的虛線是由公式(17)擬合而得到的.

為了探究PLZ,1和PLZ(∞)隨相位θ的變化規(guī)律，將所得到的數(shù)據(jù)進行了擬合.擬合公式為

(17)

式(17)是由式(16)啟發(fā)而得到的.將擬合系數(shù)列為在表1中.旋轉(zhuǎn)波近似得到的公式(16)只適用于PLZ,1.盡管公式(17)是接近由旋轉(zhuǎn)波近似得到的式(16)，但式(17)可以用于擬合PLZ(∞).

表1 由公式(17)擬合圖4中數(shù)據(jù)的擬合系數(shù)Tab.1 Fitting parameters for data in Fig.4 with Eq.(17)

2.3 結(jié)論

本文研究了初始條件對朗道-齊納轉(zhuǎn)化概率的影響.利用光子庫的動力學(xué)演化細(xì)致地理解朗道-齊納轉(zhuǎn)化與哪些能級有關(guān)及具體的轉(zhuǎn)化路徑.之后對初始條件的參數(shù)空間進行了探索，研究了不同的薛定諤貓態(tài)的及相位對中段轉(zhuǎn)化概率及最終轉(zhuǎn)化概率的影響.同時根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果，得到了可以統(tǒng)一擬合及的擬合公式.