自抗擾fal函數(shù)的改進及在無拖曳衛(wèi)星中的應(yīng)用

喬鑫宇 周文雅 吳國強

大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院，大連 116024

0 引言

空間科學(xué)任務(wù)對太空實驗環(huán)境要求越來越嚴(yán)格，航天器所受到的自身擾動、大氣阻力以及太陽輻射等空間擾動成為影響實驗結(jié)果的重要因素[1-2]。無拖曳衛(wèi)星以檢驗質(zhì)量塊作為跟蹤點，通過微推進器對衛(wèi)星本體進行連續(xù)主動控制，補償航天器和檢驗質(zhì)量塊之間的受攝差，來營造超靜超穩(wěn)的空間實驗環(huán)境[3-5]，在廣義相對論的驗證以及重力場的測量等領(lǐng)域有著十分重要的應(yīng)用。但由于空間環(huán)境中擾動及噪聲復(fù)雜，存在極大的不確定性，要想實現(xiàn)其瞬態(tài)性能和魯棒性能的協(xié)調(diào)控制還存在諸多理論和技術(shù)上的困難[6-12]。

由韓京清研究員提出的自抗擾控制(Active Disturbance Rejection Control, ADRC)算法[13]是將控制對象視為積分串聯(lián)型，利用擴張狀態(tài)觀測器(Extended State Observer，ESO)對動態(tài)對象中異于標(biāo)準(zhǔn)型的部分進行實時估計和補償，來抑制擾動對系統(tǒng)輸出的影響。由于算法對參數(shù)和結(jié)構(gòu)變化展現(xiàn)出的強自適應(yīng)能力和穩(wěn)健的魯棒性，使其在無拖曳衛(wèi)星控制器的設(shè)計上占據(jù)一席之地[14-18]。

作為自抗擾控制器的重要部件，擴張狀態(tài)觀測器的性能直接影響著自抗擾控制器的性能[19-20]。而作為擴張狀態(tài)器重要組成部分，fal函數(shù)直接影響著擴張狀態(tài)觀測器性能的好壞?，F(xiàn)有的fal函數(shù)在收斂性能上還存在著很大的提升空間[21-22]。為了進一步提升控制器的控制性能，降低殘余加速度噪聲，本文提出了faln函數(shù)，并對其穩(wěn)定性進行了理論論證，同時與現(xiàn)有的fal函數(shù)形式進行比較。

1 模型介紹

無拖曳衛(wèi)星的工作原理是：通過控制系統(tǒng)保證衛(wèi)星本體和檢驗質(zhì)量塊保持相對靜止的運動狀態(tài)。由于檢驗質(zhì)量塊處于完全保守力環(huán)境，從而保證衛(wèi)星處于 “無拖曳狀態(tài)”[23-24]。

圖1 無拖曳衛(wèi)星控制系統(tǒng)框圖

下面給出簡化后衛(wèi)星本體的姿態(tài)動力學(xué)、相對軌道動力學(xué)以及相對姿態(tài)動力學(xué)模型。

(1)

(2)

(3)

其中，φsc指衛(wèi)星本體的姿態(tài)角，TCsc表示作用在衛(wèi)星本體上的控制力矩，ωTCsc表示與TCsc對應(yīng)的輸入噪聲，TDsc表示作用在衛(wèi)星本體上的擾動力矩，rrel表示衛(wèi)星本體和檢驗質(zhì)量塊間的相對位移，F(xiàn)Csc表示作用在衛(wèi)星本體上的控制力，ωFCsc表示與FCsc對應(yīng)的輸入噪聲，F(xiàn)Dsc表示作用在衛(wèi)星本體上的擾動力，φrel表示衛(wèi)星本體和檢驗質(zhì)量塊間的相對姿態(tài)角，φtm表示檢驗質(zhì)量塊的姿態(tài)角，TCtm表示作用在檢驗質(zhì)量塊上的控制力矩，ωTCtm表示與TCtm對應(yīng)的輸入噪聲，TDtm表示作用在檢驗質(zhì)量塊上的擾動力矩，上述介紹的都是在X，Y，Z方向或俯仰(Pitch)、偏航(Yaw)、滾動(Roll)方向上有分量的三維向量；Isc為衛(wèi)星的慣量陣，Itm為檢驗質(zhì)量塊的慣量陣，Krot、Drot為衛(wèi)星與測試質(zhì)量間的旋轉(zhuǎn)耦合系數(shù)，I3為單位矩陣，上述介紹的都是3維矩陣；msc為衛(wèi)星質(zhì)量，mtm為檢驗質(zhì)量塊的質(zhì)量。

在無拖曳控制中，衛(wèi)星內(nèi)部執(zhí)行機構(gòu)產(chǎn)生的噪聲和衛(wèi)星的設(shè)計息息相關(guān)，一般需要其具有很高的精度并同時可以提供相對較大的推力范圍。通常為了考慮推力器的未知性能，模型需包含一定不確定性。

2 擴張狀態(tài)觀測器

自抗擾控制器主要由微分跟蹤器、非線性組合PID、擴張狀態(tài)觀測器、以及擾動補償?shù)?部分構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 自抗擾控制器框圖

微分跟蹤器作用是根據(jù)控制對象的承受能力安排過渡過程v1并提取設(shè)定值v的微分信號v2；非線性組合PID的設(shè)計理念是“大誤差小增益，小誤差大增益”，提升控制效果同時避免執(zhí)行機構(gòu)飽和；擴張狀態(tài)觀測器的輸出z1，z2和z3是根據(jù)輸出y和輸入信號u對控制對象狀態(tài)x1，x2以及總擾動x3的估計；最終控制量u是由擾動估計值z3和誤差反饋控制量u0共同決定。

傳統(tǒng)形式的fal函數(shù)是將冪函數(shù)改造成在原點附近有線性段的連續(xù)非光滑的函數(shù)，其表達式如下所示。

(4)

其中，e0是fal0函數(shù)變量，一般指的是觀測器對輸出量的估計誤差；a是0～1之間的常數(shù)，h是影響濾波效果的常數(shù)。這樣的非光滑函數(shù)形式既可以保證誤差快速歸于0，也可以避免在誤差較小的時候擴張狀態(tài)觀測器的高頻震蕩現(xiàn)象，在提高控制精度的同時，保證系統(tǒng)穩(wěn)定性。因此，設(shè)計合適的fal函數(shù)形式對于提高自抗擾控制器的性能具有深遠意義。

3 fal函數(shù)的改進

3.1 faln函數(shù)

fal0函數(shù)并不是在所有應(yīng)用場合下都具有最優(yōu)的控制效果[25]，眾多學(xué)者從不同的角度提出了其改進形式。

陳志旺[26]等提出fal1函數(shù)形式，并將其應(yīng)用于四旋翼飛行控制系統(tǒng)。經(jīng)過仿真驗證，系統(tǒng)抵抗外界強干擾的能力增強。

(5)

趙海香[27]提出fal2函數(shù)形式。

(6)

其中，k1為線性反饋部分的增益；ec是從非線性到線性反饋的誤差閾值，可根據(jù)實際系統(tǒng)控制量特性以及控制器選取的增益系數(shù)進行適當(dāng)設(shè)置。a值越小，非線性段系統(tǒng)反饋增益越小，系統(tǒng)抑制擾動的性能越好。然而，a值的減小會限制系統(tǒng)的控制能力，導(dǎo)致系統(tǒng)誤差較大時無法快速有效地利用控制量，最終影響控制系統(tǒng)性能。由于無拖曳衛(wèi)星的運行環(huán)境復(fù)雜，不確定性較高，因此需要控制系統(tǒng)具有協(xié)調(diào)控制性能和魯棒性能的能力。本文基于指數(shù)函數(shù)對fal函數(shù)進行改進，改進后的fal函數(shù)為

faln(e0,a,h)=

(7)

其中，k2為指數(shù)項的誤差增益，可以根據(jù)實際需要進行選取，通常采用較小的正數(shù)。

不難發(fā)現(xiàn)，相較于現(xiàn)有的fal函數(shù)，本文所設(shè)計的faln函數(shù)增益量適中，以保證在控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度不受太大影響的前提下，盡可能地提高控制系統(tǒng)的收斂速度。

3.2 faln函數(shù)穩(wěn)定性分析

觀測器的誤差方程為如下形式，

(8)

其中，e是觀測器對狀態(tài)量的觀測誤差，e1是對狀態(tài)量x1的觀測誤差。

本文借助文獻[28]所提出的系統(tǒng)穩(wěn)定性理論來證明使用faln函數(shù)的ESO可以完成系統(tǒng)的狀態(tài)觀測。其證明過程借助了如下引理：

引理1如果存在主對角元素為正數(shù)的斜對稱矩陣D

(9)

使得DA(e1)對稱正定，則系統(tǒng)是Lyapunov漸近穩(wěn)定的。假定d11=1，d22=d33=ε>0以滿足主對角線元素為正數(shù)的要求。

通過計算計算可得

(10)

其中，

D11=d11β01+d12β02F+d13β03F,

D21=-d12β01+d22β02F+d23β03F,

D11=-d13β01-d23β02F+d33β03F,

那么DA(e1)滿足的對稱正定性條件如下，

D11=β01+εβ02F+εβ03F>0

(11)

(12)

D11(d12d23-ε2)-2d12ε-d123-d23>0

(13)

其中，B=(β01β02-β03)。

以下需證明存在矩陣D，使上述不定式成立。

由于引理要求矩陣的存在性，因此考慮式(11)成立的必要條件如式(14)所示。

(14)

由矩陣的對稱性要求可將式(12)和式(13)整理成如下形式。

(15)

β01β02-B>0

(16)

由于B=(β01β02-β03)>0，上式成立。

綜上，當(dāng)D矩陣滿足條件B=(β01β02-β03)>0時，可以找到使DA(e1)是對稱正定的D矩陣，而系統(tǒng)狀態(tài)的改變，并不會影響系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性，由此證明使用faln函數(shù)的ESO可以完成系統(tǒng)的狀態(tài)觀測。

4 仿真試驗及結(jié)果

4.1 無拖曳衛(wèi)星faln自抗擾算法驗證實驗

為了驗證設(shè)計的控制系統(tǒng)對于外界擾動的補償效果，分析系統(tǒng)的控制精度，對系統(tǒng)進行仿真實驗。系統(tǒng)模型(1)～(3)中的參數(shù)取自文獻[23]-[24]，具體設(shè)定如下文表述以及表1所示。

表1 衛(wèi)星仿真參數(shù)

假定ωTCSC和ωFCSC的功率譜密度均為10-8m·s-2·Hz-0.5，ωTCtm的功率譜密度為10-15m·s-2·Hz-0.5，干擾力與力矩具有正弦性質(zhì)，頻率為ωd。

本文從衛(wèi)星本體和檢驗質(zhì)量塊的相對位置、相對姿態(tài)等方面對這兩種方式進行比較。

4.2 數(shù)值仿真

無拖曳衛(wèi)星在運行過程中可能會受到來自環(huán)境的大幅度干擾或者需要采取主動位置姿態(tài)調(diào)整，這兩種情況都會導(dǎo)致檢驗質(zhì)量塊和衛(wèi)星本體出現(xiàn)瞬時位置和姿態(tài)偏差。此時擴張狀態(tài)觀測器的狀態(tài)估計誤差瞬時變大，fal函數(shù)大誤差段的函數(shù)形式會直接影響狀態(tài)估計性能。

綜上所述，本文重點分析偏差后衛(wèi)星本體和檢驗質(zhì)量塊的運行狀態(tài)以及擴張狀態(tài)觀測器的狀態(tài)估計情況，說明本文提出的faln函數(shù)在無拖曳衛(wèi)星控制方面的優(yōu)勢。不失真實性和一般性，假定衛(wèi)星本體和檢驗質(zhì)量塊相對距離初始值為rrel0=[0.1 0.3 0.2]Tm，相對姿態(tài)角初始值為φrel0=[0.1 0.3 0.2]Trad。

圖3 x軸相對位置觀測誤差曲線

上圖給出的是4種ESO對于x軸的相對位置rx的觀測誤差曲線，可以直觀看到基于faln函數(shù)的ESO具有更快的觀測誤差收斂速度和更加平穩(wěn)的收斂過渡過程。

實際上，fal1函數(shù)以犧牲控制性能保證控制系統(tǒng)的魯棒性，然而無拖曳衛(wèi)星質(zhì)量較大且運行時所受環(huán)境擾動相對于大氣環(huán)境較小，因而其優(yōu)勢無法得到體現(xiàn)，在相對位置和姿態(tài)仿真曲線中收斂速度較慢，甚至出現(xiàn)發(fā)散情況。因而本文主要針對基于fal0、fal2和faln的控制器性能進行比較。

圖4和5給出的是衛(wèi)星本體和檢驗質(zhì)量塊的x軸相對位置rx及pitch軸相對姿態(tài)φpitch的數(shù)值仿真情況，其他兩軸的位置姿態(tài)調(diào)節(jié)曲線與其類似，本文不再給出。仿真結(jié)果顯示，基于faln函數(shù)的控制器收斂速度最快，能夠?qū)崿F(xiàn)最快速的三軸相對位置和姿態(tài)穩(wěn)定。

圖4 x軸相對位置變化曲線

圖5 Pitch軸相對姿態(tài)變化曲線

圖6給出的是基于faln函數(shù)的無拖曳控制系統(tǒng)三軸線性殘余加速度功率譜密度的擬合曲線。其中z軸達到10-13m·s-2·Hz-0.5量級，x和y軸能夠達到10-14m·s-2·Hz-0.5，在數(shù)值仿真實驗上，能夠和LISA-Pathfinder達到相同水平。

圖6 衛(wèi)星和檢驗質(zhì)量塊線性殘余加速度功率譜密度

以上仿真結(jié)果證明了基于faln函數(shù)的無拖曳控制器在保證衛(wèi)星穩(wěn)定運行的情況下，提高了ESO的觀測性能，同時縮短了無拖曳衛(wèi)星位姿調(diào)整時間，加快了控制系統(tǒng)運行效率。

5 結(jié)論

本文的研究重點在于如何通過改進自抗擾fal函數(shù)，來提高擴張狀態(tài)觀測器對無拖曳衛(wèi)星的位姿狀態(tài)的觀測能力，從而使無拖曳控制系統(tǒng)控制過程更加平穩(wěn)、快速。基于此目標(biāo)，本文提出了faln函數(shù)。在通過數(shù)學(xué)理論證明其穩(wěn)定性后，完成了與現(xiàn)有的fal函數(shù)形式的對比分析。數(shù)值仿真實驗證明基于faln函數(shù)的無拖曳控制器具有更好的狀態(tài)估計性能和更快速更穩(wěn)定的過渡過程，更適用于無拖曳衛(wèi)星的位姿控制。

接下來的首要工作是如何進一步改進狀態(tài)觀測器的狀態(tài)估計性能，使得誤差曲線更加平滑。此外，目前大部分的fal函數(shù)改進算法側(cè)重于大誤差段的函數(shù)改進，無法改進控制系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)。如何設(shè)計出一種更大范圍的fal函數(shù)改進形式，使其具有更好的穩(wěn)態(tài)性能。對于提升自抗擾控制器的控制性能具有十分重要的意義。