結(jié)合去趨勢的AR模型變形數(shù)據(jù)預(yù)測

張京奎 王星星 陳永昌

（衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與裝備技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 河北省石家莊市 050081）

1 引言

由于工程設(shè)計(jì)并不能完全準(zhǔn)確的估計(jì)工作條件及參數(shù)，而施工質(zhì)量也難以做到完美無缺，因此，變形監(jiān)測作為保證安全的有效措施，貫穿工程施工建設(shè)期，甚至在運(yùn)營期長期進(jìn)行。變形預(yù)測作為變形數(shù)據(jù)分析的主要內(nèi)容，主要是通過對獲取數(shù)據(jù)的規(guī)律預(yù)測未發(fā)生的變形，以對未來是否發(fā)生危險(xiǎn)進(jìn)行初步判斷，并作為制定相應(yīng)措施的參考依據(jù)，達(dá)到降低損失和保障安全的目的。隨著科技與全球定位系統(tǒng)的發(fā)展，變形監(jiān)測手段從傳統(tǒng)的方式發(fā)展到利用空間衛(wèi)星技術(shù)的方式進(jìn)行，空間方式主要是采用全球定位系統(tǒng)GNSS(Global Navigation Satellite System)進(jìn)行監(jiān)測，上世紀(jì)八十年代，國外開始使用技術(shù)建立地殼形變監(jiān)測網(wǎng)，為地球動力學(xué)、地震與火山噴發(fā)等研究服務(wù)。從九十年代起，我國先后建立多個(gè)全國性的監(jiān)測網(wǎng)和區(qū)域性監(jiān)測網(wǎng)，并進(jìn)行了重復(fù)觀測和連續(xù)觀測，利用這些資料建立了中國大陸及周圍地區(qū)的地殼運(yùn)動速度場，給出了中國大陸地殼水平運(yùn)動的基本特征，由于GNSS具有全天候、全球性、高精度，同時(shí)人工干預(yù)少等特點(diǎn)，目前在室外建筑物、橋梁等的監(jiān)測方面經(jīng)常被采用，室內(nèi)由于接受不到衛(wèi)星信號，它的使用受限，故監(jiān)測隧道等通常采用地面常規(guī)測量技術(shù)全站儀配合水準(zhǔn)儀的方式（傳統(tǒng)測繪）、特殊和專用的測量手段進(jìn)行。變形預(yù)測方法的研究已經(jīng)取得較為豐碩的成果。其中，許國輝等采用AR模型對大廈沉降變形數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)測，并改進(jìn)了檢驗(yàn)方法，得到了較好結(jié)果；陸付民結(jié)合卡爾曼濾波建立改進(jìn)模型，并對鏈子崖危巖體變形數(shù)據(jù)進(jìn)行建模擬合，證明了改進(jìn)模型擬合效果更好；高寧等將建筑變形波動數(shù)據(jù)分為趨勢項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)，以優(yōu)化參數(shù)的GM(1,1)模型預(yù)測趨勢項(xiàng)，而以AR模型預(yù)測隨機(jī)項(xiàng)，實(shí)例驗(yàn)證效果較好；李克昭等、孫國凱等對GM(1,1)模型與馬爾科夫模型相結(jié)合進(jìn)行變形預(yù)測進(jìn)行了研究且實(shí)例驗(yàn)證了模型可行性，并基于工程實(shí)例，對不同模型下隧道圍巖位移的預(yù)測預(yù)報(bào)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，結(jié)果表明，GM-MC預(yù)測模型在對圍巖位移的預(yù)測中優(yōu)于GM(1,1)模型，與實(shí)測值有較高的吻合度，能滿足工程實(shí)際需求；甘祥前等采用GM(1,1)模型預(yù)測趨勢項(xiàng)而以整體最小二乘求參的AR模型預(yù)測隨機(jī)項(xiàng)，并以三峽庫區(qū)某高邊坡實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證了模型；容靜等結(jié)合卡爾曼濾波建立GM(1,1)-AR模型并行邊坡變形預(yù)測；楊帆等將自記憶原理與GM(1,1)模型相結(jié)合，建立自記憶灰色模型，并應(yīng)用于高層建筑沉降預(yù)測中。然而，以GM(1,1)模型實(shí)質(zhì)是以指數(shù)函數(shù)進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果單調(diào)，而AR模型適用于趨向于平穩(wěn)的預(yù)測。為了避免趨勢項(xiàng)未必單調(diào)的影響，本文將原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行變換生成圍繞零附近上下波動的新序列，而新序列滿足AR模型建模條件，以AR模型建模預(yù)測，然后對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行還原，得到累計(jì)變形預(yù)測值。經(jīng)實(shí)例驗(yàn)證，短期預(yù)測結(jié)果較好。

2 預(yù)測模型

2.1 原始數(shù)據(jù)序列變換

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為X=(x(1),x(2), …,x(n))，構(gòu)建二維平面點(diǎn)序列(i,x(i))(i=1,2, …,n)，取序列中相鄰三點(diǎn)數(shù)據(jù)，計(jì)算中間點(diǎn)至兩端點(diǎn)連線的垂距，設(shè)為h，則可得到垂距序列，序列任一元素h計(jì)算公式為：

其計(jì)算示意圖如圖1所示。由公式（1）可計(jì)算得到垂距大小，但由于數(shù)據(jù)存在波動，為了呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的波動，對垂距計(jì)算值序列定義正負(fù)，以表示原始序列所連折線的凹凸，定義正負(fù)后所得新序列定義為Y=(y(1),y(2), …,y(n-2))。則：

圖1：數(shù)據(jù)變換及還原示意圖

2.2 AR模型建模

自回歸模型（Autoregressive Model，簡稱 AR 模型）是最常見的平穩(wěn)時(shí)間序列模型之一，在變形監(jiān)測數(shù)據(jù)分析過程中經(jīng)常被采用，一般用于描述平穩(wěn)隨機(jī)過程。該模型是用序列過去或滯后值表示當(dāng)前值。若一個(gè)時(shí)間序列可利用其滯后數(shù)值線性回歸，則為自回歸過程，之所以稱為自回歸，也是由于自變量與因變量是相同的，是因變量以前時(shí)期的數(shù)值。其一般表達(dá)式為：

式中，y(t)為時(shí)間序列，p為模型階數(shù)，a為自回歸參數(shù)，表明改變過去一個(gè)數(shù)值時(shí)對y(t)所產(chǎn)生的影響，是根據(jù)樣本觀測值估計(jì)的參數(shù)，ε(t)為噪聲。

在應(yīng)用中，自回歸時(shí)間序列的階數(shù)是未知的，需要根據(jù)實(shí)際情況來確定。其確定方法可以采用兩種方法：一種是利用偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)；另一種是利用信息準(zhǔn)則函數(shù)。

在假設(shè)ε(t)與y(t-j)不相關(guān)的情況下，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)

這表明，AR(p)的偏自相關(guān)系數(shù)在p步之后截尾。因此，對于p階自回歸模型的間隔為p的樣本偏自相關(guān)系數(shù)不應(yīng)為零，且對所有j>p， 應(yīng)該接近于零，則可以利用這一性質(zhì)來確定自回歸模型的階數(shù)。

有時(shí)候選擇偏自相關(guān)函數(shù)確定模型階數(shù)可能并不成功，也相對復(fù)雜。則可以考慮采用信息準(zhǔn)則函數(shù)方法。自回歸模型的階數(shù)應(yīng)該使得信息準(zhǔn)則的數(shù)值達(dá)到最小。而對于信息準(zhǔn)則，多采用赤池信息準(zhǔn)則(AIC)和蘇瓦茲貝葉斯準(zhǔn)則(SBC)。其可分別表示為：

其中，SSR表示殘差平方和；k=p+q+1表示待估計(jì)參數(shù)的總個(gè)數(shù)，若不含常數(shù)項(xiàng)，那么，k=p+q；T表示樣本容量?？梢酝ㄟ^添加滯后項(xiàng)使得AIC(或SBC)達(dá)到極小值，即AIC(或SBC)越小表示模型越好，則階數(shù)選取越好。

對于自回歸模型的參數(shù)估計(jì)主要有三種方法分別是：矩估計(jì)、最小二乘估計(jì)和最大似然估計(jì)，本文采用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)，下面主要介紹最小二乘方法參數(shù)估計(jì)的模型。

對于樣本序列{x}，當(dāng)j>p+1時(shí)，記白噪聲ε的估計(jì)為：

通常ε為殘差。我們的優(yōu)化目標(biāo)是當(dāng)j=p+1,……N時(shí)殘差的平方和達(dá)到最小值，具體公式如下，

得到線性方程組y=BA+ε，根據(jù)最小二乘原理，可求解

在假設(shè)ε(t)與y(t-j)不相關(guān)的情況下，等號成立，則可得預(yù)測模型為：

由公式（3）和公式（4）所得序列Y=(y(1),y(2), …,y(n-2))，對其進(jìn)行AR模型建模，并進(jìn)行預(yù)測。

2.3 預(yù)測數(shù)據(jù)還原

設(shè)由公式(11)所得預(yù)測值為y(k)，其對應(yīng)點(diǎn)分別為(k-1,x(k-1))、(k,x(k))、(k+1,x(k+1))，則對應(yīng)垂距即為y(k)絕對值。如圖1所示，根據(jù)幾何關(guān)系可得到公式：

其中，x(k+1)為未知待求量，根據(jù)公式（6），采用數(shù)值計(jì)算的方法，程序求解，可求得兩個(gè)解。根據(jù)y(k)的正負(fù)以及公式（2），可求得最終唯一值，即為原始序列X的預(yù)測值，在對AR 模型識別時(shí)，根據(jù)其樣本偏自相關(guān)系數(shù)的截尾步數(shù)，可初步得到 AR 模型的階數(shù) p。然而，此時(shí)建立的 AR(p) 未必是最優(yōu)的。一個(gè)好的模型通常要求殘差序列方差較小，同時(shí)模型頁相對簡單，即要求階數(shù)較低。因此我們需要一些準(zhǔn)則來比較不同階數(shù)的模型之間的優(yōu)劣，從而確定最合適的階數(shù)，本文采用最優(yōu)預(yù)報(bào)準(zhǔn)測（Final Prediction Error），簡稱FPE準(zhǔn)測進(jìn)行階數(shù)的確定，其判斷依據(jù)為最終預(yù)報(bào)誤差最小，有前文所述AR(p)為擬合模型，γ, γ, …,γ是序列的各階樣本自協(xié)方差函數(shù)，其最終預(yù)報(bào)誤差公式如下：

在具體應(yīng)用時(shí)，通常是分別建立從低階到高階的AR模型，并計(jì)算出相應(yīng)的 FPE的值，由此確定使 FPE 達(dá)到最小的p值。

3 實(shí)例分析

實(shí)例1 選擇菠蘿山隧道變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。菠蘿山隧道是一座連拱隧道，位于洱海東岸，隧道全長為265米，最大埋深約為45米，屬于剝蝕構(gòu)造低中山地貌，出露地層地表為由黏性土、角礫和碎石組成的第四系坡殘積，厚度為5～27m，下伏奧陶系下統(tǒng)向陽組一段石英砂巖夾泥巖，隧道圍巖為V級，穩(wěn)定性較差，以前17期實(shí)測數(shù)據(jù)為建模數(shù)據(jù)，預(yù)測后5期數(shù)據(jù)，并與原文獻(xiàn)方法及實(shí)測數(shù)據(jù)比較分析。建模數(shù)據(jù)序列如表1 所示。

表1：實(shí)測建模數(shù)據(jù)序列

通過相鄰三點(diǎn)計(jì)算垂距構(gòu)造新數(shù)據(jù)序列，則原始時(shí)間序列經(jīng)過計(jì)算后獲得的新序列有所縮短，新序列是由15期數(shù)據(jù)構(gòu)成，是位于區(qū)間(-0.45,0.45)的圍繞零值變化波動的序列，可以認(rèn)為是平穩(wěn)隨機(jī)序列并采用AR模型建模。原始序列與生成序列折線圖如圖2所示。

圖2：變換前后數(shù)據(jù)序列曲線

采用AR模型建模預(yù)測并將預(yù)測數(shù)據(jù)還原，之后將還原后數(shù)據(jù)加入至建模數(shù)據(jù)序列，再次進(jìn)行預(yù)測，從而達(dá)到多期預(yù)測的目的。其后5期的預(yù)測數(shù)據(jù)與實(shí)測值及原文獻(xiàn)方法的預(yù)測值進(jìn)行對比，結(jié)果如表2所示。

表2：實(shí)測值及預(yù)測值比較

分析表2可知，第18期、第19期以及第20期預(yù)測數(shù)據(jù)的預(yù)測精度與原文獻(xiàn)方法預(yù)測精度相近，預(yù)測殘差較小，而第21期與第22期預(yù)測數(shù)據(jù)較原文獻(xiàn)方法預(yù)測精度差，預(yù)測殘差均大于1mm，較前3期預(yù)測值精度明顯降低。其原因在于AR模型在進(jìn)行自回歸時(shí)，后期數(shù)據(jù)出現(xiàn)不按前期規(guī)律變化的突變情況，預(yù)測誤差較大，而其預(yù)測誤差通過公式計(jì)算傳遞至累計(jì)變形量，可能出現(xiàn)放大效果，從AR模型預(yù)測結(jié)果還原為累計(jì)變形值的計(jì)算公式可以看出，第21期預(yù)測值的精度影響了第22期預(yù)測結(jié)果。

實(shí)例2 選取鄭州某時(shí)代廣場工程樓實(shí)測累計(jì)沉降數(shù)據(jù)，其是依據(jù)監(jiān)測要求，布設(shè)水準(zhǔn)網(wǎng)和監(jiān)測點(diǎn)，采用徠卡DNA03電子水準(zhǔn)儀按照二等水準(zhǔn)測量方法進(jìn)行觀測獲取的數(shù)據(jù)。選取其39期觀測數(shù)據(jù)，以前34期數(shù)據(jù)建立模型，預(yù)測后5期。其建模數(shù)據(jù)如表3所示。

表3：實(shí)測建模數(shù)據(jù)序列

通過相鄰三點(diǎn)計(jì)算垂距構(gòu)造新數(shù)據(jù)序列，則原始時(shí)間序列變化后有所縮短，所得新序列是由32期數(shù)據(jù)構(gòu)成，是位于區(qū)間(-0.79,0.58)的圍繞零值變化波動的序列，可以認(rèn)為是平穩(wěn)隨機(jī)序列并采用AR模型建模。原始序列與生成序列折線圖如圖3所示。

圖3：變換前后數(shù)據(jù)序列曲線

采用AR模型建模預(yù)測并將預(yù)測數(shù)據(jù)還原，之后將還原后數(shù)據(jù)加入至建模數(shù)據(jù)序列，再次進(jìn)行預(yù)測，從而達(dá)到多期預(yù)測的目的。其后5期的預(yù)測數(shù)據(jù)與實(shí)測值進(jìn)行對比，結(jié)果如表4所示。

表4：實(shí)測值與預(yù)測值比較

分析表4可發(fā)現(xiàn)，其35期至39期數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果較好，殘差值均在0~1mm之間，相對誤差只有第38期預(yù)測值大于5%，而其余預(yù)測值均小于5%。而原文獻(xiàn)灰色自記憶模型預(yù)測結(jié)果殘差在2mm內(nèi)。因此認(rèn)為本文方法在短期預(yù)測效果，能夠達(dá)到與原文獻(xiàn)模型預(yù)測相同的精度要求。

4 結(jié)論

變形監(jiān)測數(shù)據(jù)時(shí)常呈現(xiàn)波動形式，給變形數(shù)據(jù)分析及預(yù)測帶來困難。本文采用相鄰三期數(shù)據(jù)在二維平面坐標(biāo)系中計(jì)算垂距的方法構(gòu)造新數(shù)據(jù)序列，對所生成的新數(shù)據(jù)序列采用AR模型進(jìn)行建模預(yù)測，然后還原為累計(jì)變形預(yù)測值，并采用AR模型對新序列進(jìn)行預(yù)測并還原為累計(jì)變形預(yù)測值。該方法直接提取波動隨機(jī)項(xiàng)進(jìn)行預(yù)測，而對于趨勢項(xiàng)并無要求。經(jīng)過實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證，在短期變形數(shù)據(jù)預(yù)測中，預(yù)測結(jié)果較好。但該方法依然存在自回歸難以應(yīng)對突變及數(shù)據(jù)還原誤差傳遞問題，有待進(jìn)一步研究解決。