基于分布式PI 的2 階時(shí)延多智能體系統(tǒng)一致性控制

王 琦 ,郭 飛 ,張安通 ,郭 煜 ,強(qiáng)以銘

(1.中國(guó)船舶科學(xué)研究中心,江蘇 無(wú)錫,214082;2.深海技術(shù)科學(xué)太湖實(shí)驗(yàn)室,江蘇 無(wú)錫,214082;3.上海機(jī)電工程研究所,上海,201109)

0 引言

隨著自動(dòng)控制技術(shù)和人工智能技術(shù)的快速發(fā)展,多智能體系統(tǒng)受到了越來(lái)越多研究者們的關(guān)注,也逐漸成為人工智能領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。多智能體系統(tǒng)由一定數(shù)量的智能體構(gòu)成,通過(guò)智能體間的相互協(xié)同完成共同的任務(wù)。多智能體系統(tǒng)不僅可以提高工作效率,而且易于拓展,可靠性高,在無(wú)人艇集群水上作業(yè)、無(wú)人機(jī)空中編隊(duì)控制、衛(wèi)星組網(wǎng)通信以及多機(jī)器人合作等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。其中,多智能體系統(tǒng)的一致性是指各智能體的狀態(tài)最終趨于一個(gè)相同的值,也是多智能體系統(tǒng)研究中的關(guān)鍵問(wèn)題[1-6]。

由于通信帶寬是有限的,在實(shí)際多智能體系統(tǒng)中總是不可避免地存在時(shí)延。針對(duì)含有時(shí)延的多智能體系統(tǒng),研究者們也進(jìn)行了相應(yīng)的研究。通過(guò)采用時(shí)域的方法,張慶杰等[7]針對(duì)具有通信時(shí)延的2 階多智能體系統(tǒng)的平均一致性問(wèn)題,構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii 泛函得到了系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù),并引入了自由權(quán)矩陣來(lái)降低保守性,通過(guò)求解線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)獲得最大的時(shí)滯上界。通過(guò)采用頻域的方法,楊洪勇等[8]針對(duì)具有通信和輸入時(shí)延的含領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng),運(yùn)用頻域控制理論和Nyquist 穩(wěn)定性定理,給出了只和輸入時(shí)延相關(guān)的一致性條件。Park 等[9]針對(duì)具有通信時(shí)延和干擾的離散時(shí)間的多智能體系統(tǒng)提出了一種新型一致性算法。Savino 等[10]研究了在切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下具有時(shí)變時(shí)延的多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題,采用具有不確定轉(zhuǎn)換率的馬爾可夫跳變對(duì)拓?fù)渥兓M(jìn)行建模。Kaviarasan等[11]研究了存在概率時(shí)變時(shí)延的不確定非線性多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題,將概率時(shí)變時(shí)延等價(jià)轉(zhuǎn)換為具有隨機(jī)參數(shù)的確定性時(shí)變時(shí)延。Tan 等[12]針對(duì)一類具有時(shí)滯的離散時(shí)間異構(gòu)多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題,提出了一種預(yù)測(cè)方案,通過(guò)使用接收到的智能體的過(guò)時(shí)信息來(lái)主動(dòng)補(bǔ)償延遲,并設(shè)計(jì)了一種具有狀態(tài)預(yù)測(cè)功能的新型分布式協(xié)議,給出了系統(tǒng)達(dá)到一致的必要和/或充分條件。Ji 等[13]研究了異構(gòu)多智能體系統(tǒng)在輸入時(shí)延影響下的一致性問(wèn)題,設(shè)計(jì)的一致性協(xié)議考慮了智能體之間的共存合作和競(jìng)爭(zhēng)互動(dòng)關(guān)系,給出的結(jié)論表明系統(tǒng)一致性的實(shí)現(xiàn)與系統(tǒng)控制參數(shù)、代理的度數(shù)和輸入時(shí)間延遲有關(guān)。

針對(duì)多智能體系統(tǒng)外部有擾動(dòng)的情況,相關(guān)學(xué)者也進(jìn)行了大量的研究。Mondal 等[14]針對(duì)異構(gòu)高階非線性多智能體系統(tǒng)提出了一種魯棒的一致性控制器,提出了一種基于有限時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器和滑?？刂频姆植际揭恢滦詤f(xié)議。Elahi 等[15]針對(duì)有外部干擾、通信時(shí)延和隨機(jī)丟包的離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)進(jìn)行了分布式一致性控制,以線性矩陣不等式給出了充分條件。Ramya 等[16]通過(guò)使用基于干擾抑制和Smith 預(yù)測(cè)方案的反饋控制器設(shè)計(jì)了一種新型的一致性控制策略以解決多智能體系統(tǒng)的魯棒一致性問(wèn)題。王和等[17]針對(duì)2 階多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題,考慮了在有向通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下存在不匹配擾動(dòng)的情況,還考慮了有領(lǐng)導(dǎo)者跟蹤一致性問(wèn)題以及無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者一致性問(wèn)題。姚輝等[18]研究了在有障礙物和外部擾動(dòng)的情況下多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)跟蹤和避障問(wèn)題,設(shè)計(jì)了基于目標(biāo)跟蹤優(yōu)先級(jí)的持續(xù)跟蹤控制策略,以及基于人工勢(shì)場(chǎng)法的避障控制協(xié)議,并根據(jù)自抗擾理論設(shè)計(jì)包含擾動(dòng)補(bǔ)償項(xiàng)的編隊(duì)跟蹤控制器;研究了2 階多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)問(wèn)題,采用自抗擾理論和一致性方法提出了包含擾動(dòng)補(bǔ)償項(xiàng)的編隊(duì)跟蹤控制協(xié)議,并給出了充分條件[19]。葛志文等[20]研究了存在外部擾動(dòng)和執(zhí)行器故障的多智能體系統(tǒng)的容錯(cuò)一致性算法,提出了一種基于自適應(yīng)滑模的算法,相比傳統(tǒng)算法,其誤差收斂速度更快,容錯(cuò)控制效果更好。

上述研究分別針對(duì)具有通信時(shí)延和擾動(dòng)的多智能體系統(tǒng)進(jìn)行研究,給出了系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致性的條件,但是在實(shí)際應(yīng)用中,可能同時(shí)存在通信時(shí)延和擾動(dòng)的影響。Dong 等[21]研究了具有一般線性動(dòng)力學(xué)特性和切換有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)的時(shí)變編隊(duì)分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題。Yu 等[22]針對(duì)高階多智能體系統(tǒng)的魯棒H∞編隊(duì)跟蹤問(wèn)題,同時(shí)考慮了具有外部干擾和時(shí)變時(shí)延,其中編隊(duì)可以通過(guò)指定的分段連續(xù)可微向量來(lái)定義。

同時(shí),由于比例-積分-微分(proportionalintegral-derivative,PID)控制器研究較為成熟,具有諸多優(yōu)點(diǎn),因此有研究者將PID 應(yīng)用到了一致性控制協(xié)議中。Lombana 等[23]分別針對(duì)同構(gòu)和異構(gòu)系統(tǒng)的一致性問(wèn)題,使用適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)轉(zhuǎn)換和Lypunov函數(shù)證明了2 種情況下控制策略的收斂性。李浩亮等[24]針對(duì)線性多智能體系統(tǒng)一致性問(wèn)題,提出分布式PID 控制協(xié)議,證明了系統(tǒng)的一致性與增益矩陣和PID 參數(shù)有關(guān)。但以上文獻(xiàn)都沒有考慮通信時(shí)延和擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)一致性的影響,工程應(yīng)用性不強(qiáng)?；谝陨衔墨I(xiàn),針對(duì)含有通信時(shí)延和擾動(dòng)的2 階多智能體系統(tǒng),文中提出了一種基于分布式PI 的控制協(xié)議,運(yùn)用圖論、矩陣論和李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的知識(shí),構(gòu)造具有三重積分項(xiàng)的Lyapunov-Krasovskii 泛函,給出了系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定的充分條件,降低保守性,最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了該控制協(xié)議的正確性和有效性。

1 問(wèn)題描述

為了方便描述多智能體系統(tǒng),引入圖論。多智能體系統(tǒng)可以用圖論描述為G=(V,E,A),其中:V={1,2,···,N}為一系列節(jié)點(diǎn),表示多智能體系統(tǒng)中的每個(gè)智能體;E?V×V為每個(gè)智能體之間的有向邊,表示為eij=(i,j),其中i是j的父節(jié)點(diǎn),j是i的子節(jié)點(diǎn);A=(aij)N×N表示鄰接矩陣,當(dāng)且僅當(dāng)有向邊eji=(j,i)∈E時(shí),aij=1,否則,aij=0。Ni={j∈V,(j,i)∈E}稱為節(jié)點(diǎn)i的鄰居集。圖論G的拉普拉斯矩陣L=(lij)N×N定義為

在實(shí)際工程應(yīng)用中,如多無(wú)人艇/機(jī)編隊(duì)、機(jī)器人協(xié)同作業(yè)等都可以看作是2 階多智能體系統(tǒng)。該系統(tǒng)由N個(gè)智能體構(gòu)成,每個(gè)智能體的動(dòng)態(tài)特性為

式中

分別表示第i個(gè)智能體的位置狀態(tài)、速度狀態(tài)、控制協(xié)議和非零擾動(dòng),n為狀態(tài)向量的維數(shù),且wi(t)∈L2[0,∞)。

定義1:對(duì)任意初始狀態(tài)值,當(dāng)且僅當(dāng)下式滿足:

那么含擾動(dòng)的2 階多智能體系統(tǒng)(2)達(dá)到了一致性。

假設(shè)1:對(duì)于2 階含擾動(dòng)的多智能體系統(tǒng)(2),假設(shè)各智能體間的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)G包含一個(gè)有向生成樹。

在給出主要結(jié)論之前,首先給出2 個(gè)矩陣論中的引理。

引理1:對(duì)于任意常正定矩陣M和標(biāo)量τ>0,滿足不等式

引理2:對(duì)于任意常正定矩陣M和標(biāo)量τ>0,滿足不等式

2 主要理論

為了實(shí)現(xiàn)該多智能體系統(tǒng)的一致性,根據(jù)智能體自身及其鄰居狀態(tài)設(shè)計(jì)的分布式PI 控制協(xié)議為

式中:α,β,ki為控制參數(shù);τ (t)為時(shí)延。

同時(shí)考慮常數(shù)時(shí)延和時(shí)變時(shí)延2 種情況。首先考慮時(shí)延為常數(shù)的情況,即0<τ(t)=τ ≤d,d為時(shí)延的上界。

令

則式(8)可寫成

其中,L為2 階多智能體系統(tǒng)(2)的拉普拉斯矩陣。

令

則可以得到

其中,

如果隨著時(shí)間的推移limt→∞ξ(t)=0,也就是limt→∞(zi+1(t)?z1(t))=0,limt→∞(xi+1(t)?x1(t))=0,limt→∞(vi+1(t)?v1(t))=0,i=1,2,···,N?1,可以得到z1(t)=z2(t)=···=zN(t),x1(t)=x2(t)=···=xN(t),v1(t)=v2(t)=···=vN(t),即多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了一致性,將原多智能體系統(tǒng)(2)的一致性問(wèn)題轉(zhuǎn)換為了誤差系統(tǒng)(13)的穩(wěn)定性問(wèn)題。

定理1:在假設(shè)1 滿足的條件下,采用控制協(xié)議(7),其中時(shí)滯為常數(shù)0<τ ≤d,如果存在正定矩陣P,Q,R和W,滿足下面的線性矩陣不等式

式中,χ=BTP+PB+Q+BTRB?R/d。那么2 階含擾動(dòng)常數(shù)時(shí)延多智能體系統(tǒng)(2)能夠?qū)崿F(xiàn)一致性。

證明:針對(duì)轉(zhuǎn)換后的系統(tǒng)(13)構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii 候選泛函

式中

由于P,Q,R可知,構(gòu)造的Lyapunov-Krasovskii候選泛函是正定的,即V(x)>0。

對(duì)其求導(dǎo)可得

整合式(18)～式(22),可得

接著,考慮時(shí)延為時(shí)變的情況,時(shí)變時(shí)延τ(t)滿 足0<τ(t)≤d,≤d1<1,令xi(s)ds,則將控制協(xié)議(7)代入系統(tǒng)方程(2),通過(guò)類似的降階變換可將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為

式中,B,C,D,ξ 的定義和式(13)一致,可得到推論1。

推論1:在假設(shè)1 滿足的條件下,采用控制協(xié)議(7),其中時(shí)變時(shí)滯0<τ(t)≤d,≤d1<1,如果存在P,Q和R,滿足下面的線性矩陣不等式

式中,χ=BTP+PB+Q+BTRB?R/d。那么2 階含擾動(dòng)時(shí)變時(shí)延多智能體系統(tǒng)(2)能夠?qū)崿F(xiàn)一致性。

證明:與定理1 的證明類似,在此不再贅述。

在定理1 和推論1 的證明過(guò)程中,構(gòu)造的Lyapunov-Krasovskii 泛函包含了一重積分和二重積分項(xiàng),如果在Lyapunov-Krasovskii 泛函中加入三重積分項(xiàng),可以降低系統(tǒng)的保守性,進(jìn)而得到定理2。

定理2:在假設(shè)1 滿足的條件下,采用控制協(xié)議(7),其中時(shí)滯為常數(shù)τ,如果存在P,Q,R和W,滿足下面的線性矩陣不等式

其中

那么2 階含擾動(dòng)常數(shù)時(shí)延多智能體系統(tǒng)(2)能夠?qū)崿F(xiàn)一致性。

證明:針對(duì)轉(zhuǎn)化后的系統(tǒng)(13)構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii 候選泛函

式中

由P,Q,R,W可得構(gòu)造的Lyapunov-Krasovskii候選泛函為正定,即V(x)>0。對(duì)其求導(dǎo)可得

其中

其中

為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的H∞一致性,即系統(tǒng)漸近達(dá)到一致性,且存在一個(gè)常數(shù)γ>0,使得在任意初始條件下,對(duì)于所有的非零擾動(dòng)w(t)∈L2[0,∞),都有可得到推論2。

推論2:在假設(shè)1 滿足的條件下,采用控制協(xié)議(7),其中時(shí)滯為常數(shù)τ,如果存在P,Q,R和W滿足下面的線性矩陣不等式

其中,

那么2 階含擾動(dòng)常數(shù)時(shí)滯多智能體系統(tǒng)(2)能夠?qū)崿F(xiàn)H∞一致性。

那么

當(dāng)滿足?1<0時(shí),可得

3 數(shù)值仿真

考慮通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1 所示的多智能體系統(tǒng),系統(tǒng)中有6 個(gè)智能體,編號(hào)為1～6,從圖1 中可以看出,該拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)含有一個(gè)有向生成樹,其中節(jié)點(diǎn)1 為根節(jié)點(diǎn),從節(jié)點(diǎn)1 到其他任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)均有一條有向路徑,滿足假設(shè)條件1。

圖1 多智能體系統(tǒng)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.1 The communication topology graph of the multiagent system

該系統(tǒng)的外部擾動(dòng)為

選擇參數(shù)α=1,β=2,給定時(shí)變時(shí)延為τ(t)=0.02|cos10t|,運(yùn)用定理2,通過(guò)Matlab 中的LMI 工具箱求得可行解P,Q,R和W,并畫出系統(tǒng)中各智能體的狀態(tài)曲線xi1(t),xi2(t),vi1(t),vi2(t),如圖2所示。

圖2 多智能體系統(tǒng)狀態(tài)曲線Fig.2 Curves of state of the multi-agent systems

從圖2 可以看出,隨著時(shí)間的推移,在存在有界外部擾動(dòng)和時(shí)變通信時(shí)延的情況下,該多智能體系統(tǒng)的位置狀態(tài)和速度狀態(tài)曲線在大約12 s 左右時(shí)逐漸達(dá)到一個(gè)相同的值,從而驗(yàn)證了提出的分布式PI 控制協(xié)議可以實(shí)現(xiàn)2 階多智能體系統(tǒng)(2)的一致性,驗(yàn)證了定理2 的正確性和有效性。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)2 階時(shí)延多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題,同時(shí)考慮了外部擾動(dòng)的影響,采用了分布式PI 控制策略,對(duì)該2 階多智能體系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)化,從而將原系統(tǒng)的一致性問(wèn)題轉(zhuǎn)換為新系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。運(yùn)用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論對(duì)新系統(tǒng)的穩(wěn)定問(wèn)題進(jìn)行分析,構(gòu)造新型的Lyapunov-Krasovskii候選泛函,給出了新的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定性的充分條件,也就是原多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致性的充分條件。同時(shí),在構(gòu)造的Lyapunov-Krasovskii 泛函中加入三重積分項(xiàng),從而減少所得充分條件的保守性。文中結(jié)論表明,系統(tǒng)的一致性和控制協(xié)議的參數(shù)、系統(tǒng)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及時(shí)延的上界有關(guān)。最后,通過(guò)數(shù)值仿真對(duì)得到的定理和推論進(jìn)行驗(yàn)證。后續(xù)可將文中結(jié)果拓展到線性[25]和異構(gòu)[26]多智能體系統(tǒng)中。