基于譜函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的波達(dá)方向估計(jì)

潘秋甫 孫 曼 余小玲

(四川大學(xué)電氣工程學(xué)院 四川 成都 610065)

0 引 言

DOA(信號(hào)波達(dá)方向估計(jì))是信號(hào)處理領(lǐng)域的重要研究方向[1-2]，尤其是在短波測(cè)向[3]、軍事對(duì)抗、雷達(dá)探測(cè)、聲吶和移動(dòng)通信等方面都有著廣泛的應(yīng)用[4]。隨著電子戰(zhàn)對(duì)作戰(zhàn)隱蔽性及作戰(zhàn)精密度要求逐漸增強(qiáng)，雷達(dá)等主動(dòng)測(cè)向技術(shù)因主動(dòng)發(fā)射電磁波進(jìn)行測(cè)向，容易被捕捉信源方向，大大降低了作戰(zhàn)安全性，因此高精度高分辨率的被動(dòng)測(cè)向技術(shù)成為軍事測(cè)向的發(fā)展趨勢(shì)[5]。

基于多重信號(hào)分類(lèi)的高分辨空間譜測(cè)向算法克服了傳統(tǒng)比幅比相式測(cè)向機(jī)制[6]的缺點(diǎn)，可對(duì)同信道中多個(gè)信號(hào)進(jìn)行超分辨測(cè)向，實(shí)現(xiàn)波束合成[7]和同頻干擾檢測(cè)，以其卓越的測(cè)向性能得到了廣泛的關(guān)注和研究。文獻(xiàn)[8-10]通過(guò)降低MUSIC算法的計(jì)算復(fù)雜度來(lái)達(dá)到較好的工程實(shí)用價(jià)值。然而，這類(lèi)算法對(duì)計(jì)算量降低效果有限，且是以降低計(jì)算精度為前提的。文獻(xiàn)[11-13]提出將現(xiàn)代信號(hào)處理方法作用于空間譜估計(jì)，使得信號(hào)處理技術(shù)在空間譜估計(jì)中有了新的發(fā)展。文獻(xiàn)[14-15]采用特殊陣列模型結(jié)構(gòu)，一定程度提高了低快拍數(shù)條件下算法的估計(jì)性能。文獻(xiàn)[16-17]通過(guò)改善信號(hào)和噪聲的正交性，來(lái)提高算法在低信噪比、小快拍數(shù)等復(fù)雜環(huán)境下的分辨率。然而，當(dāng)信源角度接近時(shí)DOA估計(jì)精度將會(huì)受到影響。

本文針對(duì)低信噪比、小快拍數(shù)或信源角度相近等復(fù)雜環(huán)境下DOA估計(jì)性能?chē)?yán)重下降這一問(wèn)題，利用MUSIC空間譜函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)能在原始波達(dá)方向周?chē)a(chǎn)生負(fù)峰值的特性，通過(guò)對(duì)二階導(dǎo)數(shù)空間譜進(jìn)行負(fù)峰值搜索實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。相比常規(guī)DOA估計(jì)算法，本文方法在不嚴(yán)重增加運(yùn)算量和計(jì)算復(fù)雜度的基礎(chǔ)上，大幅度地提高了復(fù)雜環(huán)境中DOA估計(jì)的測(cè)向精度，有較強(qiáng)的工程實(shí)用價(jià)值。

1 信號(hào)模型

假設(shè)N個(gè)窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)源si(t)以角度θi(i=1,2,…,N)入射至空間某均勻線型陣列上，其中陣列天線由M個(gè)線性分布陣元組成，假設(shè)陣列中各陣元是各向同性的且不存在通道不一致、互耦等因素的影響。假設(shè)噪聲為零均值、方差為δ2的高斯白噪聲，陣元間噪聲彼此獨(dú)立，且與信號(hào)不相關(guān)。以最左側(cè)陣元為參考陣元，則其陣列接收信號(hào)寫(xiě)成向量表達(dá)式為：

X(t)=A(θ)S(t)+N(t)

(1)

式中：X(t)為陣列接收的快拍數(shù)據(jù)的向量表達(dá)式；A(θ)為對(duì)應(yīng)的M×N維陣列流形矩陣；N(t)為噪聲向量。其中:

X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM-1(t),xM(t)]T

(2)

A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θM)]

(3)

(4)

S(t)=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T

(5)

N(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T

(6)

R=E[X(t)XH(t)]

(7)

式中：E為期望值；R為信號(hào)協(xié)方差矩陣。

2 MUSIC算法簡(jiǎn)介

對(duì)協(xié)反差矩陣進(jìn)行特征分解可得：

(8)

式中：US為大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量所組成的信號(hào)子空間；Σ為由特征值組成的對(duì)角矩陣；UN為小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量所組成的噪聲子空間。在理想情況下，數(shù)據(jù)空間中的信號(hào)子空間與噪聲子空間相互正交，即信號(hào)子空間中的導(dǎo)向向量也與噪聲子空間正交，則式(9)成立。

aH(θ)UN=0

(9)

(10)

所以，MUSIC算法的譜估計(jì)公式為：

(11)

3 改進(jìn)算法研究

文獻(xiàn)[18]定義當(dāng)存在某θc滿足θc=1/2(θ1+θ2)且P(θc)=1/2[P(θ1)+P(θ2)]時(shí)，兩信號(hào)能剛好被分辨出來(lái)，此時(shí)稱(chēng)Δ=|θ1-θ2|為MUSIC算法的分辨率。分辨率與采樣快拍數(shù)L和陣元數(shù)目M均有聯(lián)系。Kaveh等[19]定向分析出這幾個(gè)變量與角分辨率的關(guān)系：

(12)

假設(shè)某均勻線陣陣元數(shù)為9，2個(gè)窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)s1(t)、s2(t)(信源之間相互獨(dú)立)入射至該陣列，兩信源的入射角度分別為θ1=0°、θ2=5°，兩信源的信噪比分別為SNR1=4 dB、SNR2=4 dB，空間噪聲為高斯白噪聲。圖1為使用傳統(tǒng)子空間算法進(jìn)行DOA估計(jì)所得空間譜P(θ)。

圖1 MUSIC算法空間譜

可以看出，當(dāng)信源角度接近時(shí)，并不會(huì)在0°和5°附近分別出現(xiàn)波峰，隨著信源角度間隔減小，兩譜峰將逐漸靠攏，慢慢融合為一，只會(huì)在θ=5°附近出現(xiàn)一個(gè)峰值，且譜峰不再明顯，我們將不能通過(guò)譜峰搜索來(lái)確定信號(hào)的DOA信息，測(cè)向精度降低。

觀察譜峰發(fā)現(xiàn)，譜峰附近左側(cè)為增函數(shù)，即一階導(dǎo)數(shù)大于零；右側(cè)為減函數(shù)，即一階導(dǎo)數(shù)小于零。僅依靠函數(shù)斜率的正負(fù)性的變化里確定極大值點(diǎn)是不夠的，因?yàn)樵跇O小值點(diǎn)的附近也會(huì)出現(xiàn)一些局部的波動(dòng)，導(dǎo)致斜率的正負(fù)性變動(dòng)，故函數(shù)的極值點(diǎn)一般是通過(guò)一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)來(lái)確定。對(duì)于一元可微函數(shù)f(x)，其駐點(diǎn)為x0，且f″(x0)<0，則f(x)在x0處取得極大值。仔細(xì)觀察圖1，可以發(fā)現(xiàn)在0°和5°之間會(huì)出現(xiàn)一段下凹的曲線，考慮對(duì)頻譜求二階導(dǎo)數(shù)，通過(guò)搜索二階導(dǎo)函數(shù)的最小值點(diǎn)來(lái)確定波達(dá)角。

為提高計(jì)算精度，可以考慮保留更多的項(xiàng)數(shù)，選擇保留二階項(xiàng)，則連續(xù)函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)可近似簡(jiǎn)化為：

(13)

(14)

一維離散點(diǎn)P(θ)代入式(13)，當(dāng)1≤i≤L-2時(shí)，近似求二階導(dǎo)數(shù)值，可得：

(15)

基于譜函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的DOA估計(jì)方法步驟如下：

3) 根據(jù)式(11)得到MUSIC算法估計(jì)的譜函數(shù)P(θ)。

4) 根據(jù)式(15)得到譜函數(shù)的近似二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)P″(θ)。

5) 對(duì)P″(θ)進(jìn)行負(fù)向譜峰搜索，得到極小值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度即為波達(dá)角方向。

4 仿真結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文算法的性能，分別將算法與經(jīng)典DOA估計(jì)算法進(jìn)行比較。為驗(yàn)證算法的有效性和估計(jì)性能，分別進(jìn)行了三組仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)一驗(yàn)證本文算法的估計(jì)性能，考慮均勻線陣的陣元數(shù)為9，陣元間距為半波長(zhǎng)。為實(shí)驗(yàn)方便起見(jiàn)，兩入射信源s1(t)、s2(t)相互獨(dú)立，兩信號(hào)源的信噪比分別為SNR1=0 dB、SNR2=0 dB，陣列采樣快拍數(shù)為200。圖2和圖3是兩信源入射角θ1=0°、θ2=20°時(shí)，分別使用傳統(tǒng)MUSIC算法和基于譜函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)DOA估計(jì)所得空間譜。圖4和圖5是兩信源入射角θ1=0°、θ2=5°時(shí)，分別使用傳統(tǒng)MUSIC算法和基于譜函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)DOA估計(jì)所得空間譜。

圖2 θ1=0°、θ2=20°時(shí)MUSIC空間譜

圖3 θ1=0°、θ2=20°時(shí)二階導(dǎo)數(shù)空間譜

圖4 θ1=0°、θ2=5°時(shí)MUSIC空間譜

圖5 θ1=0°、θ2=5°時(shí)二階導(dǎo)數(shù)空間譜

當(dāng)信源角度間隔較大時(shí)，如圖2和圖3所示，兩種算法所得空間譜均會(huì)出現(xiàn)尖銳的譜峰，可以精確估計(jì)信源的DOA信息。兩者的不同之處就是：傳統(tǒng)MUSIC算法使用的是正向譜峰搜索，而基于譜函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的DOA估計(jì)是利用大值點(diǎn)附近譜函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)能在原始波達(dá)方向周?chē)a(chǎn)生負(fù)峰值的特性進(jìn)行負(fù)向譜峰搜索。

當(dāng)信源角度間隔較小時(shí)，如圖4所示，傳統(tǒng)MUSIC算法并不能得到兩個(gè)尖銳的譜峰，只能在4°附近搜索到一個(gè)譜峰，DOA估計(jì)性能下降。如圖5所示，即使在信源角度間隔較小時(shí)，基于譜函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的DOA估計(jì)算法仍能夠迅速捕捉譜曲線中下凹部分，利用求二階導(dǎo)數(shù)形成負(fù)向譜峰，進(jìn)行精確的DOA估計(jì)。由此可見(jiàn)：基于譜函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的DOA估計(jì)算法有良好的估計(jì)性能。

實(shí)驗(yàn)二驗(yàn)證本文算法對(duì)信噪比的敏感程度?？紤]均勻線陣的陣元數(shù)為9，陣元間距為半波長(zhǎng)，兩入射信源s1(t)、s2(t)相互獨(dú)立，兩信源入射角分為θ1=0°、θ2=5°，為避免快拍數(shù)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，取快拍數(shù)為500，信源的信噪比取-2 dB～15 dB，步進(jìn)為0.5 dB。Monte Carlo實(shí)驗(yàn)次數(shù)為1 000。

如圖6所示，隨著信噪比的逐漸提高，兩種算法的均方根誤差均將逐漸減小。本文算法的精確度顯然高于傳統(tǒng)MUSIC算法，即使在信噪比較低的情況下，如SNR=-2 dB，本文算法估計(jì)的均方根誤差為0.95，而此時(shí)經(jīng)典MUSIC算法的均方根誤差接近為2；當(dāng)信噪比達(dá)到9.5 dB及以上時(shí)，本文算法的均方根誤差為0。

圖6 算法對(duì)信噪比的敏感程度

實(shí)驗(yàn)三驗(yàn)證本文算法對(duì)快拍數(shù)的敏感程度?？紤]均勻線陣的陣元數(shù)為9，陣元間距為半波長(zhǎng)，兩入射信源s1(t)、s2(t)相互獨(dú)立，兩信源入射角分為θ1=0°、θ2=5°，為避免信噪比對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，取信噪比為8 dB，信源的快拍數(shù)取20至800，步進(jìn)為20。Monte Carlo實(shí)驗(yàn)次數(shù)為1 000。

如圖7所示，隨著快拍數(shù)的逐漸提高，兩種算法的均方根誤差均將逐漸減小。本文算法的精確度顯然高于傳統(tǒng)MUSIC算法，即使在快拍數(shù)較低的情況下，如快拍數(shù)為50時(shí)，算法估計(jì)的均方根誤差為0.55，而此時(shí)經(jīng)典MUSIC算法的均方根誤差接近為1.3，是本文算法的兩倍以上；當(dāng)快拍數(shù)達(dá)到650及以上時(shí)，本文算法的均方根誤差近似為0。

圖7 算法對(duì)快拍數(shù)的敏感程度

5 結(jié) 語(yǔ)

經(jīng)典算法受陣列元數(shù)、快拍數(shù)及信噪比門(mén)限的限制，在復(fù)雜環(huán)境下DOA估計(jì)分辨率將嚴(yán)重下降。本文利用MUSIC空間譜函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)能在原始波達(dá)方向周?chē)a(chǎn)生負(fù)峰值的特性，研究了基于譜函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的波達(dá)方向估計(jì)方法，通過(guò)對(duì)二階導(dǎo)數(shù)空間譜進(jìn)行負(fù)峰值搜索實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)表明，相比常規(guī)DOA估計(jì)算法，本文方法在不嚴(yán)重增加運(yùn)算量和計(jì)算復(fù)雜度的基礎(chǔ)上，大幅度地提高了復(fù)雜環(huán)境中的DOA估計(jì)的測(cè)向精度，有較強(qiáng)的工程實(shí)用價(jià)值。