基于BOBYQA算法毛細管電極結構優(yōu)化

李江濤，孫 健，李曉光，劉岳強，鄭 浩，張祥雷，寧 輝，李子瑞

(1.溫州大學 機電工程學院，浙江 溫州 325035；2.河北工業(yè)大學 機械工程學院，天津 300401； 3.丹東百特儀器有限公司，遼寧 丹東 118009)

納米顆粒懸浮液Zeta電位的調控與檢測已在食品[1-2]、化工[3-4]、環(huán)境[5-6]、醫(yī)學[7-8]等領域得到廣泛應用。Zeta電位是衡量膠體溶液穩(wěn)定程度的重要依據[9]，目前市場測試方法主要有光學電泳法和聲學電泳法2種檢測分析技術[10]。電泳光散射(electrophoretic light scattering，ELS)是光學電泳法測量顆粒Zeta電位主要技術，其中相位分析技術(phase analysis light scattering，PALS)和相關法是使用較多的ELS信號解析手段[11-12]。在電泳光散射技術中，常用電極設計為U型毛細管電極，本文中定義為常用毛細管電極。測試過程中，在電極兩端施加電壓，膠體顆粒處于電場中，并在電場力作用進行電泳運動。檢測點通常位于該電極底部中間位置，因此毛細管底部測試區(qū)域的電場分布的均勻性及激光入射位置對測試結果有重要影響。電場沿U型毛細管底部縱向分布不均勻會引發(fā)電泳速度的不均勻，從而導致信號中多普勒頻移的分布變寬，增加測試結果的不確定性。當使用不同毛細管電極進行測試時，毛細管電極的制造公差也會導致不同電極間檢測點位置具有一定偏差，此時探測點周圍場強分布不均勻會導致不同電極測試結果的電極間差。黃桂瓊等[13]和Huang等[14]通過有限元方法對毛細管電極設計進行電場模擬研究，發(fā)現(xiàn)底部場強不均對顆粒測試結果產生較大影響，并提出在傳統(tǒng)U型毛細管電極兩側電場分布均勻的豎直區(qū)域設置測試點來減小測試誤差，但是這種方式在實際實驗過程中仍具有一定操作難度，同時設備設計復雜程度相對較高。

目前沒有相關理論或成熟經驗公式來對毛細管進行幾何參數優(yōu)化設計，但是利用優(yōu)化算法及有限元軟件相互耦合，不僅可得到復雜條件下的特定物理參數特性，如電場、熱場等，還可以解決缺乏理論經驗公式的復雜結構優(yōu)化問題[15]。

在該研究中，為解決毛細管電極復雜非連續(xù)目標函數優(yōu)化問題，提高測試結果的穩(wěn)定性及電場的均勻度，使用有限元基本理論，對U型毛細管電極分布進行數值模擬，調用梯度自由優(yōu)化(bound optimization by quadratic approximation，BOBYQA)算法，在無需對目標函數進行求導的情況下，對U型毛細管電極進行優(yōu)化迭代求解?？紤]內、外徑比例因子K1、K2對毛細管底部場強的影響，提出一種新型毛細管電極結構，解決納米顆粒Zeta電位測量過程中電場不均問題，為毛細管電極的設計優(yōu)化提供新思路。

1 原理

1.1 幾何模型構建

U型毛細管電極是較普遍使用的用于Zeta電位測試的電極結構，其示意圖如圖1所示。在該結構中，毛細管電極高為35 mm。為縮短計算時間，對該軸對稱三維模型進行抽象簡化，得到如圖1(b)所示的二維簡化示意圖。U型毛細管電極的建模流程如下：首先利用三次貝賽爾曲線實現(xiàn)對弧線AB的構建，三次貝賽爾曲線比例因子為K2，初始值為0.53，且弧線上每點占比權重為1。A、B、C點坐標依次為(0,r2)、(r2,0)、(r1,0)，其中，r1=2 000 μm，r2=4 000 μm；然后利用三次貝賽爾曲線構建弧線CD，比例因子為K1，初始值為0.53，弧線上每點權重也為1；確定D點坐標(0,r1)；根據毛細管電極實際長度確定E、F點的坐標(-RL,r1)、(-RL,r2),RL=32 000 μm；連接各點完成1/2模型構建。根據二維鏡像，實現(xiàn)毛細管電極二維結構整體繪制，該模型的初始值管徑為2 mm，管長為33 mm,管寬為11 mm。

1.2 物理場設置

選取有限元軟件內置電場模塊對毛細管電極進行數值模擬，流體區(qū)域材料參數見表1。邊界條件：毛細管電極左、右側施加的電壓分別為VL=150 V，VR=0。當給毛細管電極施加交變電壓時，其電場分布由拉普拉斯方程控制。

表1 流體區(qū)域材料參數Tab.1 Material parameters in fluid area

2V=0，

(1)

E=-V，

(2)

式中：V為電勢，V；E為電場強度，V/m。

1.3 BOBYQA算法簡介及優(yōu)化函數的確定

BOBYQA是一種主要針對復雜函數且不需計算目標函數導數的優(yōu)化算法。該算法通過在插值區(qū)間內用二次近似函數替代目標函數進行迭代求解，解決多維非線性優(yōu)化問題[16-18]。BOBYQA算法的基本流程如下。

對于目標區(qū)間內最小值問題的求解問題，首先構建最小目標函數

minF=F(x),x∈Rn，

(3)

式中：F為目標函數；Rn為多變量可行域。

1)當初始迭代步數k=0時，給定初始向量x0∈Rn，給定初始、結束的可信賴域半徑δc>δd>0，Δ1=δc。

2)構建初始區(qū)間的插值函數集{ym∶m=1,2,3,…,m}，同時給定m取值范圍。

y1=x0，

(4)

(5)

式中：el為多變量可行域內第l個坐標向量；al、bl為可行域變量的上、下限。

3)開始進行迭代運算，并記為k=k+1。

4)當收斂條件滿足Δk≤ρe時，優(yōu)化完成，如果未滿足，進行步驟5操作。

5)從插值函數集ym存在點xk有最小值，即：

F(xk)=min{F(ym)∶j=1,2,…,m}。

(6)

6)通過求解可信賴域的子問題以確定試探步長，

dk=minQk(xk+d),d∈Rn，

(7)

式中：dk為試探步長；Qk為二次近似公式。

7)構造新的插值點：

(8)

8)構造新的插值點范圍,然后構建新的二次近似公式及下一步迭代的可信賴區(qū)域半徑。

在毛細管電極二維模型基礎上，取內外徑底部端點C、B上下場強差值為目標函數，場強差值越小，毛細管電極的精度越高。毛細管電極底部場強差主要受幾何模型結構影響，內、外半徑是影響幾何模型的主要因素。表征內、外半徑的貝賽爾曲線比例因子K1、K2描述內外徑的彎曲程度，過大或過小會在優(yōu)化過程造成單元反轉或無法達成預期優(yōu)化效果。如式(10)，K1、K2被作為優(yōu)化變量，并給定優(yōu)化參數的取值范圍。優(yōu)化容差為0.001，最大迭代次數為1 000。

(9)

1.4 電泳光散射測量Zeta電位基本原理

1.4.1 顆粒電泳

在樣品兩端施加電壓，顆粒在電場力的作用下進行電泳運動。顆粒的電泳速度v和電場場強E呈線性正比。

(10)

式中：q為顆粒上的電荷數量；r為顆粒半徑，m；η為分散介質黏度，Pa·s。

1.4.2 電泳光散射法基本原理

激光器經過分束器分成2束激光，分別為入射光和參考光。入射光經過樣品池照射在進行電泳運動的顆粒表面，發(fā)生散射，由于光學多普勒效應，其散射光的頻率相對于入射光頻率有所偏移；散射光與參考光經過合數器拍頻，通過計算散射光信號與參考光信號之間的頻率差得到顆粒的電泳遷移率μ[11-12]。

將電泳遷移率帶入亨利方程，可以計算得到Zeta電位ζ結果，

(11)

式中：ε為絕對介電常數；f(ka)為亨利函數；ka為顆粒雙電層厚度和顆粒半徑的比值。

2 實驗

2.1 儀器設備

BeNano 90 Zeta電位儀、Zeta電位標準樣品(丹東百特儀器有限公司)，標稱Zeta電位為(-39±5) mV，主要成分為帶電的聚苯乙烯球分散在蒸餾水為主的配方溶液中。

2.2 方法

分別采用優(yōu)化設計前的U型毛細管電極和優(yōu)化設計后毛細管電極進行Zeta電位測試，實驗溫度為25 ℃，每個數據測量5次，取平均值。

為了驗證底部測試區(qū)域電場不均而引入的測量誤差，采用升降臺控制毛細管電極的高度，在毛細管電極底部測試區(qū)域沿縱向即圖1(b)中的CB方向，設定若干探測點進行測試，其中CB方向中點設為坐標原點，B點為-1 mm，C點為1 mm。

3 結果與討論

3.1 仿真優(yōu)化路徑

圖2所示為內、外徑比例因子K1、K2在管徑d為2 mm時的優(yōu)化迭代路徑。在15個迭代步驟之前，該優(yōu)化系統(tǒng)處于不斷波動狀態(tài)，K1、K2在不斷增長。之后隨著迭代次數增加逐漸趨于穩(wěn)定，最終在第28個步驟滿足優(yōu)化條件得到收斂。K1、K2的比例因子初始值為0.55，經優(yōu)化迭代后得到的最終值為1.30、1.39。圖2(b)描述了優(yōu)化目標值隨迭代次數的變化過程。測試區(qū)域場強差在前期不斷波動，執(zhí)行第5個迭代步驟后場強差在逐漸呈現(xiàn)趨勢性降低，最終穩(wěn)定在0.04 V/m，可見引入優(yōu)化算法可實現(xiàn)毛細管電極的快速優(yōu)化。

3.2 仿真優(yōu)化結果及電極選型

圖3所示為優(yōu)化前常用毛細管電極場強分布。由圖可知，優(yōu)化前常用毛細管電極的整體電場分布呈現(xiàn)兩側毛細管比較均勻的特點，底部靠近檢測區(qū)域電場分布不均，存在較大的場強梯度。毛細管底部靠近檢測點附近場強從內徑到外徑逐層遞減并成環(huán)狀分布，靠近內徑拐點處場強最大，沿CB方向場強逐漸減小，這是由于常用毛細管電極底部電場線發(fā)生折疊造成的。黃桂瓊等[13]提出將探測點位置選取在毛細管電極兩側，其目的是利用兩側較為均勻的電場形成的均勻電泳，從而得到穩(wěn)定的測試結果，但是在實際測量應用場景中，顆粒Zeta電位檢測范圍一般在2～110 μm。當所測顆粒粒徑較大，發(fā)生相對較強的沉降行為，當顆粒沉降運動與電泳運動相互作用時，此時探測點選取電極兩側將影響測試結果精度，因此常用毛細管電極探測點位置通常選取在底部。當顆粒所處區(qū)域電場越強，其在電場力作用下的電泳運動越強烈，均勻性較差的電場分布將增加檢測區(qū)域電泳的不確定性。這是電泳光散射測試中引發(fā)結果偏差的不利因素之一。

當內、外徑比例因子K1、K2為別為1.30、1.39時，基于BOBYQA算法優(yōu)化得到的毛細管電極電場分布如圖3(b)所示，此時場強極大點在底部兩端內徑尖角處出現(xiàn)，而測試區(qū)域場強整體分布較為均勻，但優(yōu)化得到的電極結構內外徑曲率變化較大，且底部距離毛細管電極外避較近，在外力作用下容易發(fā)生斷裂，基于電極當前加工技術及機械強度等綜合考慮，需對得到的電極結構進行優(yōu)化預處理，得到如圖3(c)所示的結構圖。其基本結構成錐形構造，底部場強極大值遠離檢測點位置，且底部距離毛細管電極距離較遠，強度加大。

圖3(d)所示為優(yōu)化前后毛細管底部測試區(qū)域沿CB方向場強分布。隨著探測位置向上移動，常用U型毛細管電極場強中心截線場強從底部的-1.0 mm位置的1 471 V/m增大到頂端1.0 mm位置的3 000 V/m，場強增幅超過100%，該位置存在較大場強梯度。

算法優(yōu)化后毛細管電極，截線場強從底部-1.0 mm位置的2 012.03 V/m增大到頂端1.0 mm位置2 012.3 V/m，場強變化率為0.01%。實際優(yōu)化后毛細管電極場強從底部-1.0 mm位置1 926 V/m增大到頂端1.0 mm位置的1 994 V/m，增幅僅為0.35%，電場不均勻度減小，表明優(yōu)化后的毛細管結構測試區(qū)域電場均勻性得到明顯的改善。

4 實驗驗證

為驗證顆粒電泳遷移率及Zeta電位對探測位置及場強的敏感性，進行了實際的樣品測試，優(yōu)化前、后毛細管電極所檢測的Zeta電位和電泳遷移率對于檢測點位置的依賴特性結果如圖4所示。圖4(a)所示為優(yōu)化前后毛細管電極顆粒電泳遷移率隨探測位置的變化情況。由圖可知，隨著檢測點位置從測試區(qū)域底部向上移動過程中，常用U型毛細管電極所測電泳遷移率結果變化明顯，在探測范圍為-0.7～0.9 mm，電泳遷移率從1.2 μm·cm/(V·s)增大到3.6 μm·cm/(V·s)，增大了200%。在使用實際優(yōu)化后毛細管電極檢測顆粒電泳遷移率時，隨著隨探測點向上移動，所檢測的顆粒電泳遷移率也呈上升趨勢，在探測范圍-0.9～0.9 mm內，電泳遷移率從2.92 μm·cm/(V·s)增大到3.21 μm·cm/(V·s)，增大了10%。優(yōu)化后的毛細管電極的電場遷移率沿BC方向變化遠小于優(yōu)化前的常用U型毛細管電極的。由于顆粒的電泳速度正比于電場強度，因此證實了仿真計算得到的優(yōu)化毛細管電極具有更加均勻的電場，極大地減小了檢測結果對于沿BC方向檢測點位置的依賴性。

顆粒表面Zeta電位可通過Herry方程計算得到。待測標樣顆粒帶負電，所測Zeta電位為負值，為便于討論，此處選取Zeta電位取絕對值作為目標值。圖4(b)所示為Zeta電位隨檢測點位置變化的測試結果。從圖中可看出，常用U型毛細管電極所測得的Zeta電位絕對值在探測范圍-0.7～0.9 mm內從16 mV增大到46 mV。考慮到標準樣品的電位絕對值分布在34～44 mV，其靠近內徑上壁和外徑下壁區(qū)域的Zeta電位測量值已明顯偏離了標準樣品的標稱區(qū)間，而優(yōu)化后毛細管探測范圍-0.9～0.9 mm內，顆粒Zeta電位絕對值從37.4 mV增大到41.5 mV，略有增加，但是測試結果均在標準樣品的標稱值范圍內。

通過實驗驗證，基于BOBYQA算法優(yōu)化后的新型毛細管電極的Zeta電位測試對探測位置的敏感度較低，該結構可有效優(yōu)化測試區(qū)域場強不均造成的測試偏差及解決制造工藝偏差帶來電極間差問題。

5 結論

1)基于有限元基本原理及BOBYQA算法可得到毛細管電極優(yōu)化后結構，該模型可為同類型毛細管優(yōu)化設計提供依據。

2)當管徑d=2 mm，K1=1.30，K2=1.39時，優(yōu)化后毛細管測試區(qū)域場強分布均勻度得到明顯改善，其場強變化從常用的U型設計的100%降為4%，利于對探測點的選取及納米顆粒表面Zeta電位測試。