裂紋故障對(duì)輪齒時(shí)變嚙合剛度的影響分析

孟 宗 李佳松 潘作舟 龐修身 崔玲麗 樊鳳杰

1.燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院，秦皇島，0660042.北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，100124

0 引言

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在工業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用范圍極為廣泛[1],與人類生產(chǎn)生活息息相關(guān)。齒輪作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械中改變轉(zhuǎn)速與傳遞扭矩的重要零部件之一，長期處于復(fù)雜、變化環(huán)境下，易產(chǎn)生磨損、裂紋、點(diǎn)蝕、剝落、斷齒等故障[2]。裂紋作為齒輪故障主要存在形式之一，產(chǎn)生的危害輕則影響設(shè)備正常工作，降低人類生產(chǎn)效益，重則威脅人類生產(chǎn)生活安全，甚至造成機(jī)毀人亡慘劇，因此，對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行故障檢測與健康監(jiān)測具有重要意義。齒輪振動(dòng)來源于系統(tǒng)內(nèi)部激勵(lì)與外部激勵(lì)，剛度激勵(lì)作為內(nèi)部激勵(lì)的主要來源，當(dāng)齒輪嚙合時(shí)，裂紋使齒輪時(shí)變嚙合剛度(time-varying mesh stiffness,TVMS)發(fā)生不規(guī)則變化，進(jìn)而引起齒輪異常振動(dòng)，產(chǎn)生較大噪聲，因此，準(zhǔn)確計(jì)算TVMS是構(gòu)建動(dòng)力學(xué)模型的關(guān)鍵所在。針對(duì)裂紋故障情況下的齒輪TVMS的計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析，國內(nèi)外學(xué)者做了許多研究。萬志國等[3]考慮齒根圓與基圓大小不重合現(xiàn)象，對(duì)TVMS算法進(jìn)行改進(jìn)，并與ISO標(biāo)準(zhǔn)比對(duì)，結(jié)果表明誤差在5%以內(nèi)。張振等[4]提出雙齒根裂紋模型，指出在兩輪齒裂紋深度之和相等的前提下，具有最大裂紋深度模型對(duì)TVMS劣化率有較大影響。YANG等[5]構(gòu)建了考慮齒廓間隙與軸承間隙的四自由度動(dòng)力學(xué)參數(shù)模型，研究了不同故障程度下齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，結(jié)果表明故障程度越高，系統(tǒng)龐加萊截面圖與相圖越混亂。李秀紅等[6]通過ABAQUS確定裂紋萌生位置，分析影響齒輪疲勞壽命的多種因素，最終選取合適齒頂修緣量與增大表面硬化方法來延長齒輪使用壽命。MA等[7]考慮了裂紋分別沿基體和輪齒拓展的兩種情況，并根據(jù)有限元法得出裂紋在相同深度情況下，對(duì)沿基體方向拓展的TVMS影響最大的結(jié)論。CHEN等[8]采用解析有限元法對(duì)復(fù)雜基體類型的TVMS進(jìn)行求解，結(jié)果表明與輪緣厚度相比，腹板厚度對(duì)TVMS的影響更大。吳家騰等[9]通過實(shí)驗(yàn)臺(tái)采集裂紋輪齒的齒根應(yīng)變，將其與有限元法計(jì)算得到的應(yīng)變代入反問題模型中，實(shí)現(xiàn)了對(duì)TVMS的反向求解。MENG等[10]采用兩種方法計(jì)算了在不同裂紋等級(jí)下振動(dòng)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，結(jié)果表明峭度指標(biāo)對(duì)早期故障特征較為敏感。雷敦財(cái)?shù)萚11]參照?qǐng)A柱直齒輪有限元模型構(gòu)建方法，得出面齒輪傳動(dòng)載荷分布不均勻、TVMS呈周期性正弦曲線變化的結(jié)論。

作為TVMS的兩種基本計(jì)算方法，有限元法與解析法各有利弊。有限元法是將齒輪模型離散為若干微小單元，并通過施加相應(yīng)載荷條件與邊界條件計(jì)算系統(tǒng)各部分發(fā)生的位移；解析法則是在MATLAB中構(gòu)建TVMS參數(shù)模型并輸入相應(yīng)齒輪參數(shù)進(jìn)行求解計(jì)算。相比有限元法，解析法求解速度較快但精度較差。因此，通過研究TVMS的變化規(guī)律并對(duì)模型算法進(jìn)行合理改進(jìn)，可以保證解析法運(yùn)算效率以及結(jié)果的準(zhǔn)確性。

本文首先修正了雙齒嚙合區(qū)TVMS計(jì)算公式，減小了計(jì)算誤差；其次，分析“死區(qū)”的產(chǎn)生原因，通過有限元法確定輪齒易發(fā)生斷裂的位置；構(gòu)建了分別沿裂紋深度與長度方向的拓展曲線，定量研究了不同裂紋深度及長度對(duì)TVMS的影響規(guī)律；最后討論了不同裂紋深度下的輪齒對(duì)承載能力的變化過程。

1 健康齒輪TVMS計(jì)算

齒輪在正常工況下工作時(shí)，輪齒接觸數(shù)量與嚙合位置發(fā)生周期性改變，并使TVMS呈現(xiàn)周期性(高-低-高)變化規(guī)律[12]。在單雙齒交替時(shí)刻，剛度發(fā)生突變產(chǎn)生嚙合沖擊并導(dǎo)致振動(dòng)幅值改變。因此，準(zhǔn)確評(píng)估TVMS有助于描述齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)，為動(dòng)力學(xué)參數(shù)模型的確立提供必要條件。

1.1 輪齒齒廓方程的確定

根據(jù)材料力學(xué)相關(guān)理論，將圓柱直齒輪輪齒簡化為固定在齒根圓上截面不斷變化的懸臂梁。輪齒齒廓共由三部分組成，如圖1所示，分別為齒頂圓圓弧(AB段)、漸開線齒廓(BC段)和基圓與齒根圓之間的過渡曲線(CD段)[13]，輪齒齒廓沿x軸對(duì)稱分布，在BC段上輪齒相互接觸并發(fā)生嚙合過程，BC段漸開線曲線公式為

x=Rb[sin(α2+α)+cosα]

(1)

hx1=Rb[cos(α2+α)-sinα]

(2)

圖1 健康輪齒懸臂梁Fig.1 Healthy tooth cantilever beam

過渡曲線雖未因接觸發(fā)生形變，但對(duì)分析輪齒彎曲形變有重要意義。近年來，諸多學(xué)者將過渡曲線簡化為一條直線[14]，但實(shí)際加工采用展成法切削方式，漸開線與過渡曲線分別由標(biāo)準(zhǔn)齒條的直線部分與齒頂圓弧部分切割而成，過渡曲線表達(dá)式為

(3)

(4)

(5)

式中，r為分度圓半徑；a1為齒頂圓弧圓心距中線距離；rρ為齒頂圓弧半徑；b1為齒頂圓弧圓心距齒條齒槽中心線的距離；γ為變參數(shù)，變化范圍為α0≤γ≤π/2；α0為分度圓壓力角。

1.2 改進(jìn)勢能法計(jì)算公式

TVMS作為表征振動(dòng)特性的一個(gè)重要指標(biāo)，具有重要研究價(jià)值。根據(jù)彈性力學(xué)相關(guān)理論，接觸齒對(duì)所具備的總勢能U包括輪齒具有的勢能Utooth與輪體具有的勢能Ubody，Utooth包括赫茲接觸勢能Uh、彎曲勢能Ub、剪切勢能Us、軸向壓縮勢能Ua。根據(jù)勢能與剛度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可推導(dǎo)出赫茲接觸剛度Kh、彎曲剛度Kb、剪切剛度Ks、軸向壓縮剛度Ka及基體剛度Kf。隨著齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)，嚙合點(diǎn)沿著發(fā)生線移動(dòng)，產(chǎn)生不同變形量，引起勢能與剛度改變，其中，總勢能及每部分剛度計(jì)算公式為

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

式中，F(xiàn)為嚙合力；E為彈性模量；L為齒輪寬度；μ為泊松比；d為嚙合點(diǎn)到齒根圓距離；h為嚙合點(diǎn)距輪齒中心線高度；G為剪切模量；hx1、hx2分別為距離齒根圓x處且分別位于漸開線與過渡曲線處的齒廓與x軸的距離；Ix、Ax分別為距離齒根圓x處的截面慣性矩與截面面積。

計(jì)算基體變形量時(shí)，假設(shè)輪齒是剛性的，而輪體為一個(gè)彈性圓環(huán)，當(dāng)齒對(duì)參與嚙合時(shí)，認(rèn)為輪齒不會(huì)因接觸而變形，但會(huì)導(dǎo)致齒輪體產(chǎn)生彈性形變，進(jìn)而引起輪齒發(fā)生形變。在雙齒嚙合區(qū)，當(dāng)同時(shí)有第i與第j對(duì)(i≠j)輪齒參與嚙合過程時(shí)，傳統(tǒng)方法僅考慮第i(j)對(duì)齒的嚙合力在輪體作用下對(duì)第i(j)對(duì)齒沿發(fā)生線的變形量，卻忽視第i(j)對(duì)齒的嚙合力對(duì)第j(i)對(duì)齒的變形量。因此，低估由輪體偏轉(zhuǎn)作用下引起的輪齒總變形量，從而高估雙齒嚙合區(qū)TVMS數(shù)值，這種不同齒對(duì)之間的變形量互相影響的現(xiàn)象稱為相鄰齒耦合效應(yīng)。MA等[15]通過有限元法確定修正系數(shù)并對(duì)雙齒嚙合區(qū)的基體剛度進(jìn)行修正。隨后XIE等[16]基于彈性圓環(huán)理論，假設(shè)在齒根圓處法向應(yīng)力呈三次分布、切向應(yīng)力呈拋物線分布，并對(duì)基體剛度進(jìn)行改進(jìn)。相鄰輪齒耦合效應(yīng)示意圖見圖2a，輪齒i與輪齒j在耦合效應(yīng)作用下的變形量計(jì)算公式分別為

(13)

(14)

其中，δij(i≠j)為考慮相鄰齒耦合效應(yīng)時(shí)，當(dāng)?shù)趈個(gè)輪齒在嚙合變形時(shí)對(duì)第i個(gè)輪齒沿發(fā)生線造成的變形量；Fi、ui、αi定義方式如圖2b所示，i表示輪齒編號(hào)。Ai～I(xiàn)i數(shù)值參考文獻(xiàn)[16]，參數(shù)Mi、Qi、Ti、Ui與Li、Pi、Ri、Si、Vi計(jì)算公式如下：

(15)

(16)

(a)相鄰齒耦合效應(yīng)示意圖(b)輪齒受力放大圖圖2 相鄰齒耦合效應(yīng)Fig.2 Coupling effect of adjacent teeth

在雙齒嚙合區(qū)，除了考慮由相鄰齒耦合效應(yīng)引起的齒形變外，仍需考慮嚙合齒對(duì)i(j)受輪體彈性形變作用產(chǎn)生的變形量的影響，在兩者共同影響下引起基體變形，總的基體變形量公式為

δf1=F1δ11+F2δ12

(17)

δf2=F1δ21+F2δ22

(18)

(19)

(20)

(21)

則單、雙齒嚙合區(qū)TVMS的計(jì)算公式分別為

(22)

(23)

其中，δf1、δf2為在不考慮齒接觸變形時(shí)，輪齒沿嚙合線的總變形量；δij(i=j)為當(dāng)?shù)趈個(gè)輪齒在嚙合變形時(shí)對(duì)第i個(gè)輪齒沿發(fā)生線造成的變形量；Lsr1、Lsr2為齒對(duì)負(fù)載分擔(dān)比。上標(biāo)和下標(biāo)p、g分別代表主、從動(dòng)輪，i代表接觸齒對(duì)的數(shù)量，采用表1所示的齒輪參數(shù)，將基于改進(jìn)勢能法的TVMS結(jié)果與其他方法進(jìn)行對(duì)比，如圖3所示。

圖3 不同方法TVMS對(duì)比Fig.3 TVMS Comparison of different methods

由圖3可以看出，文獻(xiàn)[17]與其他兩種方法相比，在單雙齒嚙合區(qū)TVMS均相差過大，這是由于該方法視齒輪體為剛性，只考慮輪齒的形變作用，而忽略了輪體變形量的影響，使得TVMS計(jì)算結(jié)果過大。文獻(xiàn)[18]為傳統(tǒng)勢能法，與改進(jìn)后勢能法相比結(jié)果相差不大，但在雙齒嚙合區(qū)未考慮由相鄰齒耦合效應(yīng)引起的輪齒變形量，使得整體變形量偏小，而在單齒嚙合區(qū)由于齒輪變形量擬合方程系數(shù)差異性引起結(jié)果不同。因此，改進(jìn)后勢能法與另外兩種方法相比，考慮范圍更為全面，能夠得到更準(zhǔn)確的齒輪變形量，獲得更精確的TVMS數(shù)值。

2 裂紋齒輪TVMS計(jì)算

TVMS異常變化是齒輪故障及外界工況變化等諸多因素共同作用的結(jié)果。當(dāng)旋轉(zhuǎn)機(jī)械長期在高強(qiáng)度的環(huán)境下工作時(shí)，在齒根附近會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象并生成微觀裂紋。隨著循環(huán)加載次數(shù)累積，形成宏觀裂紋并逐步傳播，從而導(dǎo)致TVMS隨之下降，使得振動(dòng)信號(hào)故障特征愈發(fā)明顯，因此由裂紋故障引起的危害是不容忽視的問題。本節(jié)考慮裂紋在不同時(shí)期拓展情況，構(gòu)建不同裂紋模型并分析不同裂紋深度與長度對(duì)TVMS的影響。

2.1 沿深度方向拓展裂紋模型的構(gòu)建及TVMS計(jì)算

與健康輪齒相比，裂紋導(dǎo)致輪齒截面面積A(x)及截面慣性矩I(x)減小，其原因?yàn)樵谳d荷作用下，這部分輪齒缺乏足夠機(jī)械強(qiáng)度，被稱為“死區(qū)”，表明該部分輪齒不但失去正常承載能力，而且會(huì)在彎曲應(yīng)力持續(xù)作用下拓展范圍越來越大，直至產(chǎn)生斷齒故障并導(dǎo)致輪齒對(duì)的承載能力完全喪失。根據(jù)第一強(qiáng)度理論，最大拉應(yīng)力為引起材料斷裂的最主要因素，以此為依據(jù)可確定裂紋萌生位置。文獻(xiàn)[19]指出裂紋萌生點(diǎn)位于漸開線齒廓上，結(jié)合文獻(xiàn)[20]的分析方法，在ANSYS Workbench靜力學(xué)模塊中，對(duì)單齒嚙合區(qū)一點(diǎn)施加500 N的載荷，并約束輪孔表面的6個(gè)自由度，主應(yīng)力分析結(jié)果如圖4所示。結(jié)果表明齒輪最大拉應(yīng)力點(diǎn)位于過渡曲線處(圖4中紅色區(qū)域)，而不是在漸開線齒廓上，因此，可確定裂紋萌生點(diǎn)多發(fā)生在過渡曲線附近[20]。

圖4 最大主應(yīng)力分析結(jié)果Fig.4 Analysis results of maximum principal stress

在裂紋拓展相關(guān)研究中，多數(shù)情況將裂紋簡化為對(duì)稱直線，但由于裂紋拓展到輪齒對(duì)稱線時(shí)，拓展速度加快、斜率更大，故將下半部分裂紋形狀修正為斜率更大的圓弧。如圖5所示，q1為未穿過x軸裂紋深度，此時(shí)裂紋尖端位于E點(diǎn)；隨著故障程度加劇，裂紋深度到達(dá)x軸(G點(diǎn))并穿過x軸到達(dá)H點(diǎn)處，將穿過x軸裂紋深度記為q2，這兩部分深度之和記為總裂紋深度q。本文中，裂紋拓展角度取常數(shù)θ=80°，研究裂紋是否穿過x軸兩種情形，A(x)與I(x)計(jì)算公式如下。

圖5 裂紋輪齒懸臂梁Fig.5 Crack tooth cantilever beam

情形1：當(dāng)裂紋深度在x軸上方，如圖5中E點(diǎn)所示，即裂紋總深度q≤q1max且q≥0時(shí)，有

(24)

(25)

hc=q1/sinθ

(26)

情形2：當(dāng)裂紋深度在x軸下方，如圖5中H點(diǎn)所示，即裂紋總深度q=q1max+q2>q1max時(shí)，有

A(x)=

(27)

I(x)=

(28)

(29)

(30)

由式(24)～式(30)可知，在由齒根圓向齒頂圓嚙合過程中，情形1與情形2均會(huì)導(dǎo)致A(x)與I(x)減小。為更直觀地分析輪齒在不同裂紋深度下TVMS的變化規(guī)律，將裂紋深度取整，數(shù)值分別為0、1 mm、2 mm、3mm，且每種深度都有相應(yīng)故障程度并對(duì)應(yīng)表2，TVMS變化結(jié)果如圖6所示。

表2 裂紋深度參數(shù)

由圖6看出，裂紋使單雙齒嚙合區(qū)TVMS結(jié)果發(fā)生改變，當(dāng)裂紋深度較小時(shí)，TVMS減小但變化不明顯，且隨著深度增加降幅逐漸變大。在第一個(gè)雙齒嚙合區(qū)比第二個(gè)雙齒嚙合區(qū)降幅要小，這是由于在初始嚙合階段健康齒對(duì)起主導(dǎo)作用。同時(shí)，負(fù)載分擔(dān)比作為衡量齒對(duì)承載能力變化的一個(gè)重要指標(biāo)，能夠更加直觀地描述齒對(duì)在不同故障程度下承載能力的變化規(guī)律及輪齒損傷程度的變化過程。負(fù)載分擔(dān)比的變化如圖7所示。

圖6 不同裂紋深度TVMS變化Fig.6 TVMS changes with different crack depths

圖7 不同裂紋深度下負(fù)載分擔(dān)比Fig.7 Load sharing ratio for different crack depths

由圖7看出，在不同裂紋深度下，裂紋齒對(duì)的負(fù)載分擔(dān)比不同，并對(duì)第二個(gè)雙齒嚙合區(qū)結(jié)果影響較大。在單齒嚙合區(qū)負(fù)載分擔(dān)比為1，因?yàn)榇藭r(shí)只有裂紋齒對(duì)參與嚙合；隨著裂紋深度的增加，雙齒嚙合區(qū)負(fù)載分擔(dān)比逐漸降低且變化幅度增大，而造成這一現(xiàn)象的原因?yàn)檩嘄X“死區(qū)”范圍拓展速度加快，使得裂紋齒對(duì)承載能力下降，直接印證了裂紋會(huì)縮短齒輪使用壽命并且降低齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)質(zhì)量這一觀點(diǎn)。

2.2 沿長度方向拓展裂紋模型的構(gòu)建及TVMS計(jì)算

裂紋在中早期拓展時(shí)，并不是等深度且完全貫穿的[5]，會(huì)在過渡曲線附近同時(shí)沿深度與長度方向拓展，直至完全貫穿整個(gè)齒寬。因此，本文針對(duì)這一現(xiàn)象，將中早期裂紋模型簡化為沿齒寬方向不等深度分布的裂紋模型，如圖8a所示，qs與qe分別為始端與尾端裂紋深度。沿齒寬方向?qū)⑤嘄X分割成無數(shù)小薄片，任取一小薄片如圖8b所示，當(dāng)該小薄片厚度很小時(shí)，裂紋深度是確定的，但小薄片間裂紋深度不斷變化且都沿固定角度θ拓展。每一小薄片記為Δx，其厚度與剛度分別為ΔL、Kpiece，健康與故障輪齒所具有的剛度Kthealth與Ktcrack記為

(31)

(32)

(33)

N=L/ΔL

(34)

當(dāng)只有裂紋齒對(duì)參與嚙合過程時(shí)，時(shí)變嚙合剛度K記為

(35)

式中，Ka(x)、Kb(x)、Ks(x)與ΔKa(x)、ΔKb(x)、ΔKs(x)分別為整個(gè)健康輪齒與裂紋輪齒任一小薄片的軸向壓縮剛度、彎曲剛度與剪切剛度；N為被分割后裂紋輪齒小薄片份數(shù)，求解時(shí)需同時(shí)保證結(jié)果精確性與運(yùn)算速度，取N=60。

(a)非均勻分布裂紋懸臂梁模型 (b)切割后裂紋輪齒小薄片圖8 非均勻分布裂紋模型Fig.8 Non-uniform distribution crack model

當(dāng)裂紋沿齒寬方向投影長度小于齒寬時(shí)，稱為非貫穿型裂紋，反之稱為貫穿型裂紋，需同時(shí)討論這兩種情形下沿齒寬方向的裂紋深度分布情況，如圖8a與圖9所示。在裂紋深度(A-A)截面上，建立以初始裂紋萌生點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC與OB方向分別為X軸與Y軸的平面直角坐標(biāo)系，將裂紋深度分布曲線按照拋物線處理，沿長度方向拓展的解析方程計(jì)算公式如下。

(1)貫穿型裂紋模型：

(36)

圖9 非均勻分布裂紋軌跡Fig.9 Non-uniform distribution crack trajectories

(2)非完全貫穿型裂紋模型：

(37)

在本文中，研究在中度故障程度前提下，分析貫穿型與非貫穿型裂紋對(duì)TVMS的變化規(guī)律，裂紋參數(shù)與其對(duì)應(yīng)的結(jié)果分別見表3與圖10。

表3 非均勻分布模型裂紋參數(shù)

圖10 不同裂紋長度TVMS變化Fig.10 TVMS changes with different crack lengths

由圖10可知，在初始裂紋深度相同前提下，由不同裂紋尾端深度與裂紋投影長度引起的TVMS不同，且TVMS會(huì)隨著兩者的增加而減小。對(duì)比圖10結(jié)果與圖6裂紋深度結(jié)果可知，由裂紋長度與尾端深度引起的TVMS變化并不明顯；并且對(duì)比裂紋深度和裂紋長度對(duì)TVMS影響可知，裂紋深度對(duì)TVMS影響更大，說明當(dāng)故障發(fā)生在中早期時(shí)，由故障產(chǎn)生的剛度激勵(lì)變化并不明顯，導(dǎo)致由輪齒故障引起的動(dòng)態(tài)行為不易被監(jiān)測。

3 有限元結(jié)果驗(yàn)證

3.1 齒輪模型建立及網(wǎng)格劃分

以表1參數(shù)為基準(zhǔn)，在SolidWorks中構(gòu)建不同故障程度的圓柱直齒輪裝配模型，相應(yīng)故障程度的輪齒部位放大圖見圖11，模型保存為x_t文件并通過SolidWorks與Workbench接口將齒輪模型導(dǎo)入Workbench瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)模塊中，模型被分割成輪齒與輪體兩部分，對(duì)三對(duì)嚙合輪齒的網(wǎng)格進(jìn)行加密，如圖12所示。主動(dòng)輪和從動(dòng)輪只具備自身對(duì)地的旋轉(zhuǎn)自由度[21]，旋轉(zhuǎn)副采用MPC184單元，接觸區(qū)采用CONTA174單元和TARGE170單元，齒輪副為四面體與六面體混合網(wǎng)格，即輪體與輪齒網(wǎng)格分別為六面體與四面體。由于輪齒的故障程度不同，采用四面體網(wǎng)格能夠適應(yīng)裂紋復(fù)雜形貌，使其求解時(shí)具備更好的適應(yīng)性，此外假定材料為線彈性材料，其余網(wǎng)格設(shè)置不變。

(a)q=0 (b)q=1 mm

(c)q=2 mm (d)q=3 mm圖11 嚙合輪齒放大圖Fig.11 Enlargement of meshing gear teeth

圖12 有限元齒輪網(wǎng)格Fig.12 Finite element gear mesh

3.2 有限元法TVMS的求解

為更準(zhǔn)確地分析齒輪副動(dòng)態(tài)行為，并對(duì)2.1節(jié)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，在接觸設(shè)置中，選擇互相接觸的上下表面分別為接觸面與目標(biāo)面，建立圖13所示的無摩擦力兩自由度齒輪副動(dòng)力學(xué)參數(shù)模型[22]，并將齒輪副簡化為帶有質(zhì)量的質(zhì)心與形心重合的兩個(gè)圓盤。求解前，需將齒輪模型旋轉(zhuǎn)并使第二對(duì)輪齒恰好在初始嚙合位置上。求解結(jié)束后，提取對(duì)應(yīng)時(shí)刻主從動(dòng)輪輪孔相對(duì)旋轉(zhuǎn)角，分別記為θp(t)與θg(t)，由動(dòng)力學(xué)方程可得

(38)

(39)

x(t)=rpbθp(t)-rgbθg(t)-e

(40)

式中，Jp、Jg分別為主、從動(dòng)輪慣性矩；Tp、Tg分別為驅(qū)動(dòng)力矩與負(fù)載力矩；rpb、rgb分別為主、從動(dòng)輪基圓半徑；C(t)、Kt分別為嚙合阻尼與嚙合剛度；x(t)為輪齒沿嚙合線的變形量；2e為齒輪總間隙。

當(dāng)齒輪副旋轉(zhuǎn)速度較慢時(shí)，由齒輪副轉(zhuǎn)動(dòng)引起的慣性效應(yīng)及嚙合阻尼很小[21]，可剔除式(38)、式(39)與轉(zhuǎn)角相關(guān)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，簡化后的嚙合剛度Kt為

(41)

圖13 兩自由度動(dòng)力學(xué)參數(shù)模型Fig.13 2-DOF dynamic parameter model

在前處理階段，需設(shè)置如齒輪轉(zhuǎn)速與扭矩等相關(guān)邊界條件，本文以第二對(duì)輪齒開始嚙合到退出嚙合的整過程為研究對(duì)象，同時(shí)結(jié)合分析前后兩組齒對(duì)結(jié)果的影響，如圖14紅色虛線框所示，規(guī)定第二對(duì)齒開始進(jìn)入嚙合(i=1)時(shí)角位移為0，單雙齒區(qū)角位移范圍計(jì)算公式如下：

(42)

(43)

θt=2π(Cr-1)/Z1

(44)

(45)

式中，θs、θd分別為主動(dòng)輪位于單齒嚙合區(qū)與雙齒嚙合區(qū)輪齒角位移范圍；θt為雙齒嚙合區(qū)角位移；Z1為主動(dòng)輪齒數(shù)；Cr為重合度；rai、rbi、ri(i=1, 2)分別為主從動(dòng)輪齒頂圓、基圓、分度圓半徑；α為分度圓壓力角。

經(jīng)式(42)～式(45)計(jì)算，確定主動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)角度為0.51 rad，轉(zhuǎn)速為0.51 rad/s，從動(dòng)輪扭矩為200 N·m，求解時(shí)間為1 s，共分為50子步，即針對(duì)四種不同的裂紋深度情況，在0～1 s內(nèi)每隔0.02 s分別采集主、從動(dòng)輪的輪孔相對(duì)旋轉(zhuǎn)角。在后處理階段，將得到的輪孔相對(duì)旋轉(zhuǎn)角導(dǎo)入MATLAB中并根據(jù)式(41)計(jì)算嚙合剛度Kt，結(jié)果如圖15所示。

圖14 輪齒角位移變化Fig.14 Change of tooth angle displacement

圖15 有限元分析結(jié)果Fig.15 Finite element analysis results

由圖15可知，TVMS隨裂紋深度增加而降低，且裂紋對(duì)單雙齒嚙合區(qū)均有影響，并對(duì)第二個(gè)雙齒嚙合區(qū)結(jié)果影響較大，這與改進(jìn)的勢能法所得結(jié)論一致；當(dāng)裂紋深度達(dá)3 mm時(shí)，TVMS降幅變大，由于裂紋深度超過輪齒中心線，輪齒上半部分完全失去承載能力。值得注意的是，此時(shí)有限元結(jié)果存在一個(gè)“轉(zhuǎn)接區(qū)”，因?yàn)樵趪Ш蠒r(shí)輪齒處于單雙齒嚙合交替的過渡階段，使得齒輪總變形量位于單齒變形量與雙齒變形量之間，能夠更準(zhǔn)確地描述齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)過程。

為研究有限元法與改進(jìn)勢能法結(jié)果的差異性，將兩者的平均TVMS進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果見表4。當(dāng)裂紋深度分別為0、1 mm、2 mm、3 mm時(shí)，與有限元法所得結(jié)果的相對(duì)誤差分別為5.9%、5.0%、2.6%、3.5%，結(jié)果在可接受誤差范圍內(nèi)，為齒輪動(dòng)力學(xué)模型的確立提供了一定參考。

表4 勢能法與有限元法對(duì)比結(jié)果

4 結(jié)論

(1)本文將輪齒簡化為固定在齒根圓變截面的懸臂梁，研究了由齒頂圓弧、漸開線齒廓及過渡曲線構(gòu)成的完整齒廓曲線。針對(duì)傳統(tǒng)勢能法的局限性，分析了雙齒嚙合區(qū)相鄰齒耦合效應(yīng)對(duì)TVMS的影響，將所得結(jié)果與另外兩種傳統(tǒng)算法進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明傳統(tǒng)方法低估了輪齒總變形量，改進(jìn)勢能法能夠?qū)崿F(xiàn)雙齒區(qū)TVMS的降低。

(2)明確了“死區(qū)”出現(xiàn)的原因及危害性，探索了最大拉應(yīng)力點(diǎn)(材料失效部位)出現(xiàn)的位置。研究了裂紋對(duì)截面面積及慣性矩的影響并推導(dǎo)了相應(yīng)的計(jì)算公式，提出了一種沿深度方向拓展的裂紋路徑，分析了不同深度下的TVMS及負(fù)載分擔(dān)比的變化規(guī)律。研究了中早期故障程度下裂紋同時(shí)沿深度和長度方向拓展的情況，構(gòu)建了一種非均勻分布裂紋模型并提出相應(yīng)的TVMS計(jì)算方法，結(jié)果表明TVMS對(duì)裂紋深度較為敏感，而對(duì)裂紋長度的敏感性較差。

(3)構(gòu)建了兩自由度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)模型，在ANSYS Workbench瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)模塊提取主從動(dòng)輪輪孔相對(duì)旋轉(zhuǎn)角，并求得TVMS大小。結(jié)果表明有限元法與勢能法結(jié)果較為吻合，誤差均在6%的范圍內(nèi)。

本文僅考慮了裂紋對(duì)TVMS的影響規(guī)律，下一步研究由裂紋故障引起的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)并分析相應(yīng)的故障特征，進(jìn)而討論多種評(píng)價(jià)指標(biāo)(時(shí)域、頻域)的變化趨勢，從而實(shí)現(xiàn)裂紋故障早期故障診斷的目的。