凸函數(shù)的一個性質及其幾何應用

鞠振曉，李艷丹，郭洪欣

(溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035)

凸函數(shù)的一個性質及其幾何應用

鞠振曉，李艷丹，郭洪欣

(溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035)

首先證明了凸函數(shù)的一個簡單性質：次線性增長的單調增凸函數(shù)必然是常數(shù)，然后討論了具有非負Ricci曲率的黎曼流形上熱方程解的Boltzmann-Shannon熵，證明了它是單調增的凸函數(shù)，并由此給出古典解是常數(shù)的等價刻畫，最后通過例子，說明了至少在非緊情形下，所給出的刻畫是最優(yōu)的．關鍵詞：凸函數(shù)；次線性增長；Boltzmann-Shannon熵；古典解

1 實數(shù)集上凸函數(shù)的一個性質

凸函數(shù)是一類應用非常廣泛的函數(shù)，其中一個重要的應用是證明不等式．稱f（ t）是區(qū)間I上的凸函數(shù)是指，對任意的a, b∈I, λ∈（0,1）都有f（λa+（1-λ）b）≤λf（ a）+（1-λ）f（ b）．

如果f（ t）在I上是一階可導的，則f（ t）是凸函數(shù)，等價于f′（t）是I上的增函數(shù)；如果f（ t）在I上二階可導，則f（ t）是凸函數(shù)，等價于f′′（t）≥0．這些內容在經典的《數(shù)學分析》課程都有講述，見文獻[1]．本文將考查單調增函數(shù)的一個簡單性質，并用它來刻畫具有非負Ricci曲率的黎曼流形上熱方程的古典解．下面先給出次線性增長的定義．

在［a, b］中利用Lagrange中值定理，?ξ∈（t, 2t ），使0≤f′（ξ）＜ε．

由于f（ t）在（a,+∞）為凸函數(shù)，所以f′（t）是單調遞增的，對?s∈（a, T）都有f′（s）≤f′（ξ）＜ε，即0≤f′（s）＜ε．由ε的任意性，可知在（a, T）上f′（s）≡0．令T→+∞，f（ t）在（a,+∞）上是常數(shù)，從而命題得證．

2 流形上熱方程解的熵

文獻[2,3]研究了上述熵．下面分緊致和非緊情形進行討論．在緊致流形上，由于任何連續(xù)函數(shù)都是有界，從而可積，而且緊致流形邊界是空集，可以自由地進行分部積分，情況要簡單些．在非緊情形下，可以通過引入一個密度函數(shù)來定義熵．

2.1 緊致流形

引理1 N的一階和二階導數(shù)分別為：

證明：本證明是直接的計算，主要的技巧是分部積分．

定理2 設（M, g）具有非負的Ricci曲率，則u是常數(shù)的充要條件N（-t ）次線性增長．

證明：與下面定理3的證明完全相同，這里略去這個定理的證明，將證明下面的定理．

2.2 非緊流形

證明：詳細的證明見參考文獻[3]．

定理3 設（M, g）具有非負Ricci曲率，u（ x, t）為熱方程的非負古典解，則u是常數(shù)的充要條件為它的熵N是次線性增長的．

證明：必要性是顯然的．下證充分性．由引理1，N是單調增的凸函數(shù)，而且是次線性增長，由定理1，N是常數(shù)，它的導數(shù)是0，所以▽u=0，從而u只能是常數(shù)．

下面這個例子說明，確實有非平凡的古典解，它的熵是線性增長的．

上面例子說明，在高維空間中也確實有非平凡的古典解，它的熵是線性增長的．

[1] 華東師范大學數(shù)學系編. 數(shù)學分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2008: 148-154.

[2] Lim P C, Luo D J. Asymptotic estimates on the time derivative of entropy on a Riemannian manifold [J]. Advances in Geometry, 2013, 13(1): 97-115.

[3] Guo H X, Philipowski R, Thalmaier A. An entropy formula for the-dependent metric, application to ancient solutions [EB/OL]. [2013-02-02]. http://arxiv.org/abs/1305.0463.

A Property of Convex Function and Its Geometric Applications

JU Zhenxiao, LI Yandan, GUO Hongxin
(College of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

This paper firstly demonstrates that any increasing convex function with sub-linear growth must be a constant by means of a simple property of convex functions. Then we study the Boltzmann-Shannon entropy of positive solutions to the heat equation on Riemannian manifolds with nonnegative Ricci curvature, and prove that this entropy belongs to a monotone ncreasing convex function, and thereout turns out the fundamental solutions to be an invariable equivalent characterization. In the end, it is illustrated via examples that such an invariable equivalent characterization is optimal at least under the noncompact manifold situation.

Convex Function; Sub-linear Growth; Boltzmann-Shannon Entropy; Fundamental Solution

O186.1

A

1674-3563(2015)01-0006-05

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.01.002 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2014-04-09

國家自然科學基金(11001203)；浙江省自然科學基金(LY13A010009)

鞠振曉(1977- )，男，河南鄧州人，碩士研究生，研究方向：微分幾何