基于貝葉斯優(yōu)化彈性網(wǎng)絡(luò)回歸的諧波狀態(tài)估計方法

馬思棋，王忠

(四川大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 610065)

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)和生產(chǎn)力的飛速發(fā)展，越來越多的新能源、電力電子設(shè)備等非線性負(fù)荷接入電網(wǎng)中，使得電力系統(tǒng)的諧波污染日益嚴(yán)重。要治理諧波污染，管理諧波發(fā)射水平，必須建立起一套合理的諧波“獎懲”方案，即正確地對公共連接點(diǎn)(point of common coupling，PCC)兩側(cè)的諧波責(zé)任進(jìn)行劃分，這依賴于精準(zhǔn)的諧波狀態(tài)估計[1-4]。

目前，諧波狀態(tài)估計的方法主要分為2類：干預(yù)法和非干預(yù)法。干預(yù)法向電網(wǎng)中注入諧波電流常導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)，因此工程上主要采用非干預(yù)法估計電網(wǎng)的諧波狀態(tài)。非干預(yù)法通過分析PCC處的諧波電壓、諧波電流數(shù)據(jù)，劃分系統(tǒng)側(cè)和用戶側(cè)的諧波責(zé)任。常見的非干預(yù)法包括回歸類算法[5-11]、獨(dú)立隨機(jī)矢量協(xié)方差法[12]、有效數(shù)據(jù)段選取法[13]、獨(dú)立分量分析法[14]等，其中回歸類算法的應(yīng)用最為廣泛[15]。然而，文獻(xiàn)[5-6]提出的最小二乘回歸法易受異常值的影響，為此，基于Huber權(quán)值函數(shù)[9]和IGG（Institute of Geodesy and Geophysics）權(quán)重函數(shù)[10]的穩(wěn)健回歸算法以及加權(quán)支持向量機(jī)回歸[11]等算法被相繼提出，這些方法均通過賦予異常點(diǎn)較小的權(quán)重，提高估計結(jié)果的穩(wěn)健性。

實(shí)際工程中，通常無法明確主諧波源的位置及數(shù)量，量測裝置檢測的嫌疑區(qū)域中各節(jié)點(diǎn)并非都是主諧波源[15]；嫌疑區(qū)域內(nèi)非諧波源節(jié)點(diǎn)的諧波電流是由諧波源節(jié)點(diǎn)引起的，因此在這2種節(jié)點(diǎn)處所測得的諧波電流可能具有較高相關(guān)性，由其導(dǎo)致的矩陣病態(tài)問題使得傳統(tǒng)回歸法在矩陣求逆過程中對微小擾動十分敏感；同時，傳統(tǒng)回歸算法易將嫌疑區(qū)域內(nèi)的非諧波源節(jié)點(diǎn)視作諧波源處理，所以該法對諧波責(zé)任的劃分往往失準(zhǔn)。文獻(xiàn)[7]提出了利用嶺回歸(ridge regression)算法解決矩陣的多重共線性問題，但受限于嶺回歸自身特性，該方法無法舍棄無關(guān)特征，即無法排除非諧波源的影響。本文提出以彈性網(wǎng)絡(luò)回歸(elastic network regression)為諧波狀態(tài)估計的模型，該方法除了能規(guī)避矩陣病態(tài)問題，還可以有效排除非諧波源的影響，選擇真正諧波源進(jìn)行諧波責(zé)任劃分。為高效確定彈性網(wǎng)絡(luò)回歸的2個重要參數(shù)，采用貝葉斯定理(Bayes' theorem)和高斯過程(Gaussian process)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，進(jìn)一步保證了模型的魯棒性。

1 諧波狀態(tài)估計理論基礎(chǔ)

以如圖1所示的具有3個諧波源A、B、C的電力系統(tǒng)為例，諧波量測裝置安裝于關(guān)注母線(節(jié)點(diǎn))X和嫌疑區(qū)域內(nèi)各母線處。將嫌疑區(qū)域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)稱為嫌疑點(diǎn)，可以看出，嫌疑點(diǎn)既包含諧波源，也包含非諧波源；將未安裝諧波測量裝置的諧波源節(jié)點(diǎn)發(fā)射的諧波電流均視作背景諧波。

圖1 多諧波源系統(tǒng)Fig. 1 Multi-harmonic source system

經(jīng)過n次量測采樣后，關(guān)注母線X的h次諧波電壓和嫌疑區(qū)域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)量測得到的h次諧波電流及背景諧波的關(guān)系為

式中：UhX為關(guān)注節(jié)點(diǎn)X的h次諧波電壓量測值。以節(jié)點(diǎn)A為例：IhA為諧波源A處的諧波電流；ZhA為諧波源A到關(guān)注節(jié)點(diǎn)X的轉(zhuǎn)移阻抗，可以理解為“權(quán)重”，為難以直接測得的待估計量；Uh0為背景諧波電壓； ε為隨機(jī)誤差。

需要指出，非諧波源D處的諧波電流對關(guān)注節(jié)點(diǎn)X的諧波電壓沒有貢獻(xiàn)，也無轉(zhuǎn)移阻抗可言，但在劃分諧波責(zé)任前，該處是否為諧波源是未知的，同時為方便表示，仍將其與諧波源A、B、C按同樣形式寫入式（1）。為簡化式（1），令

故式（1）可簡寫為

2 諧波狀態(tài)估計模型

2.1 線性回歸和最小二乘法

2.2 2范數(shù)和嶺回歸

觀察式（7）可以發(fā)現(xiàn)，如果法矩陣XTX為奇異矩陣，或者具有多重共線性，即其中某兩行元素具有高度的相關(guān)性，法矩陣會具有奇異性。在這種情況下，法矩陣的逆矩陣會趨近于無窮，致使最小二乘法無法正常應(yīng)用。為解決這個問題，文獻(xiàn)[6]提出了基于嶺回歸的諧波狀態(tài)估計。嶺回歸在式（5）中加上λ倍的2范數(shù)作為正則項(xiàng)，其目標(biāo)函數(shù)為

式中：λ為2范數(shù)權(quán)重系數(shù)。

這種情況下的最優(yōu)估計參數(shù)?為

式中：E為單位矩陣。

由式（9）可以看出，由于2范數(shù)的加入，矩陣XTX+λE會達(dá)到滿秩。其中，λ越大，回歸模型越不容易受到多重共線性的影響；但λ過大會因矯正過重而出現(xiàn)欠擬合，故需找到其最優(yōu)值。

3 貝葉斯優(yōu)化的彈性網(wǎng)絡(luò)回歸

3.1 彈性網(wǎng)絡(luò)回歸

電力系統(tǒng)中的諧波源呈現(xiàn)稀疏性[17-18]，為了可以較好地處理稀疏模型，排除非諧波源節(jié)點(diǎn)，同時保證估計的穩(wěn)定性，本文提出基于彈性網(wǎng)絡(luò)回歸的諧波狀態(tài)估計方法，同時采用1范數(shù)和2范數(shù)作為回歸方程的正則項(xiàng)。

作為正則項(xiàng)，1范數(shù)和2范數(shù)有極大區(qū)別。相比2范數(shù)，1范數(shù)可以產(chǎn)生稀疏性[19]，可以使w中某些項(xiàng)為0，即其具備特征篩選能力，可排除對關(guān)注節(jié)點(diǎn)X沒有諧波貢獻(xiàn)的非諧波源節(jié)點(diǎn)。然而，也正是由于易產(chǎn)生稀疏性，1范數(shù)往往僅保留貢獻(xiàn)較大的諧波源節(jié)點(diǎn)，某些貢獻(xiàn)較小但仍屬于諧波源的節(jié)點(diǎn)會被錯誤地當(dāng)作非諧波源節(jié)點(diǎn)去除，故其難以全面地反映所有諧波源對關(guān)注節(jié)點(diǎn)的諧波貢獻(xiàn)；然而，若以2范數(shù)作為正則項(xiàng)，那么將保留包含非諧波源在內(nèi)的所有處于嫌疑區(qū)域的節(jié)點(diǎn)，導(dǎo)致諧波責(zé)任劃分失準(zhǔn)。

3.2 參數(shù)選擇

3.2.1 性能評估

3.2.2 貝葉斯優(yōu)化和高斯過程

α和λ的組合理論上有無窮多種，參數(shù)λ的選取常使用嶺跡圖，通過直接觀察嶺跡圖確定參數(shù)。然而，嶺跡圖中往往存在僅靠觀察難以解釋的細(xì)節(jié)，得出的結(jié)論具有一定的主觀性。為了實(shí)現(xiàn)高效地尋找最優(yōu)參數(shù)組合γ，本文采用貝葉斯優(yōu)化調(diào)參，利用已有的先驗(yàn)信息尋求使目標(biāo)函數(shù)ρ(γ)達(dá)到全局最優(yōu)的參數(shù)γ。

基于貝葉斯優(yōu)化的彈性網(wǎng)絡(luò)回歸步驟可總結(jié)為：（1）隨機(jī)生成t組參數(shù)，通過彈性網(wǎng)絡(luò)回歸得到t組性能值ρ=(ρ1,ρ2, ···,ρt)；（2）通過高斯過程回歸和貝葉斯定理得到ρ的概率分布；（3）根據(jù)UCB采集函數(shù)，權(quán)衡探索和開發(fā)，選出下一次最可能最大化采集函數(shù)的參數(shù)γt+1，將γt+1加入已知參數(shù)γt+1的集合，重復(fù)步驟（2）以更新ρ的概率分布，直至得到理想的參數(shù)組合γoptimal。繪制流程如圖2所示。

圖2 貝葉斯優(yōu)化彈性網(wǎng)絡(luò)回歸流程Fig. 2 Flowchart of elastic network regression based on Bayesian optimization

4 算例測試

為驗(yàn)證本文所提方法的有效性，采用IEEE 14節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)進(jìn)行測試，系統(tǒng)模型如圖3所示。該測試系統(tǒng)由2臺發(fā)電機(jī)組(G)、3臺同步調(diào)相機(jī)(C)、14條母線和3臺變壓器組成，系統(tǒng)處于正常工作狀態(tài)，輸入、輸出功率維持基本平衡。包含3個主諧波源節(jié)點(diǎn)1、10、13，記作A、B、C，向其中注入5次諧波電流，并附加20%的隨機(jī)噪聲；嫌疑區(qū)域內(nèi)的3個非諧波源節(jié)點(diǎn)2、7、9，記作D、E、F。A—F處的5次諧波電流曲線以及關(guān)注節(jié)點(diǎn)4的5次諧波電壓曲線如圖4所示，共包含500個取樣點(diǎn)。

圖3 IEEE 14節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)Fig. 3 IEEE 14-bus standard test system

圖4 各嫌疑節(jié)點(diǎn)和關(guān)注節(jié)點(diǎn)的5次諧波測量數(shù)據(jù)Fig. 4 The 5th harmonic measurement data of each suspected node and concerned node

本次測試使用5折交叉驗(yàn)證，即以400個采樣點(diǎn)作為回歸模型的訓(xùn)練集，剩余100個點(diǎn)為回歸模型的測試集，每次測試需要交叉驗(yàn)證5次得到性能ρ。圖5列出了各嫌疑點(diǎn)諧波電流間的相關(guān)系數(shù)。圖6為第1、5、10輪貝葉斯優(yōu)化調(diào)參過程。表1記錄了4種方法回歸得到的諧波電壓估計值的均方誤差及可決系數(shù)：（1）普通最小二乘回歸，（2）基于Huber權(quán)值函數(shù)的穩(wěn)健回歸，（3）嶺回歸，（4）本文方法。表2記錄了4種方法計算的各節(jié)點(diǎn)的權(quán)重，即w的模值。

圖5 嫌疑點(diǎn)之間的相關(guān)系數(shù)Fig. 5 Correlation coefficient between suspected buses

圖6 貝葉斯優(yōu)化過程Fig. 6 Bayesian optimization

根據(jù)圖5，A和D、B和F處的諧波電流的相關(guān)系數(shù)分別達(dá)到0.81和0.74，具有高度相關(guān)性，由其造成的病態(tài)問題較為嚴(yán)重且不容忽視。

表1 4種方法對比Table 1 Comparison of four methods

表2 4種方法得到的節(jié)點(diǎn)權(quán)重Table 2 Bus weights obtained by four methods

為驗(yàn)證貝葉斯優(yōu)化調(diào)參的有效性，以0.02為步長計算了50組γ及對應(yīng)的性能值ρ(γ)，并將其繪制于圖6中。首先，初始化3組參數(shù)組合γ1=(0,0.1)，γ2=(0.4, 0.6)，γ3=(0.8, 0.2)，作為貝葉斯優(yōu)化過程的初始值。計算每一輪貝葉斯優(yōu)化得到的最佳觀測點(diǎn)對應(yīng)性能值與真實(shí)性能峰值的誤差并記錄于表3中。根據(jù)表3，經(jīng)過10輪貝葉斯優(yōu)化，最佳觀測點(diǎn)與真實(shí)性能峰值的誤差僅為1.02%；從圖6可以直觀看出，此時已經(jīng)得到與真實(shí)性能曲線ρ(γ)接近的參數(shù)組合γoptimal=(0.372, 0.628)，以此作為彈性網(wǎng)絡(luò)回歸的參數(shù)進(jìn)行本次算例測試。

表3 貝葉斯優(yōu)化誤差Table 3 Bayesian optimization error

結(jié)合表1和表2，普通最小二乘回歸易受矩陣病態(tài)和異常值的影響，回歸結(jié)果的均方誤差和可決系數(shù)均不理想。M估計穩(wěn)健回歸則可以減弱異常量測電流值的影響，相比于普通最小二乘回歸方法，其估計精度可以得到有效提升，但該方法仍無法解決多重共線性問題。由于1范數(shù)和2范數(shù)的作用，嶺回歸和本文方法均可以規(guī)避矩陣病態(tài)問題。然而，通過表2可以看出，嶺回歸雖然將非諧波源D、E、F賦予較小權(quán)重，但是仍將其視作諧波源；而本文方法計算得到的D、E、F處的權(quán)重為0，符合實(shí)際情況，說明本文所提方法可以有效排除非諧波源的影響，也體現(xiàn)了1范數(shù)和2范數(shù)的組合形式的效果要優(yōu)于單一范數(shù)的效果。

5 結(jié)論

本文針對傳統(tǒng)諧波狀態(tài)估計方法在矩陣病態(tài)情況下難以使用最小二乘回歸法估計參數(shù)的問題，提出了基于彈性網(wǎng)絡(luò)回歸的諧波狀態(tài)估計方法，同時采用貝葉斯優(yōu)化方法提高了參數(shù)選擇的效率。

本文方法采用1范數(shù)和2范數(shù)的組合式作為回歸方程的正則項(xiàng)有兩大優(yōu)勢：（1）加入范數(shù)正則項(xiàng)可以使回歸模型規(guī)避嫌疑點(diǎn)之間高度相關(guān)導(dǎo)致的矩陣病態(tài)問題；（2）1范數(shù)產(chǎn)生的稀疏性使得該方法可以有效地分離出非諧波源，去除其對諧波源責(zé)任劃分的影響，實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的諧波責(zé)任劃分和諧波源定位。

本文采用的彈性網(wǎng)絡(luò)回歸法屬于有偏估計，加入1范數(shù)和2范數(shù)以抵抗矩陣病態(tài)的同時，犧牲了一部分估計無偏性。今后的工作將在2方面做出改進(jìn)：（1）盡可能尋求“無偏估計”和“抵抗病態(tài)”的平衡；（2）進(jìn)一步簡化調(diào)參過程。同時，后續(xù)研究將進(jìn)一步探索如何以稀疏模型求解諧波源定位的問題。