基于最小二乘支持向量機的組合模型在區(qū)域似大地水準面擬合中的應用

李明飛 吳軍超 張一馳

1 陜西省土地工程建設集團有限責任公司，西安市光泰路7號，710075 2 華南師范大學地理科學學院，廣州市中山大道西55號，510631 3 廣東省智慧國土工程技術(shù)研究中心，廣州市中山大道西55號，510631

在高程測量中，GPS 獲取的高程數(shù)據(jù)為大地高，而我國所采用的高程系統(tǒng)為正常高[1]，兩者存在差值，即高程異常。因此，如何獲取高精度的高程異常是區(qū)域似大地水準面擬合的關鍵。

LSSVM是一種常用的區(qū)域似大地水準面擬合方法，其以支持向量機為基礎改進而來，在高程轉(zhuǎn)換過程中能夠取得較好的效果[2]。但單一的LSSVM會存在模型誤差，精度有限，且會造成擬合殘差序列信息浪費?；诖?，本文以LSSVM為基礎，提出LSSVM-Shepard組合區(qū)域似大地水準面擬合方法，充分利用擬合的殘差序列信息，減少模型誤差影響，提高高程轉(zhuǎn)換精度。

1 原理與方法

1.1 LSSVM原理

假設(xi,yi)為一組高程異常數(shù)據(jù)集，其中，i=1,2，…，n，xi∈Rl，yi∈R。xi為數(shù)據(jù)集的平面坐標，yi為數(shù)據(jù)集的高程異常。則LSSVM優(yōu)化問題為：

(1)

式中，ω為系數(shù)序列，e為誤差項，γ為正則化參數(shù)，φ(·)為映射函數(shù)，b為偏差量。根據(jù)拉格朗日定理可得：

L(ω,b,e,α)=J(ω,e)-

(2)

分別對ω、b、ei、αi求偏導數(shù)，并使偏導數(shù)等于0。整理得：

(3)

根據(jù)Mercer條件可知[6-7]，存在映射函數(shù)φ和核函數(shù)K，使得K(xk,xl)=φ(xk)Tφ(xl)。線性方程組(3)整理可得：

(4)

通過解方程(4)可得αi和b，則LSSVM模型函數(shù)可表示為：

(5)

1.2 Shepard插值模型

Shepard插值模型是針對大量離散點提出的局部逼近模型，是一種改進的加權(quán)平均法[8]。該模型應用于高程轉(zhuǎn)換的主要原理為：對于給定的數(shù)據(jù)集(xi,yi,ξi)，i=1,2，…，n，(xi,yi)為平面位置坐標，ξi為對應的高程異常，則未知點高程異?？赏ㄟ^下式進行求解：

(6)

式中，u為擬合度，u>1；ri為未知點到各已知點的距離；ρ(ri)為已知點關于未知點的距離權(quán)函數(shù)：

(7)

從式(7)可以看出，影響范圍內(nèi)會形成兩個環(huán)帶。

1.3 LSSVM-Shepard組合模型

根據(jù)物理大地測量學理論，高程異?？煞譃?個分量[9]，其公式為：

ξ=ξ長+ξ中+ξ短

(8)

式中，ξ長、ξ中、ξ短分別為長波、中波、短波分量。高程異常在中長波項部分趨勢變化平緩，而在短波項部分變化較大，容易受到地形等因素影響。

LSSVM將最小二乘思想引入到支持向量機，趨勢面變化相對平緩，同時保持支持向量機良好的非線性問題處理能力，可提高計算效率。與二次曲面擬合“移去-恢復”模型的中長波項相比，LSSVM能夠更好地處理中長波項中存在的非線性問題。Shepard插值模型可以充分利用周圍已知點信息，能夠有效處理局部變化信息。本文將兩個單一模型進行結(jié)合，采用LSSVM擬合高程異常的中長波項，利用Shepard插值模型擬合包含模型誤差的短波項，綜合兩個單一模型的優(yōu)點，同時充分利用單一模型的擬合殘差信息。其主要步驟如下：

1)利用LSSVM對高程異常的中長波項進行擬合，確定模型系數(shù)，并計算包含LSSVM模型誤差和短波項的殘差序列。

2)利用Shepard插值模型對殘差序列進行訓練，使用交叉驗證方法確定模型系數(shù)。

3)利用組合模型計算區(qū)域內(nèi)任意一點的高程異常值。

2 算例分析

2.1 項目概況

實例1 項目區(qū)位于黑龍江省某市，地勢較為平坦，屬于平原地區(qū)。項目區(qū)共有74個GPS C級網(wǎng)點，且均已進行二等水準聯(lián)測[ 10]，測區(qū)面積為1 100 km2。點位分布見圖1。

圖1 平原地區(qū)GPS點位分布Fig.1 Distribution of GPS points in plain area

實例2 似大地水準面擬合項目區(qū)位于云南某地區(qū)，區(qū)域內(nèi)地形起伏大，屬于高原山區(qū)地形。區(qū)域內(nèi)共布設24個C級GPS 控制點，并已進行三等水準聯(lián)測[11]，測區(qū)面積約為2 159 km2。點位分布見圖2。

圖2 高原山區(qū)GPS點位分布Fig.2 Distribution of GPS points in plateau mountainous area

2.2 參數(shù)選取

LSSVM模型采用徑向基函數(shù)作為核函數(shù)，其公式為：K(x,xi)=exp(-‖x-xi‖2/2σ2)。該模型含有2個參數(shù)，分別為懲罰系數(shù)γ和核函數(shù)參數(shù)σ，模型參數(shù)以雙層方格網(wǎng)法進行尋優(yōu)。同時為減少取樣隨機性所產(chǎn)生的訓練偏差，采用交叉驗證法進行參數(shù)精度評定，將原始數(shù)據(jù)分為n等份，通過n次循環(huán)，每次以其中一份作為測試數(shù)據(jù)，其余n-1份作為訓練數(shù)據(jù)，得到模型并對測試數(shù)據(jù)進行預測。統(tǒng)計測試結(jié)果，最終獲得n次統(tǒng)計結(jié)果的平均值，并以此作為參數(shù)的評價因子。Shepard插值模型參數(shù)為擬合度u和影響半徑R，為防止模型陷入局部最優(yōu)，文中將u和R范圍分別設置為[1,50]和[0.1,20]，搜索步長分別設置為1和0.02，同時通過循環(huán)操作使尋優(yōu)過程遍歷每一個節(jié)點。

2.3 實驗對比分析

為增加實驗的可靠性，選取10、20、30、40、50個均勻分布的聯(lián)測點分別作為平原地區(qū)實驗擬合點，選取7、9、11、13、15個均勻分布的聯(lián)測點分別作為高原山區(qū)實驗擬合點，剩余點作為檢測點進行計算。為使高程異常數(shù)據(jù)集處于同一量級，在實驗前對兩組數(shù)據(jù)分別進行標準化處理。

實驗分別采用二次曲面法、LSSVM、Shepard插值模型、二次曲面-Shepard、LSSVM-Shepard模型等5種方法進行似大地水準面擬合，采用檢測點的外符合精度作為評定指標。實驗計算結(jié)果如表1(單位m)和表2(單位m)所示。

表1為平原地區(qū)各模型計算結(jié)果對比。當擬合點個數(shù)從10增加至50時，LSSVM-Shepard模型的外符合精度從0.035 m降至0.015 m，且數(shù)值均小于二次曲面、LSSVM、Shepard插值等3種單一模型，說明該組合模型的擬合效果優(yōu)于這3種單一模型。二次曲面-Shepard模型隨著擬合點數(shù)增加，外符合精度從0.034 m降為0.013 m，且數(shù)值均小于二次曲面和Shepard插值模型，說明擬合效果優(yōu)于這兩種單一模型。當擬合點個數(shù)一定時，二次曲面-Shepard和LSSVM-Shepard模型的外符合精度最大差值的絕對值為0.002 m，表明兩個組合模型的擬合效果基本一致。

表1 平原地區(qū)似大地水準面擬合結(jié)果統(tǒng)計

表2為高原山區(qū)各模型計算結(jié)果對比。當擬合點個數(shù)一定時，LSSVM-Shepard模型的外符合精度小于其他4種模型，說明該組合模型高程轉(zhuǎn)換效果最優(yōu)。當擬合點個數(shù)由7增加至11時，二次曲面-Shepard模型的外符合精度分別為0.097 m、0.103 m、0.110 m，而Shepard插值模型的外符合精度分別為0.095 m、0.094 m、0.089 m，Shepard插值模型的擬合效果略優(yōu)，說明二次曲面-Shepard模型在復雜的高原山區(qū)進行高程轉(zhuǎn)換時適用性受限。

表2 高原山區(qū)似大地水準面擬合結(jié)果統(tǒng)計

綜上所述，無論是在平原還是高原山區(qū)實驗區(qū)，LSSVM-Shepard模型的擬合效果均優(yōu)于二次曲面、LSSVM、Shepard插值等3種單一模型。在平原實驗區(qū)，LSSVM-Shepard模型和二次曲面-Shepard模型均能取得較好的擬合效果，但在高原山區(qū)實驗區(qū)，二次曲面-Shepard模型適用性受限，而LSSVM-Shepard模型仍能取得較好的擬合效果。

3 結(jié) 語

本文提出LSSVM-Shepard組合區(qū)域似大地水準面擬合方法，并結(jié)合平原地區(qū)和高原山區(qū)兩個工程實例進行實驗，得到以下結(jié)論：

1)無論是在平原地區(qū)還是高原山區(qū)，LSSVM-Shepard模型的擬合效果均優(yōu)于二次曲面法、LSSVM、Shepard插值等3種單一模型，是一種可行的似大地水準面擬合方法。

2)二次曲面-Shepard模型在平原實驗區(qū)進行高程轉(zhuǎn)換時，能夠取得較好的擬合效果，但在高原山區(qū)實驗中，轉(zhuǎn)換度低于Shepard插值模型，適用性受限。LSSVM-Shepard模型以LSSVM代替二次曲面模型，能夠有效處理轉(zhuǎn)換過程中的非線性問題，在兩個實驗中均能取得較好的高程轉(zhuǎn)換效果，具有較強的適用性。