基于Levy-SSA的分?jǐn)?shù)階PID控制方法*

李雅梅,張 恒

(遼寧工程技術(shù)大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，遼寧 葫蘆島 125105)

0 引 言

隨著工業(yè)控制精細(xì)化要求的逐漸提高，分?jǐn)?shù)階比例—積分—微分(PID)控制方法因其在控制精度以及控制范圍上的優(yōu)勢(shì)而逐漸得到了廣泛的應(yīng)用。分?jǐn)?shù)階PID控制方法雖然具有非常優(yōu)良的控制性能，但是其五個(gè)參數(shù)整定問(wèn)題一直是影響其工作性能優(yōu)良與否的最大因素。目前，對(duì)于分?jǐn)?shù)階PID整定方法主要包括有，相位裕量以及幅值裕量法、主導(dǎo)極點(diǎn)法以及智能算法整定方法等[1]。對(duì)于相位裕量以及幅值裕量和主導(dǎo)極點(diǎn)分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)整定方法雖然目前應(yīng)用較多，但是對(duì)于復(fù)雜控制系統(tǒng)，其計(jì)算相對(duì)復(fù)雜且自適應(yīng)能力較差，因而智能算法整定方法因其自適應(yīng)能力強(qiáng)且不需要人工計(jì)算等優(yōu)勢(shì)而得到了廣泛的研究[2～4]。對(duì)于分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)智能算法整定控制方法，相關(guān)研究人員已經(jīng)提出不少方法[5,6]，但大多存在迭代收斂速度慢，求解精度低，以及易早熟的問(wèn)題。

針對(duì)傳統(tǒng)智能算法分?jǐn)?shù)階PID整定方法所存在的各種問(wèn)題，以及為提高整定精度[7]，本文提出一種對(duì)原始麻雀搜索算法(sparrow search algorithm,SSA)預(yù)警機(jī)制進(jìn)行萊維(Levy)隨機(jī)步長(zhǎng)改進(jìn),以減小算法陷入局部解概率;以及對(duì)原始SSA發(fā)現(xiàn)者粒子更新方式引入全局最優(yōu)位置,以提高算法的迭代速度的Levy-SSA的分?jǐn)?shù)階PID整定方法;并結(jié)合實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法在對(duì)實(shí)際系統(tǒng)控制過(guò)程中的有效性與優(yōu)越性。

1 分?jǐn)?shù)階PID控制方法

分?jǐn)?shù)階PID控制是一種在原始的PID控制中引入積分階與微分階參數(shù)的一種控制方法[8]，其具體表達(dá)形式如式(1)所示

G(s)=kP+kI·s-λ+kD·sμ

(1)

式中kP為比例參數(shù),kI為積分參數(shù),λ為積分階參數(shù),kD為微分參數(shù),μ為微分階參數(shù)。由此分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)整定也主要是整定上述5個(gè)參數(shù)。對(duì)于傳統(tǒng)PID,實(shí)際上是可以看成分?jǐn)?shù)階PID的一種特例，而分?jǐn)?shù)階PID相對(duì)于傳統(tǒng)PID控制方法的優(yōu)勢(shì)，也在于積分階與微分階參數(shù)可以連續(xù)調(diào)節(jié)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)更精準(zhǔn)的控制。

本文對(duì)于分?jǐn)?shù)階PID控制采用的是G-L定義方式。由此，給出分?jǐn)?shù)階PID控制器的離散化方程具體如式(2)所示

(2)

式中em與um分別為控制器輸入與輸出，h為計(jì)算步長(zhǎng)，該參數(shù)主要影響控制器近似程度，即越小精度越高，q-λ,j與qμ,j可用式(3)表示

(3)

2 Levy-SSA建模

SSA是于2020年提出的模擬麻雀覓食行為的一種優(yōu)化算法，這種算法由于引入了發(fā)現(xiàn)者、追隨者與隨機(jī)預(yù)警機(jī)制，使其在耐早熟能力以及求解迭代速度等方面具有非常優(yōu)良的性能。但原始的SSA發(fā)現(xiàn)者粒子在更新過(guò)程中搜索范圍是逐漸減小的，從而嚴(yán)重影響了算法的迭代收斂速度；另外，原始算法陷入局部解的可能性也很大。針對(duì)這些問(wèn)題，本文提出一種Levy-SSA優(yōu)化算法，算法具體建模過(guò)程如下。

首先，對(duì)于維數(shù)為D,群體個(gè)數(shù)為N的算法，可初始化其種群為X=(X1…Xi…XN)，具體個(gè)體可表示為Xi=(xi1…xii…xiM)，所以對(duì)于群體中發(fā)現(xiàn)者粒子的更新方式可按式(4)進(jìn)行

(4)

式中Xbest(t)為當(dāng)前最優(yōu)位置，R與α均為服從0到1之前隨機(jī)分布的隨機(jī)數(shù)，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，ITERmax為最大迭代次數(shù)，ST為0.5～1之間的數(shù)，Q服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，W為確定維數(shù)的單位向量。所以由此可知，此時(shí)發(fā)現(xiàn)者粒子在警戒值較小時(shí)會(huì)向著全局最優(yōu)位置移動(dòng)，從而使得算法的迭代速度加快。對(duì)于算法中追隨者粒子更新方式與原算法相同，具體按式(5)進(jìn)行

(5)

式中A+按式(6)進(jìn)行計(jì)算

A+=AT(AAT)-1

(6)

最后是種群中隨機(jī)預(yù)警粒子，其更新方式引入Levy隨機(jī)步長(zhǎng)，具體更新按式(7)進(jìn)行

Xi(t+1)=

(7)

式中η為隨機(jī)步長(zhǎng)，本文經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)，取值為0.51，對(duì)于Levy(ξ)為滿足式(8)約束的隨機(jī)搜索路徑[9]

(8)

式中u，v服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，對(duì)于φ計(jì)算如式(9)所示

(9)

由此，當(dāng)隨機(jī)選擇的預(yù)警粒子當(dāng)前位置處于最優(yōu)時(shí)，則按Levy飛行機(jī)制進(jìn)行更新，從而提高算法搜索范圍，進(jìn)而減小算法發(fā)生早熟的概率。由此對(duì)于所提算法的具體流程如圖1所示。

圖1 算法運(yùn)算流程

3 Levy-SSA分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)整定方法

Levy-SSA分?jǐn)?shù)階PID對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)控制過(guò)程圖如圖2所示。即首先利用Levy-SSA對(duì)分?jǐn)?shù)階PID的5個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化選擇，隨后利用優(yōu)化后的分?jǐn)?shù)階PID控制器對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行控制[10]。

圖2 控制過(guò)程

對(duì)于圖2中的適應(yīng)度函數(shù)，本文選擇使用如式(10)所示的時(shí)間誤差絕對(duì)值函數(shù)作為分?jǐn)?shù)階PID控制器5個(gè)參數(shù)優(yōu)化選擇過(guò)程中的適應(yīng)度函數(shù)

(10)

式中T為采樣周期大小，N為總采樣次數(shù)以及e(k)為第k次采樣誤差。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證Levy-SSA分?jǐn)?shù)階PID控制方法的有效性，本文針對(duì)如式(11)所示的一階系統(tǒng)與二階延時(shí)系統(tǒng)給出了分別利用粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization,PSO)算法、SSA以及Levy-SSA對(duì)于分?jǐn)?shù)階PID的5個(gè)參數(shù)的計(jì)算結(jié)果

(11)

對(duì)于三種算法參數(shù)設(shè)置具體如下：設(shè)置PSO，c1與c2均為1.5,慣性因子w為0.5;設(shè)置SSA，ST為0.8，隨機(jī)預(yù)警粒子與發(fā)現(xiàn)者粒子個(gè)數(shù)均為種群總數(shù)的20 %；設(shè)置Levy-SSA其他參數(shù)與SSA一樣，ξ為1.47。以上算法種群個(gè)數(shù)均設(shè)置為20，迭代100次。另外設(shè)置被控系統(tǒng)G1(s)PID參數(shù)優(yōu)化區(qū)間為[0,200]，分?jǐn)?shù)階區(qū)間為[0,1.5]，對(duì)G2(s)PID參數(shù)優(yōu)化區(qū)間為[0,500]，分?jǐn)?shù)階區(qū)間為[0,1.5]。本文利用上述算法對(duì)分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)分別進(jìn)行計(jì)算20次取平均值所得出的運(yùn)算結(jié)果如表1所示。

表1 運(yùn)算結(jié)果

由表1給出的計(jì)算結(jié)果中的ITAE值可以看出：基于Levy-SSA的分?jǐn)?shù)階PID控制方法在對(duì)被控系統(tǒng)進(jìn)行控制過(guò)程中，控制精度高于其他兩種方法。另外由給出的上升時(shí)間tr也可以看出：所提方法在控制過(guò)程中被控系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的速度也相對(duì)較快。給出三種方法對(duì)兩種被控系統(tǒng)控制輸出曲線與運(yùn)算迭代結(jié)果分別如圖3與圖4所示。

圖3 G1(s)系統(tǒng)運(yùn)算結(jié)果

圖4 G2(s)系統(tǒng)運(yùn)算結(jié)果

由圖3與圖4給出的計(jì)算結(jié)果圖可以看出：所提出的Levy-SSA在計(jì)算收斂速度上相對(duì)其他兩種算法有著明顯的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)在對(duì)被控系統(tǒng)的控制上有著非常優(yōu)良的控制效果。綜上，以上實(shí)驗(yàn)計(jì)算結(jié)果充分顯示了本文所提方法具有非常好的應(yīng)用前景。

最后，為了驗(yàn)證所提方法對(duì)于分?jǐn)?shù)階模型控制的有效性，本文利用所提方法對(duì)如式(12)所示的分?jǐn)?shù)階模型，進(jìn)行了優(yōu)化控制。具體優(yōu)化輸出效果如圖5所示，優(yōu)化得到的5個(gè)參數(shù)分別為291.39,41.741,181.21,0.5406 1以及1.968 8。由此驗(yàn)證了所提方法對(duì)于分?jǐn)?shù)階模型控制的有效性，進(jìn)而驗(yàn)證了所提方法的普適性

圖5 分?jǐn)?shù)階模型控制效果

(12)

5 結(jié) 論

為提高分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)整定的精度，本文提出了一種基于Levy-SSA的分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)整定方法。

1)針對(duì)原始SSA所存在收斂速度低以及易早熟問(wèn)題，本文提出了一種Levy-SSA，即同時(shí)引入全局最優(yōu)位置對(duì)發(fā)現(xiàn)者粒子更新方法進(jìn)行改進(jìn)計(jì)算，以及Levy隨機(jī)步長(zhǎng)對(duì)預(yù)警粒子更新方法進(jìn)行改進(jìn)計(jì)算，有效提高了算法的收斂速度與抗早熟能力。

2)利用基于Levy-SSA的分?jǐn)?shù)階PID控制方法對(duì)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行控制，通過(guò)給出的計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了所提方法在計(jì)算精度、迭代速度以及控制效果等方面的優(yōu)勢(shì)。