海底應(yīng)答器定位的Landweber算法研究*

蘇曉慶,徐 工

(山東理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，山東 淄博 255000)

0 引 言

隨著海洋活動(dòng)、導(dǎo)航定位和水下建筑物監(jiān)測(cè)技術(shù)的發(fā)展，越來越迫切建立高精度的海底基準(zhǔn)網(wǎng)，前提支撐條件是精確測(cè)定海底應(yīng)答器的絕對(duì)位置[1]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要通過優(yōu)化海洋動(dòng)態(tài)控制網(wǎng)、改進(jìn)水下框架網(wǎng)處理模型來提高水下應(yīng)答器點(diǎn)的平面坐標(biāo)，但對(duì)于水下應(yīng)答器點(diǎn)高程位置仍有待改進(jìn)[2]。將全球?qū)Ш较到y(tǒng)(global navigation satellite system,GNSS)和水聲測(cè)距安裝在多艘測(cè)量船,通過交匯雖然能夠確定基準(zhǔn)網(wǎng)點(diǎn)的絕對(duì)坐標(biāo)，但該方法尤其在深海中易受到聲速誤差的影響,精度較低且作業(yè)成本高[3]。利用船載換能器圍繞水下應(yīng)答器實(shí)施走航式方法,確定應(yīng)答器點(diǎn)絕對(duì)位置,在某程度可減緩深度帶來的測(cè)距誤差影響，提高應(yīng)答器絕對(duì)位置的平面坐標(biāo)，節(jié)約作業(yè)成本，然而在確定垂直解精度不高甚至不穩(wěn)定[4,5]。

由GNSS浮標(biāo)點(diǎn)與應(yīng)答器之間的距離觀測(cè)方程為非線性方程，傳統(tǒng)方法是基于一階泰勒級(jí)數(shù)展開的線性化平差估計(jì)的近似理論，可是易受到線性化殘差、非線性強(qiáng)度和線性化初值的影響[6～8]。由于海平面近似共面且已知點(diǎn)和未知點(diǎn)垂直距離相差不遠(yuǎn)，導(dǎo)致水下測(cè)距定位方程產(chǎn)生病態(tài)問題，會(huì)進(jìn)一步降低線性化平差估計(jì)的有效性和精度。高斯牛頓算法在處理適定的GNSS偽距觀測(cè)方程時(shí)，具有較好的數(shù)值效果，但由于水下測(cè)距定位方程存在不適定性，高斯牛頓算法會(huì)由于設(shè)計(jì)矩陣而產(chǎn)生較強(qiáng)的不穩(wěn)定特征，這也是致使水下應(yīng)答器絕對(duì)位置坐標(biāo)計(jì)算不穩(wěn)定的主要原因，可通過考慮先驗(yàn)深度約束的水下控制網(wǎng)點(diǎn),或者采用非線性正則化算法,來克服水下應(yīng)答器絕對(duì)位置不穩(wěn)定的問題[9～11]。

水下應(yīng)答器絕對(duì)位置計(jì)算過程中主要是由于矩陣取逆運(yùn)算不穩(wěn)定而致使迭代序列產(chǎn)生擾動(dòng)，甚至導(dǎo)致高斯牛頓迭代算法解算失敗?？刹捎靡?guī)避迭代矩陣求逆運(yùn)算，來改善迭代序列的穩(wěn)定性。因此，基于伴隨矩陣與逆矩陣的關(guān)系，導(dǎo)出了海底應(yīng)答器定位的Landweber迭代算法，并對(duì)其進(jìn)行了收斂性分析;然后，基于基于殘差最小準(zhǔn)則給出了松弛參數(shù)確定公式;最后,通過水下定位實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證該方法的有效性。

1 海底應(yīng)答器定位的Landweber迭代算法

假設(shè)在海平面或水平面共布設(shè)n個(gè)GNSS浮標(biāo)，通過精密單點(diǎn)定位技術(shù),或者GNSS差分定位技術(shù),來確定GNSS位置坐標(biāo)，其GNSS浮標(biāo)坐標(biāo)的向量表達(dá)式為xi=[xi,yi,zi]T，觀測(cè)數(shù)據(jù)的向量表達(dá)式為L(zhǎng)=[L1，L2，…,Ln]T，所對(duì)應(yīng)的觀測(cè)誤差的向量表達(dá)式為ε=[ε1,ε2,…,εn]T。要求根據(jù)GNSS浮標(biāo)點(diǎn)位置和觀測(cè)距離來確定海底應(yīng)答器的幾何位置x=[x,y,z]T,應(yīng)借助于非線性最小二乘進(jìn)行求解，并且要求觀測(cè)數(shù)據(jù)和已知點(diǎn)坐標(biāo)n≥4，即可列出水下測(cè)距定位方程的誤差方程為

V=d(x)-L

(1)

式中d(x)=[d1(x),d2(x),…di(x),…dn(x)]T,di(x)=‖xi-x‖2為應(yīng)答器至GNSS浮標(biāo)點(diǎn)的歐氏距離。由于水下測(cè)距定位方程為超定非線性方程，應(yīng)借助無約束非線性最小二乘來求解，即，使其殘差在平方意義上取極小值

(2)

式中φ︰Rn|→R為非線性最小二乘目標(biāo)函數(shù)，P為觀測(cè)權(quán)。運(yùn)用無約束優(yōu)化解法，非線性最小二乘解滿足下述正交條件

(3)

式中J(x)為Jacobian矩陣，正交條件方程是求解無約束化非線性最小二乘的重要方程，當(dāng)處理殘差較小、非線性強(qiáng)度較弱的非線性模型時(shí)，可采用高斯牛頓法進(jìn)行求解

(4)

Landweber L提出的Landweber迭代法是一類比較平穩(wěn)的正則化數(shù)值算法，可用于處理非線性的不適定問題，對(duì)于觀測(cè)數(shù)據(jù)具有擾動(dòng)情形下相對(duì)于Tikhonov正則化方法計(jì)算更穩(wěn)定[13,14]。借鑒Landweber迭代算法最優(yōu)化思想，導(dǎo)出了水下應(yīng)答器絕對(duì)位置計(jì)算的Landweber迭代算法，該算法主要是通過伴隨矩陣與逆矩陣的關(guān)系，來避免設(shè)計(jì)矩陣求逆運(yùn)算給數(shù)值解的影響，迭代公式為

(5)

(6)

式中I為單位矩陣。

2 基于殘差最小準(zhǔn)則確定松弛因子

殘差最小準(zhǔn)則方法充分采用目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)信息和函數(shù)值信息，相比于傳統(tǒng)線搜索方法如黃金分割法和拋物線法具有一定優(yōu)勢(shì)[15]。設(shè)第k+1次的擬合殘差為松弛因子的函數(shù)，即

minR(ω)=‖d(xk+1)-V(xk)‖2

=‖d(xk+ωkdxk)-V(xk)‖2

(7)

式中d(xk+1)為xk+1處的函數(shù)計(jì)算值，可將其在xk依據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開得

d(xk+1)≈d(xk)+J(xk)(xk+1-xk)

(8)

(9)

若要k+1次殘差最小，需滿足?R(ω)/?ω=0，考慮到迭代過程，則根據(jù)上式可得松弛因子的確定公式，即

(10)

根據(jù)殘差最小準(zhǔn)則能夠自適應(yīng)調(diào)整迭代步長(zhǎng)，降低松弛參數(shù)對(duì)非線性數(shù)值算法收斂效率的影響，能夠在保證數(shù)值解穩(wěn)定性前提下提高非線性數(shù)值算法的收斂效率。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

采用南海觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，數(shù)據(jù)主要是測(cè)量船圍繞海底應(yīng)答航行獲取，海底應(yīng)答器大概在2 000 m左右，共采集了5圈數(shù)據(jù)。在其中1圈數(shù)據(jù)中，采集15個(gè)相鄰的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。假設(shè)距離為等精度觀測(cè)，要求根據(jù)15個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)來確定海底應(yīng)答器的絕對(duì)位置。迭代終止條件為‖h(x)‖≤10-6，線性化初值為x0=[2 438 900,492 000,50]T。由于海平面近似共面，已知點(diǎn)與海底應(yīng)答器近似共面，導(dǎo)致由水下觀測(cè)信息構(gòu)成的測(cè)距定位方程依據(jù)泰勒級(jí)數(shù)線性化設(shè)計(jì)矩陣產(chǎn)生了不適定問題。經(jīng)計(jì)算線性化設(shè)計(jì)矩陣條件數(shù)為cond(N)=1.27×107，這表明水下測(cè)距定位方程組具有嚴(yán)重的病態(tài)性。

圖1給出了截?cái)嗟牟糠諫auss-Newton和Landweber迭代法的點(diǎn)位迭代序列圖。圖1中，深色和淺色分別表示高斯牛頓算法和Landweber迭代算法，圖1中橫軸表示迭代次數(shù)，縱軸表示X、Y、Z三個(gè)方向的點(diǎn)位迭代序列值。由圖1可知，高斯牛頓法在各個(gè)方向產(chǎn)生了較強(qiáng)的不穩(wěn)定特征，這主要是由于水下測(cè)距方程線性化后方程組設(shè)計(jì)矩陣具有病態(tài)性，導(dǎo)致高斯牛頓算法在矩陣求逆過程中由于數(shù)據(jù)誤差擾動(dòng)而產(chǎn)生較強(qiáng)烈的不穩(wěn)定特征。Landweber迭代算法在各個(gè)方向具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性，這是由于該算法基于伴隨矩陣與逆矩陣的關(guān)系來避免了法矩陣的求逆運(yùn)算。

圖1 Gauss-Newton和Landweber部分點(diǎn)位迭代序列

表1給出線性化平差估計(jì)、高斯牛頓算法和Landweber的解算結(jié)果，由表1可知，線性化平差估計(jì)由于觀測(cè)態(tài)性和線性化初值的影響，解算不穩(wěn)定且誤差較大。高斯牛頓算法收斂效率要比Landweber迭代算法快，但由圖1可發(fā)現(xiàn)，高斯牛頓算法由于觀測(cè)態(tài)性和數(shù)據(jù)誤差的影響；點(diǎn)位迭代序列及其不穩(wěn)定。Landweber迭代算法通過避免設(shè)計(jì)矩陣求逆能夠解決水下測(cè)距定位方程的不適定問題，但實(shí)質(zhì)為最速下降法，具有較低的收斂效率。

表1 不同方法的數(shù)值解算結(jié)果

為了進(jìn)一步測(cè)試三種數(shù)值算法的收斂性，在不改變線性化初值的情況下，選擇兩圈數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分別標(biāo)注為Ship01和Ship02。在Ship01和Ship02中隨機(jī)選取15個(gè)相鄰的數(shù)據(jù)運(yùn)行100次進(jìn)行測(cè)試，假設(shè)迭代次數(shù)大于1 001次時(shí)非線性數(shù)值算法無法收斂,如圖2所示。

圖2 不同非線性數(shù)值算法運(yùn)行100次的測(cè)試結(jié)果

由圖2可知，在測(cè)試過程中，高斯牛頓算法對(duì)于不同觀測(cè)數(shù)據(jù)，求逆過程中所受到的不同觀測(cè)誤差擾動(dòng)影響，直接影響了高斯牛頓算法的收斂性，經(jīng)計(jì)算2圈觀測(cè)數(shù)據(jù)，高斯牛頓算法的最高失效率達(dá)到了32 %。對(duì)于相同的數(shù)據(jù)，Landweber迭代算法具有較好的收斂性。

圖3給定初值(2 400 000,490 000,50)時(shí)，兩種數(shù)值算法的運(yùn)行100次的測(cè)試結(jié)果，由圖3可知，高斯牛頓迭代算法由于方程組態(tài)性和線性化初值的影響，失效率分別達(dá)到了95 %和87 %，表明水下應(yīng)答器絕對(duì)位置計(jì)算過程中建議最好不要采用高斯牛頓算法。Landweber迭代算法仍然表現(xiàn)出較好的收斂性，其主要原因是,Landweber迭代算法實(shí)質(zhì)為最速下降法，對(duì)初值具有較低的依賴性，而且通過避免矩陣求逆，解決了水下測(cè)距定位方程由于空間幾何構(gòu)型布設(shè)產(chǎn)生的不適定問題。

圖3 改變初始條件不同非線性數(shù)值算法的測(cè)試結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

由于海平面近似共面且已知點(diǎn)和未知點(diǎn)垂直距離相差不遠(yuǎn)，導(dǎo)致水下測(cè)距定位方程產(chǎn)生病態(tài)問題，傳統(tǒng)線性化平差估計(jì)易受到線性化初值和模型態(tài)性的影響，估計(jì)解不穩(wěn)定且誤差較大。高斯牛頓算法，設(shè)計(jì)矩陣求逆過程由于方程組態(tài)性、線性化初值和觀測(cè)誤差擾動(dòng)而產(chǎn)生強(qiáng)烈的不穩(wěn)定，甚至無法收斂。為制約由于水下定位網(wǎng)結(jié)構(gòu)引起的病態(tài)問題對(duì)參數(shù)估計(jì)解的影響，可通過避免迭代矩陣求逆運(yùn)算來提高數(shù)值解的穩(wěn)定性。以水下距離觀測(cè)非線性平差模型為基礎(chǔ)，導(dǎo)出了海底應(yīng)答器計(jì)算的Landweber迭代法并對(duì)其進(jìn)行了收斂性分析。基于殘差最小準(zhǔn)則，給出了一種確定松弛參數(shù)的計(jì)算方法。該算法及其改進(jìn)通過矩陣運(yùn)算關(guān)系，規(guī)避了迭代矩陣的求逆運(yùn)算，改善或緩解了水下測(cè)距定位方程的病態(tài)性，提高了數(shù)值解穩(wěn)定性。最后經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該算法明顯提高了線性化平差估計(jì)解的精度，相對(duì)于高斯牛頓法具有較高的數(shù)值穩(wěn)定性。